《2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 回顧教材 以點(diǎn)帶面 5 回顧5 立體幾何學(xué)案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 回顧教材 以點(diǎn)帶面 5 回顧5 立體幾何學(xué)案(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、回顧5 立體幾何
[必記知識(shí)]
空間幾何體的表面積和體積
幾何體
側(cè)面積
表面積
體積
圓柱
S側(cè)=2πrl
S表=2πr(r+l)
V=S底h=πr2h
圓錐
S側(cè)=πrl
S表=πr(r+l)
V=S底h=πr2h
圓臺(tái)
S側(cè)=π(r+r′)l
S表=π(r2+r′2+rl+r′l)
V=(S上+S下+)h=π(r2+r′2+rr′)h
直棱柱
S側(cè)=Ch(C為底面周長(zhǎng))
S表=S側(cè)+S上+S下(棱錐的S上=0)
V=S底h
正棱錐
S側(cè)=Ch′(C為底面周長(zhǎng),h′為斜高)
V=S底h
正棱臺(tái)
S側(cè)=(C+C′)h′(C,C′分
2、別為上、下底面周長(zhǎng),h′為斜高)
V=(S上+S下+)h
球
S=4πR2
V=πR3
空間線面位置關(guān)系的證明方法
(1)線線平行:?a∥b,?a∥b,
?a∥b,?c∥b.
(2)線面平行:?a∥α,?a∥α,?a∥α.
(3)面面平行:?α∥β,?α∥β,
?α∥γ.
(4)線線垂直:?a⊥b.
(5)線面垂直:?l⊥α,?a⊥β,?a⊥β,?b⊥α.
(6)面面垂直:?α⊥β,?α⊥β.
[提醒]) 要注意空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理中的條件.如由α⊥β,α∩β=l,m⊥l,易誤得出m⊥β的結(jié)論,就是因?yàn)楹鲆暶婷娲怪钡男再|(zhì)定理中m?α的
3、限制條件.
用空間向量證明平行垂直
設(shè)直線l的方向向量為a=(a1,b1,c1),平面α、β的法向量分別為μ=(a2,b2,c2),υ=(a3,b3,c3).則有:
(1)線面平行
l∥α?a⊥μ?a·μ=0?a1a2+b1b2+c1c2=0.
(2)線面垂直
l⊥α?a∥μ?a=kμ?a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.
(3)面面平行
α∥β?μ∥υ?μ=λυ?a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3.
(4)面面垂直
α⊥β?μ⊥υ?μ·υ=0?a2a3+b2b3+c2c3=0.
用向量求空間角
(1)直線l1,l2的夾角θ有cos θ=|cos〈l1,
4、l2〉|(其中l(wèi)1,l2分別是直線l1,l2的方向向量).
(2)直線l與平面α的夾角θ有sin θ=|cos〈l,n〉|(其中l(wèi)是直線l的方向向量,n是平面α的法向量).
(3)平面α,β的夾角θ有cos θ=|cos〈n1,n2〉|,則α-l-β二面角的平面角為θ或π-θ(其中n1,n2分別是平面α,β的法向量).
[提醒]) 在處理實(shí)際問題時(shí),要注意異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍,要根據(jù)具體圖形確定二面角的平面角是銳角還是鈍角.
[必會(huì)結(jié)論]
三視圖的排列規(guī)則
俯視圖放在正(主)視圖的下面,長(zhǎng)度與正(主)視圖一樣;側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面
5、,高度與正(主)視圖一樣,寬度與俯視圖一樣.
平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖
球的組合體
(1)球與長(zhǎng)方體的組合體:長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).
(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng),正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng),正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).
(3)球與正四面體的組合體:棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為a(正四面體高a的),外接球的半徑為a(正四面體高a的).
[必練習(xí)題]
1.設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,有下列四個(gè)命題:
①若m?β,α⊥β,則m⊥α;
②若α∥β,m?α,則m∥
6、β;
③若n⊥α,n⊥β,m⊥α,則m⊥β;
④若m∥α,m∥β,則α∥β.
其中正確命題的序號(hào)是( )
A.①③ B.①②
C.③④ D.②③
解析:選D.對(duì)于①,注意到直線m可能與平面α,β的交線平行,此時(shí)結(jié)論不成立,因此①不正確;對(duì)于②,直線m與平面β必沒有公共點(diǎn),因此m∥β,②正確;對(duì)于③,由m⊥α,n⊥α,得m∥n,又n⊥β,因此m⊥β,③正確;對(duì)于④,平面α,β可能是相交平面,因此④不正確.綜上所述,其中正確命題的序號(hào)是②③,選D.
2.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是( )
A. B.2
C.3 D.4
解析:選A.由幾何體的
7、三視圖知,幾何體是底面為直角梯形,高為的四棱錐,如圖所示,則V=××(1+2)×2×=,故選A.
