2019年高考數(shù)學(xué) 考綱解讀與熱點難點突破 專題19 概率與統(tǒng)計教學(xué)案 文（含解析）

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1、概率與統(tǒng)計 【2019年高考考綱解讀】 1.高考中主要利用計數(shù)原理求解排列數(shù)、涂色、抽樣問題，以小題形式考查. 2.二項式定理主要考查通項公式、二項式系數(shù)等知識，近幾年也與函數(shù)、不等式、數(shù)列交匯，值得關(guān)注． 3.以選擇題、填空題的形式考查古典概型、幾何概型的基本應(yīng)用. 4.將古典概型與概率的性質(zhì)相結(jié)合，考查知識的綜合應(yīng)用能力． 5.以選擇題、填空題的形式考查隨機抽樣、樣本的數(shù)字特征、統(tǒng)計圖表、回歸方程、獨立性檢驗等. 6.在概率與統(tǒng)計的交匯處命題，以解答題中檔難度出現(xiàn)． 【重點、考點剖析】 一、排列組合與計數(shù)原理的應(yīng)用 1．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 如果每種方法

2、都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計數(shù)原理將方法種數(shù)相加；如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘． 2. 名稱 排列 組合 相同點 都是從n個不同元素中取m(m≤n)個元素，元素?zé)o重復(fù) 不同點 ①排列與順序有關(guān)； ②兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列的元素及其排列順序完全相同 ①組合與順序無關(guān)； ②兩個組合相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個組合的元素完全相同 二、二項式定理 1．通項與二項式系數(shù) Tr＋1＝Can－rbr，其中C(r＝0,1,2，…，n)叫做二項式系數(shù)． 2．各二項式系數(shù)之和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2

3、)C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1. 三、古典概型與幾何概型 1．古典概型的概率公式 P(A)＝＝. 2．幾何概型的概率公式 P(A)＝ . 四、相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗 1．條件概率 在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率： P(B|A)＝. 2．相互獨立事件同時發(fā)生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)． 3．獨立重復(fù)試驗、二項分布 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率為 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 五、離散型隨機變量的分布列、均值與方差 1．均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝

4、aE(X)＋b； (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為實數(shù))． 2．兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【題型示例】 題型一　排列組合與計數(shù)原理 例1、(1)[2018·全國卷Ⅰ]從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字填寫答案) (2)[2018·浙江卷]從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個數(shù)字，一共可以組成________個沒有重復(fù)數(shù)字的四位

5、數(shù)．(用數(shù)字作答) 【解析】不含有0的四位數(shù)有＝720(個)． 含有0的四位數(shù)有＝540(個)． 綜上，四位數(shù)的個數(shù)為720＋540＝1 260. 【答案】1 260 【方法技巧】解排列、組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑： (1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素． (2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置． (3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù). 【變式探究】(2017·全國Ⅱ)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有________種． 站邀請，決定

6、對甲、乙、丙、丁這四個景區(qū)進行體驗式旅游，若不能最先去甲景區(qū)旅游，不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小李可選的旅游路線數(shù)為(　　) A．24　　　B．18 C．16 D．10 解析：分兩種情況，第一種：最后體驗甲景區(qū)，則有A種可選的路線；第二種：不在最后體驗甲景區(qū)，則有C·A種可選的路線．所以小李可選的旅游路線數(shù)為A＋C·A＝10.選D. 答案：D 【變式探究】某校畢業(yè)典禮上有6個節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起．則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有(　　) A．120種 B．156種 C．188種 D．

7、240種 解析：解法一　記演出順序為1～6號，對丙、丁的排序進行分類，丙、丁占1和2號，2和3號，3和4號，4和5號，5和6號，其排法種數(shù)分別為AA，AA，CAA，CAA，CAA，故總編排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120(種)． 解法二　記演出順序為1～6號，按甲的編排進行分類，①當(dāng)甲在1號位置時，丙、丁相鄰的情況有4種，則有CAA＝48(種)；②當(dāng)甲在2號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA＝36(種)；③當(dāng)甲在3號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA＝36(種)．所以編排方案共有48＋36＋36＝120(種)． 答案：A 【變式探究】中國古代中的“禮、樂

8、、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，數(shù)學(xué)．某校國學(xué)社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有(　　) A．120種 B．156種 C．188種 D．240種 (2)若自然數(shù)n使得作豎式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不產(chǎn)生進位現(xiàn)象，則稱n為“開心數(shù)”．例如：32是“開心數(shù)”．因為32＋33＋34不產(chǎn)生進位現(xiàn)象；23不是“開心數(shù)”，因為23＋24＋25

