2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點 分層教學(xué) 專項一 2 第2練 算法與平面向量學(xué)案

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1、第2練　算法與平面向量 年份 卷別 考查內(nèi)容及考題位置 命題分析 2018 卷Ⅰ 平面向量的線性運算·T6 1.高考對算法的考查，每年平均有一道小題，一般出現(xiàn)在第6～9題的位置上，難度中等偏下，均考查程序框圖，熱點是循環(huán)結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)，有時綜合性較強，其背景涉及數(shù)列、函數(shù)、數(shù)學(xué)文化等知識． 2．平面向量是高考必考內(nèi)容，每年每卷均有一個小題(選擇題或填空題)，一般出現(xiàn)在第3～7或第13～15題的位置上，難度較低．主要考查平面向量的模、數(shù)量積的運算、線性運算等，數(shù)量積是其考查的熱點. 卷Ⅱ 平面向量的數(shù)量積運算·T4　程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)·T7 卷Ⅲ 平面向量的坐標(biāo)運算

2、、平面向量共線的條件·T13 2017 卷Ⅰ 程序框圖的識別、循環(huán)結(jié)構(gòu)·T8　向量的模與向量的數(shù)量積·T13 卷Ⅱ 程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)·T8　平面向量的數(shù)量積·T12 卷Ⅲ 程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)·T7 平面向量的線性運算、直線與圓的位置關(guān)系·T12 2016 卷Ⅰ 程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)·T9 向量的數(shù)量積、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算·T13 卷Ⅱ 程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)(以“秦九韶算法”為背景)·T8 向量的坐標(biāo)運算、向量垂直的應(yīng)用·T3 卷Ⅲ 程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)·T7　向量的夾角問題·T3 算　法 2類程序框圖問題的解決方法 (1)求解程序框圖的運行結(jié)果

3、問題 先要找出控制循環(huán)的變量及其初值、終值．然后看循環(huán)體，若循環(huán)次數(shù)較少，可依次列出即可得到答案；若循環(huán)次數(shù)較多，可先循環(huán)幾次，找出規(guī)律．要特別注意最后輸出的是什么，不要出現(xiàn)多一次或少一次循環(huán)的錯誤，尤其對于以累和為限定條件的問題，需要逐次求出每次迭代的結(jié)果，并逐次判斷是否滿足終止條件． (2)對于程序框圖的填充問題 最常見的是要求補充循環(huán)結(jié)構(gòu)的判斷條件，解決此類問題的方法：創(chuàng)造參數(shù)的判斷條件為“i＞n？”或“i＜n？”，然后找出運算結(jié)果與條件的關(guān)系，反解出條件即可． [考法全練] 1．(2018·高考天津卷)閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為20，則輸出T的值為

4、(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：選B.N＝20，i＝2，T＝0，＝＝10，是整數(shù)； T＝0＋1＝1，i＝2＋1＝3，3<5，＝，不是整數(shù)； i＝3＋1＝4，4<5，＝＝5，是整數(shù)； T＝1＋1＝2，i＝4＋1＝5，結(jié)束循環(huán)． 輸出的T＝2，故選B. 2．(2018·貴陽模擬)某程序框圖如圖所示，若該程序運行后輸出的值是，則整數(shù)a的值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：選A.先不管a的取值，直接運行程序．首先給變量S，k賦值，S＝1，k＝1，執(zhí)行S＝S＋，得S＝1＋，k＝2；執(zhí)行S＝1＋＋，k＝3；…繼續(xù)執(zhí)

5、行，得S＝1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－，由2－＝得k＝6，所以整數(shù)a＝6，故應(yīng)選A. 3．(2018·石家莊質(zhì)量檢測(二))20世紀70年代，流行一種游戲——角谷猜想，規(guī)則如下：任意寫出一個自然數(shù)n，按照以下的規(guī)律進行變換，如果n是奇數(shù)，則下一步變成3n＋1；如果n是偶數(shù)，則下一步變成.這種游戲的魅力在于無論你寫出一個多么龐大的數(shù)字，最后必然會落在谷底，更準(zhǔn)確地說是落入底部的4－2－1循環(huán)，而永遠也跳不出這個圈子，下列程序框圖就是根據(jù)這個游戲而設(shè)計的，如果輸出的i值為6，則輸入的n值為(　　) A．5 B．16 C．5或32 D．4或5或32 解析：選C.若n＝5，執(zhí)行

