2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第1章 集合與常用邏輯術(shù)語 1.4 充分條件與必要條件 1.4.2 充要條件教學(xué)案 新人教A版必修第一冊

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1、1.4.2　充要條件 (教師獨具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系． 教學(xué)重點：掌握充要條件的概念，理解充要條件的意義，會判斷條件與結(jié)論之間的充要性． 教學(xué)難點：判斷條件與結(jié)論之間的充要性． 【知識導(dǎo)學(xué)】 知識點　充要條件 (1)如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件(sufficient and necessary condition)． (2)當(dāng)p是q的充要條件時，

2、q也是p的充要條件． (3)p是q的充要條件也常常說成“p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立”，或“p與q等價”． 【新知拓展】 1．從概念的角度去理解充分條件、必要條件、充要條件 (1)若p?q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件． (2)若p?q，則p是q的充要條件． (3)若p?q，且q p，則稱p是q的充分不必要條件． (4)若p q，且q?p，則稱p是q的必要不充分條件． (5)若p q，且q p，則稱p是q的既不充分也不必要條件． 2．從集合的角度去理解充分條件、必要條件、充要條件 若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}

3、，則 (1)若A?B，則p是q的充分條件． (2)若B?A，則p是q的必要條件． (3)若A＝B，則p是q的充要條件． (4)若A?B且BA，即AB，則p是q的充分不必要條件． (5)若B?A且AB，即BA，則p是q的必要不充分條件． (6)若AB且BA，則p是q的既不充分也不必要條件． 3．“?”的傳遞性 若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件． 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)當(dāng)p是q的充要條件時，也可說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立．(　　) (2)符號“?”具有傳遞性．(　　) (3)若pq和q

4、不能推出p有一個成立，則p一定不是q的充要條件．(　　) (4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要條件．(　　) (5)“三角形的三條邊相等”是“三角形的三個角相等”的充要條件．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)“x2－3x＋2＝0”的充要條件是_______________________________． (2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________條件．(從“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選一個合適的填空) (3)若△ABC∽△DEF，“相似比

5、為3∶2”是“對應(yīng)高的比為3∶2”的________條件．(從“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選一個合適的填空) 答案　(1)x＝1或x＝2　(2)充要　(3)充要 題型一 充要條件的概念及判斷方法　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　在下列各題中，試判斷p是q的什么條件． (1)p：a＝b，q：ac＝bc； (2)p：a＋5是無理數(shù)，q：a是無理數(shù)； (3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (4)p：A∩B＝A，q：?UB??UA. [解]　(1)因為a＝b?ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的

6、充分條件，但不是必要條件． (2)因為a＋5是無理數(shù)?a是無理數(shù)，并且a是無理數(shù)?a＋5是無理數(shù)，所以p是q的充要條件． (3)因為a2＋b2＝0?a＝b＝0，并且a＝b＝0?a2＋b2＝0，所以p是q的充要條件． (4)因為A∩B＝A?A?B??UA??UB，并且?UB??UA?B?A?A∩B＝A，所以p是q的充要條件． [題型探究]　已知p是q的充分條件，q是r的必要條件，也是s的充分條件，r是s的必要條件，問： (1)p是r的什么條件？ (2)s是q的什么條件？ (3)p，q，r，s中哪幾對互為充要條件？ 解　作出“?”圖，如右圖所示，可知： p?q，r?q，q?s

7、，s?r. (1)p?q?s?r，且r?q，q能否推出p未知，∴p是r的充分條件． (2)∵s?r?q，q?s， ∴s是q的充要條件． (3)共有三對充要條件，q?s；s?r；r?q. 金版點睛 判斷p是q的充分必要條件的兩種思路 (1)命題角度：判斷p是q的充分必要條件，主要是判斷p?q及q?p這兩個命題是否成立．若p?q成立，則p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；若q?p成立，則p是q的必要條件，同時q是p的充分條件；若二者都成立，則p與q互為充要條件． (2)集合角度：關(guān)于充分條件、必要條件、充要條件，當(dāng)不容易判斷p?q及q?p的真假時，也可以從集合角度去判斷，結(jié)

