《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第10節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及運算教學(xué)案 理(含解析)新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第10節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及運算教學(xué)案 理(含解析)新人教A版(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第十節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及運算
[考綱傳真] 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=C(C為常數(shù)),y=x ,y=x2,y=x3,y=,y=的導(dǎo)數(shù).3.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).能求簡單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax+b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù).
1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線斜率.相應(yīng)地,切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
原函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
f(x)=xn(n∈Q*)
f′
2、(x)=nxn-1
f(x)=sin x
f′(x)=cos_x
f(x)=cos x
f′(x)=-sin_x
f(x)=ax
f′(x)=axln_a(a>0)
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=logax
f′(x)=
f(x)=ln x
f′(x)=
3.導(dǎo)數(shù)的運算法則
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)′=(g(x)≠0).
4.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′=y(tǒng)u
3、′·ux′,即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.
[基礎(chǔ)自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)f′(x0)是函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的平均變化率.( )
(2)f′(x0)與[f(x0)]′表示的意義相同.( )
(3)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.( )
(4)函數(shù)f(x)=sin(-x)的導(dǎo)數(shù)是f′(x)=cos x.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.已知f(x)=xln x,若f′(x0)=2,則x0等于( )
A.e2 B.e
C. D.
4、ln 2
B [∵f′(x)=ln x+x·=ln x+1,
由f′(x0)=ln x0+1=2得ln x0=1,∴x0=e.]
3.有一機器人的運動方程為s(t)=t2+(t是時間,s是位移),則該機器人在時刻t=2時的瞬時速度為( )
A. B. C. D.
D [由題意知,機器人的速度方程為v(t)=s′(t)=2t-,故當(dāng)t=2時,機器人的瞬時速度為v(2)=2×2-=.]
4.曲線y=x2+在點(1,2)處的切線方程為________.
x-y+1=0 [∵y′=2x-,∴y′|x=1=1,
即曲線在點(1,2)處的切線的斜率k=1,
∴切線方程為y-2=x
5、-1,
即x-y+1=0.]
5.設(shè)f(x)=ln(3-2x)+cos 2x,則f′(0)=________.
- [∵f′(x)=-2sin 2x,
∴f′(0)=-.]
導(dǎo)數(shù)的計算
1.已知f(x)=x2+2xf′(1),則f′(0)=________.
-4 [∵f′(x)=2x+2f′(1),∴f′(1)=2+2f′(1),
∴f′(1)=-2.
∴f′(0)=2f′(1)=2×(-2)=-4.]
2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);
(2)y=sin ;
(3)y=.
[解] (1)因為y=(x2+3x+2)(x+
6、3)=x3+6x2+11x+6,
所以y′=3x2+12x+11.
(2)因為y=sin =-sin x,
所以y′=′=-(sin x)′=-cos x.
(3)y′=′=
=-.
[規(guī)律方法] 導(dǎo)數(shù)計算的技巧
(1)求導(dǎo)之前,應(yīng)對函數(shù)進行化簡,然后求導(dǎo),減少運算量.
(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時,先確定復(fù)合關(guān)系,由外向內(nèi)逐層求導(dǎo),必要時可換元.
導(dǎo)數(shù)的幾何意義
?考法1 求切線方程
【例1】 (2018·全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為( )
A.y=-2x B.y=-x
7、
C.y=2x D.y=x
D [因為函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),
所以(-x)3+(a-1)(-x)2+a(-x)=-[x3+(a-1)x2+ax],所以2(a-1)x2=0,因為x∈R,所以a=1,所以f(x)=x3+x,所以f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y=x.故選D.]
?考法2 求切點坐標(biāo)
【例2】 已知曲線y=-3ln x的一條切線的斜率為-,則切點的橫坐標(biāo)為( )
A.3 B.2
C.1 D.
B [因為y=-3ln x,所以y′=-.再由
8、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,令-=-,解得x=2或x=-3(舍去).故選B.]
?考法3 切線的條數(shù)問題
【例3】 過點A(2,1)作曲線f(x)=x3-3x的切線最多有( )
A.3條 B.2條
C.1條 D.0條
A [由題意得,f′(x)=3x2-3,設(shè)切點為(x0,x-3x0),那么切線的斜率為k=3x-3,利用點斜式方程可知切線方程為y-(x-3x0)=(3x-3)(x-x0),將點A(2,1)代入可得關(guān)于x0的一元三次方程2x-6x+7=0,令y=2x-6x+7,則y′=6x-12x0.
由y′=0得x0=0或x0=2.當(dāng)x0=0時,y=7>0;
x0=2時,y=-1<
9、0.
結(jié)合函數(shù)y=2x-6x+7的單調(diào)性可得方程2x-6x+7=0有3個解,故過點A(2,1)作曲線f(x)=x3-3x的切線最多有3條,故選A.]
?考法4 求參數(shù)的值(范圍)
【例4】 (2016·全國卷Ⅱ)若直線y=kx+b是曲線y=ln x+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=________.
1-ln 2 [設(shè)直線y=kx+b與兩曲線的切點分別為P1(x1,ln x1+2),P2(x2,ln(x2+1)).
∵y′1=,y′2=,
∴=,∴x1=x2+1.
此時切點P1(x2+1,ln(x2+1)+2).
故切線斜率k==2.
由=2,得切點P1的坐
10、標(biāo)為,
∴切線方程為y-2+ln 2=2.
令x=0,得y=1-ln 2,即b=1-ln 2.]
[規(guī)律方法] 1.求切線方程時,注意區(qū)分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線,曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程是y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);求過某點的切線方程,需先設(shè)出切點坐標(biāo),再依據(jù)已知點在切線上求解.
2.處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題,通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù):①切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率;②切點在切線上;③切點在曲線上.
(1)(2019·山師大附中模擬)函數(shù)f(x)=ln(2x-1)在點(1,f(1))處的切線方程
11、為( )
A.y=x-1 B.y=2x-1
C.y=2x-2 D.y=x
(2)若曲線y=ln x+ax2(a為常數(shù))不存在斜率為負數(shù)的切線,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C.(0,+∞) D.[0,+∞)
(3)(2019·青島模擬)已知函數(shù)y=f(x)及其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則曲線y=f(x)在點P處的切線方程是________.
(1)C (2)D (3)x-y-2=0 [(1)∵f(x)=ln(2x-1),
∴f′(x)=.
∴f′(1)=2,
又∵f(1)=0,
∴切線方程是:y=2x-2,故選C.
(2)由題意得
12、y′=+2ax(x>0).因為曲線不存在斜率為負數(shù)的切線,則y′≥0恒成立,即a≥max.因為x>0,所以-<0,即a≥0,故選D.
(3)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及圖象可知,曲線y=f(x)在點P處的切線的斜率k=f′(2)=1,又過點P(2,0),所以切線方程為x-y-2=0.]
1.(2016·全國卷Ⅲ)已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=ln(-x)+3x,則曲線y=f(x)在點(1,-3)處的切線方程是________.
y=-2x-1 [因為f(x)為偶函數(shù),所以當(dāng)x>0時,f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以f′(x)=-3,則f′(1)=-2.所以y=f(x)在點(1,-3)處的切線方程為y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.]
2.(2018·全國卷Ⅲ)曲線y=(ax+1)ex在點(0,1)處的切線的斜率為-2,則a=________.
-3 [y′=(ax+1+a)ex,由曲線在點(0,1)處的切線的斜率為-2,得y′|x=0=(ax+1+a)ex|x=0=1+a=-2,所以a=-3.]
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