6、程序框圖，n＝16，i＝2；n＝8，i＝3；n＝4，i＝4；n＝2，i＝5；n＝1，i＝6，結(jié)束循環(huán)，輸出的i＝6.若n＝32，執(zhí)行程序框圖，n＝16，i＝2；n＝8，i＝3；n＝4，i＝4；n＝2，i＝5；n＝1，i＝6，結(jié)束循環(huán)，輸出的i＝6.當(dāng)n＝4或16時，檢驗可知不正確，故輸入的n＝5或32，故選C. 4．(2018·武漢調(diào)研)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的a依次為2，2，5時，輸出的s為17，那么在判斷框中可以填入(　　) A．k＜n? B．k＞n? C．k≥n? D．k≤n? 解析：選B.執(zhí)行程序框圖，輸入的a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；輸入的a＝2

7、，s＝2×2＋2＝6，k＝2；輸入的a＝5，s＝2×6＋5＝17，k＝3，此時結(jié)束循環(huán)，又n＝2，所以判斷框中可以填“k＞n？”，故選B. 5．(2018·福州模擬)如圖所示的程序框圖是為了求出滿足1＋＋＋…＋＜1 000的最大正整數(shù)n的值，那么在和兩個空白框中，可以分別填入(　　) A．“S＜1 000”和“輸出i－1” B．“S＜1 000”和“輸出i－2” C．“S≥1 000”和“輸出i－1” D．“S≥1 000”和“輸出i－2” 解析：選D.根據(jù)程序框圖的功能，可知判斷框內(nèi)應(yīng)填“S≥1 000”．由程序框圖分析知，輸出框中應(yīng)填寫“輸出i－2”，故選D. 平面向

8、量的線性運算 平面向量線性運算的2種技巧 (1)對于平面向量的線性運算問題，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，靈活運用三角形法則、平行四邊形法則，緊密結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)進行運算． (2)在證明兩向量平行時，若已知兩向量的坐標(biāo)形式，常利用坐標(biāo)運算來判斷；若兩向量不是以坐標(biāo)形式呈現(xiàn)的，常利用共線向量定理(當(dāng)b≠0時，a∥b?存在唯一實數(shù)λ，使得a＝λb)來判斷． 向量共線問題的4個結(jié)論 (1)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0. (2)直線的向量式參數(shù)方程，A，P，B三點共線?＝(1－t)·＋t(O為平面內(nèi)任一點，t∈R)． (3)＝λ＋μ(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三

9、點共線，則λ＋μ＝1. (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2＝x2y1，當(dāng)且僅當(dāng)x2y2≠0時，a∥b?＝. [考法全練] 1．(2018·貴陽模擬)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，－1)，若a∥(a＋b)，則實數(shù)m的值為(　　) A.　　　　　　　　　　　 B．－ C．3 D．－3 解析：選B.a＋b＝(1＋m，1)，因為a∥(a＋b)，所以2(1＋m)＝1，解得m＝－.故選B. 2．(一題多解)(2018·高考全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ 解析：選A

10、.法一：如圖所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故選A. 法二：＝－＝－＝－×(＋)＝－，故選A. 3．(2018·陜西教學(xué)質(zhì)量檢測(一))已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，則△ABC的面積等于(　　) A. B．2 C．3 D．4 解析：選B.由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中點為D，則PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，||＝1可得||＝，則||＝2，所以△ABC的面積為×2×2＝2，故選B. 4．(2018·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測

11、)如圖，在△ABC中，N為線段AC上靠近點A的三等分點，點P在線段BN上且＝＋，則實數(shù)m的值為(　　) A．1 B. C. D. 解析：選D.＝＋＝＋(－)＝m＋，設(shè)＝λ (0≤λ≤1)，則＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ) ＋λ，因為＝，所以＝(1－λ)＋λ，則解得故選D. 平面向量的數(shù)量積 平面向量的數(shù)量積的2種運算形式 (1)數(shù)量積的定義：a·b＝|a||b|cos θ(其中θ為向量a，b的夾角)； (2)坐標(biāo)運算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)時，a·b＝x1x2＋y1y2. 平面向量的3個性質(zhì) (1)若a＝(x，y)，則|a|＝＝. (2)