8、合集合中“小集合?大集合”的關(guān)系來理解，這對解決與邏輯有關(guān)的問題是大有益處的． 此外，對于較復(fù)雜的關(guān)系，常用?，?，?等符號進行傳遞，畫出它們的綜合結(jié)構(gòu)圖，可降低解題難度． 　指出下列各題中，p是q的什么條件？ (1)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B； (2)p：q： (3)已知實數(shù)a，b，p：a>0且b>0，q：a＋b>0且ab>0. 解　(1)因為A∪B＝A?B?A，而A∩B＝B?B?A，所以A∪B＝A?A∩B＝B，所以p是q的充要條件． (2)由根據(jù)不等式的性質(zhì)可得 即p?q，而由不能推出 如：α＝1，β＝5滿足但不滿足α>2. 所以p是q的充分不必要條件．

9、 (3)由a>0且b>0?a＋b>0且ab>0，并且由a＋b>0且ab>0?a>0且b>0，所以p是q的充要條件． 題型二 充要條件的證明　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2　已知ab≠0，求證：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件． [證明]?、俪浞中裕? ∵a＋b＝1，∴b＝1－a， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. ②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴(a＋b)(a2

10、－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， ∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. ∵ab≠0，∴a≠0且b≠0， ∴a2－ab＋b2≠0. ∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1. 綜上可知，當(dāng)ab≠0時，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件． [題型探究]　已知a，b是實數(shù)，求證：a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分條件．該條件是否為必要條件？試證明你的結(jié)論． 證明　因為a2－b2＝1，所以a4－b4－2b2＝(a2－b2)·(a2＋b2)－2b2＝(a2＋b2)－2b2＝a2－b2＝1. 即a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分條件．

11、 另一方面，若a4－b4－2b2＝1， 即a4－(b4＋2b2＋1)＝0， a4－(b2＋1)2＝0， (a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0. 又a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0， 即a2－b2＝1. 因此a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的必要條件． 金版點睛 充要條件的證明 證明充要條件時要從充分性和必要性兩個方面分別證明，首先分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，然后確定推出方向，即充分性需要證明“條件”?“結(jié)論”，必要性需要證明“結(jié)論”?“條件”． 　求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一負根的充要條件是ac<0. 證明　

12、①必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0，∴ac<0. ②充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1x2＝<0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實根，且兩根異號，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根． 綜上可知，關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一負根的充要條件是ac<0. 題型三 探求充要條件　　 例3　求關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負實根的充要條件． [解]　①當(dāng)a＝0時，方程為一元一次方程，其根為x＝－，符合要求． ②當(dāng)a≠0時，方程為一元二次方程，此時ax2

13、＋2x＋1＝0有實根的充要條件是判別式Δ≥0，即4－4a≥0，從而a≤1.設(shè)方程ax2＋2x＋1＝0的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝－，x1x2＝. (ⅰ)方程ax2＋2x＋1＝0有一負根一正根的充要條件為?a<0； (ⅱ)方程ax2＋2x＋1＝0有兩個負根的充要條件為?0

14、充要條件，探求的過程同時也是證明的過程，因為探求過程的每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來證． 　已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有兩個大于1的實數(shù)根的充要條件． 解　方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，則方程有兩個大于1的實數(shù)根x1，x2： ? ? ? ?k<－2. 所以使方程有兩個大于1的實數(shù)根的充要條件是k<－2. 1．已知A，B是非空集合，命題p：A∪B＝B，命題q：AB，則p是q的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．既不充分也不必要條件 D．必要不充分條件 答案　D 解析　由A∪B＝B，得

15、AB或A＝B；反之，由AB，得A∪B＝B，所以p是q的必要不充分條件． 2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的(　　) A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．故“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的充分不必要條件． 3．設(shè)x∈R，則“x<－1”是“|x|>1”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也

16、不必要條件 答案　A 解析　因為x<－1?|x|>1，而|x|>1?x<－1或x>1，故“x<－1”是“|x|>1”的充分不必要條件． 4．關(guān)于x的不等式|x|>a的解集為R的充要條件是________． 答案　a<0 解析　由題意知|x|>a恒成立，∵|x|≥0，∴a<0. 5．已知x，y都是非零實數(shù)，且x>y，求證：<的充要條件是xy>0. 證明　證法一：①充分性：由xy>0及x>y，得>，即<. ②必要性：由<，得－<0，即<0. 因為x>y，所以y－x<0，所以xy>0. 所以<的充要條件是xy>0. 證法二：y?y－x<0，故由<0?xy>0. 所以0，即<的充要條件是xy>0. - 8 -