9、產(chǎn)生進位現(xiàn)象，那么，小于100的“開心數(shù)”的個數(shù)為(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 答案　D 解析　根據(jù)題意個位數(shù)需要滿足要求： n＋(n＋1)＋(n＋2)<10，即n<2.3， ∴個位數(shù)可取0,1,2三個數(shù)， ∵十位數(shù)需要滿足：3n<10，∴n<3.3， ∴十位可以取0,1,2,3四個數(shù)，故小于100的“開心數(shù)”共有3×4＝12(個)． 【感悟提升】(1)在應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當(dāng)中又可能用到分類加法計數(shù)原理． (2)對于復(fù)雜的兩個原理綜合使用的問題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化． 【變式探究

10、】　(1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個紅包，每人最多搶一個，且紅包被全部搶完，4個紅包中有2個6元，1個8元，1個10元(紅包中金額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的情況有(　　) A．18種 B．24種 C．36種 D．48種 答案　C 解析　若甲、乙搶的是一個6元和一個8元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有AA＝12(種)搶法； 若甲、乙搶的是一個6元和一個10元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有AA＝12(種)搶法； 若甲、乙搶的是一個8元和一個10元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有AC＝6(種

11、)搶法； 若甲、乙搶的是兩個6元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有A＝6(種)搶法． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得甲、乙都搶到紅包的情況共有36種． (2)(2018·百校聯(lián)盟聯(lián)考)某山區(qū)希望小學(xué)為豐富學(xué)生的伙食，教師們在校園附近開辟了如圖所示的四塊菜地，分別種植西紅柿、黃瓜、茄子三種產(chǎn)量大的蔬菜，若這三種蔬菜種植齊全，同一塊地只能種植一種蔬菜，且相鄰的兩塊地不能種植相同的蔬菜，則不同的種植方式共有(　　) 1 2 3 4 A.9種 B．18種 C．12種 D．36種 答案　B 解析　若種植2塊西紅柿，則他們在13,14或24位置上種植，剩下兩個

12、位置種植黃瓜和茄子，所以共有3×2＝6(種)種植方式； 若種植2塊黃瓜或2塊茄子也是3種種植方式，所以一共有6×3＝18(種)種植方式． 題型二 二項式定理 例2、(1)[2018·全國卷Ⅲ]5的展開式中x4的系數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．40 D．80 【解析】　5的展開式的通項公式為Tr＋1＝C5·(x2)5－r·r＝C5·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展開式中x4的系數(shù)為C5·22＝40. 故選C. 【答案】C 【變式探究】(2017·浙江)已知多項式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a

13、5，則a4＝________，a5＝________. 答案　16　4 解析　a4是x項的系數(shù)，由二項式的展開式得 a4＝C·C·2＋C·C·22＝16. a5是常數(shù)項，由二項式的展開式得a5＝C·C·22＝4. 【變式探究】(2017·浙江)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有________種不同的選法．(用數(shù)字作答) 答案　660 【變式探究】若(1－3x)2 018＝a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，x∈R，則a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018的值為(　　) A．22

14、 018－1 B．82 018－1 C．22 018 D．82 018 【解析】由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝82 018－a0＝82 018－1，故選B. 【答案】B 【方法技巧】 (1)利用二項式定理求解的兩種常用思路 ①二項式定理中最關(guān)鍵的是通項公式，求展開式中特定的項或者特定項的系數(shù)均是利用通項公式和方程思想解決的． ②二項展開式的系數(shù)之和通常是通過對二項式及其展開式中的變量賦值得出的，注意根據(jù)展開

15、式的形式給變量賦值． (2)【特別提醒】在應(yīng)用通項公式時，要注意以下幾點： ①它表示二項展開式的任意項，只要n與r確定，該項就隨之確定； ②Tr＋1是展開式中的第r＋1項，而不是第r項； (2)已知1名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資．每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修，就能使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值． 【解析】　(1)1臺機器是否出現(xiàn)故障可看作1次試驗，在1次試驗中，機器出現(xiàn)故障設(shè)為事件A，則事件A的概率為.該廠有4臺機器，就相當(dāng)于4次獨立重復(fù)試驗，可設(shè)出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X，則X～B，