12、若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ||＝. (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cos θ＝＝. [考法全練] 1．(2018·貴陽模擬)如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，平行四邊形ABCD的頂點D被陰影遮住，找出D點的位置，·的值為(　　) A．10　　　　　　　　　　　 B．11 C．12 D．13 解析：選B.以點A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(4，1)，C(6，4)，根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，可以得到D(2，3)，所以·＝(4，1)·(2，3)＝8＋3＝11.故選B. 2．(2

13、018·高考全國卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：選B.a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故選B. 3．(2018·石家莊第二次質(zhì)量檢測)若兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，則向量a＋b與a的夾角為(　　) A. B. C. D. 解析：選A.因為|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，所以a·b＝0.又|a＋b|＝2|b|，所以|a＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，所以|a|＝|b|，cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝＝

14、，故a＋b與a的夾角為，故選A. 4．(2018·長春質(zhì)量檢測(一))已知平面內(nèi)三個不共線向量a，b，c兩兩夾角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，則|a＋b＋c|＝________． 解析：由平面內(nèi)三個不共線向量a，b，c兩兩夾角相等，可得夾角均為，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos ＋2×1×3×cos ＋2×1×3×cos ＝4，所以|a＋b＋c|＝2. 答案：2 5．(2018·益陽、湘潭調(diào)研)已知非零向量a，b滿足a·b＝0，|a＋b|＝t|a|，若a＋b與a－b的夾角為，則t的值為________． 解

15、析：因為a·b＝0，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即|a＋b|＝|a－b|.又|a＋b|＝t|a|，所以|a－b|＝|a＋b|＝t|a|.因為a＋b與a－b的夾角為，所以＝cos ，整理得＝，即(2－t2)|a|2＝2|b|2.又|a＋b|＝t|a|，平方得|a|2＋|b|2＝t2|a|2，所以|a|2＋＝t2|a|2，解得t2＝.因為t＞0，所以t＝. 答案： 平面向量在幾何中的應(yīng)用 2個常用結(jié)論 (1)△ABC中，AD是BC邊上的中線，則＝(＋)． (2)△ABC中，O是△ABC內(nèi)一點，若＋＋＝0，則O是△ABC的重心． 用向量解決平面幾何問題的3個步驟 (1)建立

16、平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題． (2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如平行、垂直和距離、夾角等問題． (3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系． [考法全練] 1．(2018·鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)已知平面向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，則(a＋c)·(2b－c)的最小值為(　　) A．－2 B．－ C．－1 D．0 解析：選B.設(shè)a與b的夾角為θ，則|a||b|cos θ＝，即cos θ＝，因為0≤θ≤π，所以θ＝，令＝a，＝b，以的方向為x軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則a＝＝(

17、1，0)，b＝＝，設(shè)c＝＝(cos α，sin α)(0≤α≤2π)，則(a＋c)·(2b－c)＝(1＋cos α，sin α)·(1－cos α，－sin α)＝(1＋cos α)(1－cos α)＋sin α(－sin α)＝1－cos2α＋sin α－sin2α＝sin α≥－.故選B. 2．(2018·惠州第二次調(diào)研)在四邊形ABCD中，＝，P為CD上一點，已知||＝8，||＝5，與的夾角為θ，且cos θ＝，＝3，則·＝________． 解析：因為＝，＝3，所以＝＋＝＋，＝＋＝－，又||＝8，||＝5，cos θ＝，所以·＝8×5×＝22，所以·＝·＝||2－·－||2＝52－