3.已知一個(gè)圓錐底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)切球的表面積為( )
A.π B.
C.2π D.3π
解析:選C.依題意,作出圓錐與球的軸截面,如圖所示,設(shè)球的半徑為r,易知軸截面三角形邊AB上的高為2,因此=,解得r=,所以圓錐內(nèi)切球的表面積為4π×=2π,故選C.
4.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升,其三視圖如圖所示(單位:寸),若π取3,其體積為12.6(單位:立方寸),則圖中的x為( )
A.1.2 B.1.
8、6
C.1.8 D.2.4
解析:選B.該幾何體是一個(gè)組合體,左邊是一個(gè)底面半徑為,高為x的圓柱,右邊是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為5.4-x,3,1的長(zhǎng)方體,所以組合體的體積V=V圓柱+V長(zhǎng)方體=π·×x+(5.4-x)×3×1=12.6(其中π=3),解得x=1.6.故選B.
5.已知S,A,B、C是球O表面上的不同點(diǎn),SA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=1,BC=,若球O的表面積為4π,則SA=( )
A. B.1
C. D.
解析:選B.根據(jù)已知把S-ABC補(bǔ)成如圖所示的長(zhǎng)方體.因?yàn)榍騉的表面積為4π,所以球O的半徑R=1,2R==2,解得SA=1,故選B.
6.棱長(zhǎng)都為2
9、的直平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=60°,則對(duì)角線A1C與側(cè)面DCC1D1所成角的正弦值為( )
A. B.
C. D.
解析:選C.過(guò)點(diǎn)A1作直線A1M⊥D1C1,交C1D1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連接CM,可得A1M⊥平面DD1C1C,則∠A1CM就是直線A1C與面DD1C1C所成的角.由所有棱長(zhǎng)均為2及∠A1D1C1=120°,得A1M=A1D1sin 60°=,又A1C===4,
所以sin∠A1CM==,故選C.
7.已知矩形ABCD,AB=1,BC=,將△ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折,在翻折過(guò)程中,( )
A.存在某個(gè)位置,使得直線AC與直
10、線BD垂直
B.存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線CD垂直
C.存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直
D.對(duì)任意位置,三對(duì)直線“AC與BD”“AB與CD”“AD與BC”均不垂直
解析:選B.若存在某個(gè)位置,使得AC⊥BD,作AE⊥BD于E,則BD⊥平面AEC,所以BD⊥EC,在△ABD中,AB2=BE·BD,BE=,而在△BCD中,BC2=BE·BD,BE=,兩者矛盾.故A錯(cuò)誤.
若存在某個(gè)位置,使得AB⊥CD,又因?yàn)锳B⊥AD,則AB⊥平面ACD,所以AB⊥AC,故AC=1,故B正確,D錯(cuò)誤.
若存在某個(gè)位置.使得AD⊥BC,又因?yàn)锳D⊥AB,則AD⊥平面ABC,所以AD⊥
11、AC,而斜邊CD小于直角邊AD,矛盾,故C錯(cuò)誤.
8.如圖,在四棱錐P-ACBD中,底面ACBD為正方形,PD⊥平面ACBD,BC=AC=a,PA=PB=a,PC=a,則點(diǎn)C到平面PAB的距離為________.
解析:根據(jù)條件可以將四棱錐置于一個(gè)正方體中進(jìn)行研究,如圖所示,易知AB=a,設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h,因?yàn)閂P-ABC=VC-PAB,即×S△ABC·PD=S△PAB·h,所以×a2×a=××(a)2×h,解得h=a,所以點(diǎn)C到平面PAB的距離為a.
答案:a
9.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,若動(dòng)點(diǎn)P在線段BD1上運(yùn)動(dòng),則·的取值范圍是________.
12、
解析:以DA所在的直線為x軸,DC所在的直線為y軸,DD1所在的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.
則D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1).
所以=(0,1,0),=(-1,-1,1).
因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BD1上運(yùn)動(dòng),
所以設(shè)=λ=(-λ,-λ,λ),且0≤λ≤1.
所以=+=+=(-λ,1-λ,λ),
所以·=1-λ∈[0,1].
答案:[0,1]
10.如圖,在正三角形ABC中,D,E,F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn),G,H分別為DE,AF的中點(diǎn),將△ABC沿DE,EF,DF折成四面體P-DEF,則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為________.
解析:折成的四面體是正四面體,如圖連接HE,取HE的中點(diǎn)K,連接GK,PK,則GK∥DH.故∠PGK即為所求的異面直線所成的角.設(shè)這個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2,在△PGK中,PG=,GK=,PK==,故cos∠PGK==,即異面直線PG與DH所成的角的余弦值是.
答案:
6