16、 ∴P(X＝0)＝C·4＝，P(X＝1)＝C·· 3＝，P(X＝2)＝C·2·2＝，P(X＝3)＝C·3·＝，P(X＝4)＝C·4＝. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 設(shè)該廠有n名工人，則“每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修”為X≤n，即X＝0，X＝1，X＝2，…，X＝n，這n＋1個互斥事件的和事件，則 n 0 1 2 3 4 P(X≤n) 1 ∵＜90%≤，∴該廠至少需要3名工人，才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不少于90%. (2)設(shè)該廠每月可獲利Y萬元，

17、則Y的所有可能取值為18,13,8，P(Y＝18)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝，P(Y＝13)＝P(X＝3)＝，P(Y＝8)＝P(X＝4)＝， ∴Y的分布列為 Y 18 13 8 P 則E(Y)＝18×＋13×＋8×＝(萬元)． 故該廠每月獲利的均值為萬元． 【方法技巧】 (1)求復(fù)雜事件概率的兩種方法 ①直接法：正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件或幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件或一獨立重復(fù)試驗問題，然后用相應(yīng)概率公式求解． ②間接法：當(dāng)復(fù)雜事件正面情況比較多，反面情況較少，則可利用其對立事件進行求解．對于“

18、至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解． (2)注意辨別獨立重復(fù)試驗的基本特征：①在每次試驗中，試驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；②在每次試驗中，事件發(fā)生的概率相同． 【變式探究】某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運動員參加某運動會的單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況．規(guī)定一名運動員出線記1分，未出線記0分．假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為，，，他們出線與未出線是相互獨立的． (1)求在這次選拔賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率； (2)記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運動員的得分之和為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ. 解析：(1)記“甲出線”為事件A

19、，“乙出線”為事件B，“丙出線”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名出線”為事件D， 則P(D)＝1－P()＝1－××＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 題型五 離散型隨機變量的分布列、均值與方差 例5、[2018·北京卷]電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表： 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數(shù) 140 50 300 200 800 510 好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評率是指：一類

20、電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值． 假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨立． (1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率． (2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率． (3)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“ξk＝1”表示第k類電影得到人們喜歡，“ξk＝0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k＝1,2,3,4,5,6)．寫出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關(guān)系． 【解析】(1)解：由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2

21、 000， 第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25＝50， 故所求概率為＝0.025. (2)解：設(shè)事件A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”，事件B為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評”． 故所求概率為P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)(1－P(B))＋(1－P(A))P(B)． 由題意知P(A)估計為0.25，P(B)估計為0.2. 故所求概率估計為0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35. (3)解：Dξ1>Dξ4>Dξ2＝Dξ5>Dξ3>Dξ6. 【方法技巧】解答離散型隨機變量的分布列及相關(guān)問題的一般思路： (1)明確隨機變量可能取哪

22、些值． (2)結(jié)合事件特點選取恰當(dāng)?shù)挠嬎惴椒ǎ⒂嬎氵@些可能取值的概率值． (3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解. 【變式探究】 (2017·全國Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15)

23、 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位：瓶)為多少時，Y的期望達到最大值？ 解　(1)由題意知，X所有的可能取值為200,300,500， 由表格數(shù)據(jù)知， P(X＝200)＝＝0.2， P(X＝300)＝＝0.4， P(X＝500)＝＝0.4. 則X的分布列為 X

24、 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200≤n≤500. 當(dāng)300≤n≤500時， 若最高氣溫不低于25，則Y＝6n－4n＝2n； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n； 若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n， 因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n. 當(dāng)200≤n<300時， 若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4

25、n＝2n； 若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n， 因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n. 所以當(dāng)n＝300時，Y的期望達到最大值，最大值為520元． 【變式探究】某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，…，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件．假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)． (1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下表所示： X1 5 6 7 8

26、P 0.4 a b 0.1 且X1的數(shù)學(xué)期望EX1＝6，求a，b的值； (2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下： 　3　5　3　3　8　5　5　6　3　4 　6　3　4　7　5　3　4　8　5　3 　8　3　4　3　4　4　7　5　6　7 用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望； (3)在(1)，(2)的條件下，若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由． 注：①產(chǎn)品的“性價比”＝產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望/產(chǎn)品的零售價； ②“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性． (3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下： ∵甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價格為6元/件， ∴其性價比為＝1， ∵乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8，價格為4元/件， ∴其性價比為＝1.2， 又1.2＞1，∴乙廠的產(chǎn)品更具可購買性． 12