2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2 函數(shù)的基本性質(zhì) 3.2.2 奇偶性教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)
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1、3.2.2 奇偶性 (教師獨(dú)具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn):1.了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義,并會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言描述.2.了解奇偶函數(shù)的圖象特征,會(huì)判斷簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性. 教學(xué)重點(diǎn):1.函數(shù)奇偶性的概念.2.奇函數(shù),偶函數(shù)的幾何特征.3.判斷函數(shù)的奇偶性. 教學(xué)難點(diǎn):1.函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性結(jié)合問(wèn)題.2.函數(shù)奇偶性的判定. 【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】 知識(shí)點(diǎn)一 偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義 (1)偶函數(shù)的定義 一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果?x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)(even function). (2)奇函數(shù)的定義 一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的
2、定義域?yàn)镮,如果?x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(odd function). 知識(shí)點(diǎn)二 偶函數(shù)、奇函數(shù)的圖象特征 (1)偶函數(shù)的圖象特征 如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù),則這個(gè)函數(shù)的圖象是以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形;反之,如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù). (2)奇函數(shù)的圖象特征 如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù),則這個(gè)函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形;反之,如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形,則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù). 【新知拓展】 (1)奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)(對(duì)照單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì),以加深理解). (
3、2)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù),既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù). (3)對(duì)于奇函數(shù)f(x),若f(0)有意義,則f(0)=0;對(duì)于偶函數(shù)f(x),必有f(x)=f(-x)=f(|x|). (4)有的函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),如:y=2x+1;有的函數(shù)是奇函數(shù),但不是偶函數(shù),如:y=x;有的函數(shù)是偶函數(shù),但不是奇函數(shù),如:y=|x|;有的函數(shù)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù),如:y=0(x∈[-1,1]). (5)常見(jiàn)函數(shù)(一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù))的奇偶性 1.判一判(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)奇(偶)函數(shù)的定義域都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.( ) (2)函數(shù)f(x)
4、=x2的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.( ) (3)對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x),若f(-1)=-f(1),則函數(shù) f(x)一定是奇函數(shù).( ) (4)對(duì)于奇函數(shù)f(x),一定有f(0)=0.( ) (5)對(duì)于函數(shù)y=f(x),x∈R,若?x0∈R,使f(-x0)≠f(x0),則該函數(shù)不是偶函數(shù).( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) (1)函數(shù)f(x)=x在定義域R上是________函數(shù)(填“奇”或“偶”). (2)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且f(2)=4,則f(-2)=________. (3)設(shè)f(
5、x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2+1,則f(-2)+f(0)=________. 答案 (1)奇 (2)4 (3)-5 題型一 函數(shù)奇偶性的判斷 例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性: (1)f(x)=x+1; (2)f(x)=+; (3)f(x)=|x-2|+|x+2|; (4)f(x)= [解] (1)函數(shù)f(x)=x+1的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 因?yàn)閒(-x)=-x+1=-(x-1),-f(x)=-(x+1),即f(-x)≠-f(x),f(-x)≠f(x),所以函數(shù)f(x)=x+1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). (2)使函數(shù)有意義需滿足所以該函
6、數(shù)的定義域?yàn)閧1}, 因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以f(x)為非奇非偶函數(shù). (3)函數(shù)f(x)=|x-2|+|x+2|的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 因?yàn)閒(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x),所以函數(shù)f(x)=|x-2|+|x+2|是偶函數(shù). (4)函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 當(dāng)x>0時(shí),-x<0, f(-x)=-(-x)2-1=-=-f(x); 當(dāng)x<0時(shí),-x>0, f(-x)=(-x)2+1=x2+1=-=-f(x). 綜上可知,函數(shù)f(x)=是奇函數(shù). 金版點(diǎn)睛 函數(shù)奇偶性判斷的方法 (1)
7、定義法 (2)圖象法:即若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)為奇函數(shù);若函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則函數(shù)為偶函數(shù).此法多用在選擇、填空題中. (3)設(shè)f(x),g(x)的定義域分別是I1,I2,在它們的公共定義域上,有如下結(jié)論: 判斷下列函數(shù)的奇偶性: (1)f(x)=(2)f(x)=0(x∈R); (3)f(x)=2x+1;(4)f(x)=. 解 (1)顯然函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 當(dāng)x>0時(shí), -x<0,f(-x)=x2-x=-(x-x2)=-f(x), 當(dāng)x<0時(shí), -x>0,f(-x)=-x-x2=-(x2+x)=-f(x), ∴f(-x)=-f(x
8、), ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù). (2)∵f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x), ∴f(x)=0既是奇函數(shù),又是偶函數(shù). (3)函數(shù)f(x)=2x+1的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. ∵ f(-x)=-2x+1,-f(x)=-2x-1, ∴f(-x)≠f(x),f(-x)≠-f(x), ∴f(x)=2x+1既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù). (4)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,1)∪(1,+∞),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故函數(shù)f(x)不具有奇偶性. 題型二 奇偶函數(shù)的圖象及應(yīng)用 例2 已知奇函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-5,5],且在區(qū)間[0,5]上的圖象如圖所示,則使函數(shù)
9、值y<0的x的取值集合為_(kāi)_______. [解析] 因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是奇函數(shù),所以y=f(x)在[-5,5]上的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.由y=f(x)在[0,5]上的圖象,可知它在[-5,0]上的圖象,如圖所示.由圖象知,使函數(shù)值y<0的x的取值集合為(-2,0)∪(2,5). [答案] (-2,0)∪(2,5) [結(jié)論探究] 本例條件不變,問(wèn)題改為比較f(-1)與f(-3)的大?。? 解 由例題圖象知f(-1)<0, f(-3)>0,故f(-1)<f(-3). 金版點(diǎn)睛 巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問(wèn)題 (1)依據(jù):奇函數(shù)?圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)?圖象關(guān)于y軸對(duì)稱. (
10、2)求解:根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性可以解決諸如求函數(shù)值或畫出奇偶函數(shù)圖象的問(wèn)題.