18、11－×82＝2. 答案：2 3．(一題多解)(2018·沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(一))已知△ABC是直角邊長為2的等腰直角三角形，且A為直角頂點，P為平面ABC內(nèi)一點，則·(＋)的最小值是________． 解析：法一：如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB，AC所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(2，0)，C(0，2)，設(shè)P(x，y)，則＝(－x，－y)，＝(2－x，－y)，＝(－x，2－y)，＋＝(2－2x，2－2y)，所以·(＋)＝－x(2－2x)－y(2－2y)＝2＋2－1≥－1，所以·(＋)的最小值為－1. 法二：·(＋)＝·(＋＋＋)＝·(2＋＋)． 設(shè)BC的

19、中點為D，則＋＝2. 所以·(＋)＝2·(＋)＝2PA·， 因為－2||·||≤2·≤2||·||，所以(2·)min＝－2||·||，此時點P在線段AD上(異于A，D)，設(shè)＝λ(－1＜λ＜0)，則||＝|λ|＝－λ·，||＝＋λ， 所以－2||·||＝4＝4－1，所以當(dāng)λ＝－時，·(＋)取得最小值－1. 答案：－1 一、選擇題 1．(2018·沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(一))已知一個算法的程序框圖如圖所示，當(dāng)輸出的結(jié)果為0時，輸入的實數(shù)x的值為(　　) A．－3　　　　　　　　　　　　 B．－3或9 C．3或－9 D．－3或－9 解析：選B.當(dāng)x≤0時，－8＝0，x＝－

20、3；當(dāng)x＞0時，2－log3x＝0，x＝9.故x＝－3或x＝9，故選B. 2．已知向量a，b均為單位向量，若它們的夾角為60°，則|a＋3b|等于(　　) A. B. C. D．4 解析：選C.依題意得a·b＝，|a＋3b|＝＝，故選C. 3．已知a，b為單位向量，設(shè)a與b的夾角為，則a與a－b的夾角為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.由題意，得a·b＝1×1×cos ＝，所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋1＝1，所以cos〈a，a－b〉＝＝＝1－＝，所以〈a，a－b〉＝，故選B. 4．(2018·合肥質(zhì)量檢測)已知向量a，b滿足|

21、a|＝2，|b|＝1，則下列關(guān)系可能成立的是(　　) A．(a－b)⊥a B．(a－b)⊥(a＋b) C．(a＋b)⊥b D．(a＋b)⊥a 解析：選C.因為|a|＝2，|b|＝1，設(shè)向量a，b的夾角為θ，若(a－b)⊥a，則(a－b)·a＝a2－a·b＝4－2cos θ＝0，解得cos θ＝2，顯然θ不存在，故A不成立；若(a－b)⊥(a＋b)，則(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝4－1＝3≠0，故B不成立；若(a＋b)⊥b，則(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋2cos θ＝0，解得cos θ＝－，即θ＝，故C成立；若(a＋b)⊥a，則(a＋b)·a＝a2＋a·b＝4＋2co

22、s θ＝0，解得cos θ＝－2，顯然θ不存在，故D不成立．故選C. 5．(2018·南寧模擬)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，那么輸出S的值是(　　) A．－1 B. C．2 D．1 解析：選C.運行框圖，首先給變量S，k賦值，S＝2，k＝2 015.判斷2 015＜2 018，S＝＝－1，k＝2 015＋1＝2 016，判斷2 016＜2 018，S＝＝，k＝2 016＋1＝2 017，判斷2 017＜2 018，S＝＝2，k＝2 017＋1＝2 018，判斷2 018＜2 018不成立，輸出S，此時S＝2.故選C. 6．(2018·洛陽第一次聯(lián)考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若

23、輸入m＝209，n＝121，則輸出的m的值為(　　) A．0 B．11 C．22 D．88 解析：選B.當(dāng)m＝209，n＝121時，m除以n的余數(shù)r＝88，此時m＝121，n＝88，m除以n的余數(shù)r＝33，此時m＝88，n＝33，m除以n的余數(shù)r＝22，此時m＝33，n＝22，m除以n的余數(shù)r＝11，此時m＝22，n＝11，m除以n的余數(shù)r＝0，此時m＝11，n＝0，退出循環(huán)，輸出m的值為11，故選B. 7．(2018·桂林模擬)在如圖所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為線段BC上的點，則·的最小值為(　　) A．12 B．15 C．17 D．16