(3)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的關(guān)系
①若f(x)是奇函數(shù),則f(x)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性一致;若f(x)是偶函數(shù),則f(x)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.
②奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的最值相反,且互為相反數(shù);偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的最值相等.
若f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x3-8,則{x|f(x-2)>0}=( )
A.{x|-2
11、2時(shí),有f(2)=0,又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-2)=0,作出f(x)的大致圖象,由圖象可知,當(dāng)-2
12、區(qū)間求解析式,x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi). (2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入. (3)利用f(x)的奇偶性解出f(x). 注意:若函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù),則必有f(0)=0,但若為偶函數(shù),則未必有f(0)=0. 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),并且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x3+x+1,求f(x)的解析式. 解 ∵當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x3+x+1, 設(shè)x<0,則-x>0. ∴f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1. 又∵f(x)是奇函數(shù), ∴f(0)=0,f(-x)=-f(x). ∴-f(x)=-x3-x+1,即f(x)=x3+x-1. 故f
13、(x)=
題型四 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用
例4 (1)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在[2,6]上單調(diào)遞減,比較f(-5)與f(3)的大小;
(2)設(shè)定義在[-2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,若f(1-m) 14、.
又f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,
所以解得-1≤m<.
即m的取值范圍是.
金版點(diǎn)睛
奇偶性與單調(diào)性綜合問(wèn)題的兩種類型
(1)比較大?。嚎醋宰兞渴欠裨谕粏握{(diào)區(qū)間上.
①在同一單調(diào)區(qū)間上,直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??;
②不在同一單調(diào)區(qū)間上,需利用函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的兩函數(shù)值,然后利用單調(diào)性比較大小.
(2)解不等式
①利用已知條件,結(jié)合函數(shù)的奇偶性,把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1) 15、1)已知函數(shù)f(x)在[-5,5]上是偶函數(shù),f(x)在[0,5]上是單調(diào)函數(shù),且f(-4) 16、f(1).
(2)由題意知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
又a2-2a+3=(a-1)2+2>0,
a2+a+1=2+>0,
且f(a2-2a+3)>f(a2+a+1),
所以a2-2a+3>a2+a+1,解得a<.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
1.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是( )
A.y=-|x| B.y=2-x
C.y= D.y=-x2+8
答案 C
解析 A,D兩項(xiàng),函數(shù)均為偶函數(shù),B項(xiàng)中函數(shù)為非奇非偶函數(shù),而C項(xiàng)中函數(shù)為奇函數(shù).
2.若函數(shù)f(x)滿足=1,則f(x)圖象的對(duì)稱軸是( )
A.x軸 B.y軸
C.直線y=x D.不能確定 17、
答案 B
解析 由于f(-x)=f(x),則f(x)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.
3.已知f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,則g(1)等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 B
解析 由題意知f(-1)+g(1)=-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=f(1)+g(1)=4.兩式相加,解得g(1)=3.
4.奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,6]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[3,6]上最大值是4,最小值是-1,則2f(-6)+f(-3)=________.
答案 -7
解析 ∵f(x)是奇函數(shù),且在[3,6 18、]上單調(diào)遞增,
∴f(3)=-1,f(6)=4.
∴2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×4+1=-7.
5.已知函數(shù)f(x)=x2+4x+3.
(1)若g(x)=f(x)+bx為偶函數(shù),求b;
(2)求函數(shù)f(x)在[-3,3]上的最大值.
解 (1)g(x)=f(x)+bx=x2+(b+4)x+3,
g(-x)=x2-(b+4)x+3,
∵g(x)=g(-x),∴b+4=0,∴b=-4.
(2)f(x)=x2+4x+3的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,因此f(x)在x=-2時(shí)取得最小值-1,在x=3時(shí)取得最大值24.
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