24、 解析：選B.以B為坐標(biāo)原點，BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0，4)，D(2，4)，設(shè)E(x，0)(0≤x≤2)，所以·＝(x，－4)·(x－2，－4)＝x2－2x＋16＝(x－1)2＋15，于是當(dāng)x＝1，即E為BC的中點時，·取得最小值15，故選B. 8．(2018·西安八校聯(lián)考)在△ABC中，已知·＝，||＝3，||＝3，M，N分別是BC邊上的三等分點，則·的值是(　　) A. B. C．6 D．7 解析：選B.由題意得，＝＋，＝＋，所以·＝·＝2＋·＋2＝(2＋2)＋·＝×(32＋32)＋×＝，故選B. 9．(2018

25、·石家莊模擬)如圖是計算1＋＋＋…＋的值的程序框圖，則圖中①②處可以填寫的語句分別是(　　) A．n＝n＋2，i＞16? B．n＝n＋2，i≥16? C．n＝n＋1，i＞16? D．n＝n＋1，i≥16? 解析：選A.式子1＋＋＋…＋中所有項的分母構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，1，3，5，…，31，31＝1＋(k－1)×2，k＝16，共16項，故選A. 10．(2018·成都診斷性檢測)高三某班15名學(xué)生一次模擬考試成績用莖葉圖表示如圖1.執(zhí)行圖2所示的程序框圖，若輸入的ai(i＝1，2，…，15)分別為這15名學(xué)生的考試成績，則輸出的結(jié)果為(　　) A．6 B

26、．7 C．8 D．9 解析：選D.由程序框圖可知，其統(tǒng)計的是成績大于或等于110的人數(shù)，所以由莖葉圖知，成績大于或等于110的人數(shù)為9，因此輸出的結(jié)果為9.故選D. 11．(2018·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果是7，則判斷框內(nèi)m的取值范圍是(　　) A．(30，42] B．(30，42) C．(42，56] D．(42，56) 解析：選A.k＝1，S＝2，k＝2，S＝2＋4＝6，k＝3，S＝6＋6＝12，k＝4，S＝12＋8＝20，k＝5，S＝20＋10＝30，k＝6，S＝30＋12＝42，k＝7，此時不滿足S＝42＜m，退出循環(huán)，所以

27、30＜m≤42，故選A. 12．(一題多解)(2018·高考浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2－4e·b＋3＝0，則|a－b|的最小值是(　　) A.－1 B.＋1 C．2 D．2－ 解析：選A.法一：設(shè)O為坐標(biāo)原點，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以點B的軌跡是以C(2，0)為圓心，1為半徑的圓．因為a與e的夾角為，所以不妨令點A在射線y＝x(x>0)上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知|a－b|min＝||－||＝－1.故選A. 法二：由b2－4

28、e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0. 設(shè)b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中點為C，則B在以C為圓心，EF為直徑的圓上，如圖．設(shè)a＝，作射線OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1.故選A. 二、填空題 13．(2018·高考全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________． 解析：2a＋b＝(4，2)，因為c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝. 答案： 14

29、．定義[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[2]＝2，[3.6]＝3，如圖所示的程序框圖取材于中國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》．執(zhí)行該程序框圖，則輸出的a＝________． 解析：由程序框圖得k＝1，a＝9，a－3·＝0≠2，k＝2，a＝16，a－3·＝1≠2，k＝3，a＝23，a－3·＝2，a－5·＝3，退出循環(huán)體，所以輸出a＝23. 答案：23 15．平行四邊形ABCD中，M為BC的中點，若＝λ＋μ，則λμ＝________． 解析：因為＝－＝－＝－2＝3－2，所以＝λ＋3μ－2μ，所以(1－3μ)＝(λ－2μ)，因為和是不共線向量， 所以解得所以λμ＝. 答案： 16．(2018·唐山模擬)在△ABC中，(－3)⊥，則角A的最大值為________． 解析：因為(－3)⊥，所以(－3)·＝0，(－3)·(－)＝0，2－4·＋32＝0，即cos A＝＝＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)||＝||時等號成立．因為0＜A＜π，所以0＜A≤，即角A的最大值為. 答案： 17