2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第4講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 1 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修4-5

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1、一 數(shù)學(xué)歸納法 學(xué)習(xí)目標(biāo):1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍.(重點)2.會利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題.(重點、難點) 教材整理 數(shù)學(xué)歸納法的概念 閱讀教材P46~P50,完成下列問題. 一般地,當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟: (1)證明當(dāng)n=n0時命題成立; (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,且k≥n0)時命題成立,證明_n=k+1時命題也成立. 在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法. 數(shù)學(xué)歸納法證明中,在驗證了n=1時命題正確,假定n=k時命題正確,此時

2、k的取值范圍是(  ) A.k∈N      B.k>1,k∈N+ C.k≥1,k∈N+ D.k>2,k∈N+ C [數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法,所以k是正整數(shù),又第一步是遞推的基礎(chǔ),所以k大于等于1.] 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 【例1】 用數(shù)學(xué)歸納法證明: 1-+-+…+-=++…+. [精彩點撥] 要證等式的左邊共2n項,右邊共n項,f(k)與f(k+1)相比左邊增二項,右邊增一項,而且左、右兩邊的首項不同.因此,由“n=k”到“n=k+1”時要注意項的合并. [自主解答]?、佼?dāng)n=1時,左邊=1-===右邊,所以等式成立. ②假設(shè)n=k(k≥1

3、,k∈N+)時等式成立,即 1-+-+…+-=++…+,則當(dāng)n=k+1時, 左邊=1-+-+…+-+-=+- =+ =+…+++=右邊, 所以,n=k+1時等式成立. 由①②知,等式對任意n∈N+成立. 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的關(guān)鍵在于“先看項”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式的兩邊各有多少項,項的多少與n的取值是否有關(guān).由n=k到n=k+1時,等式的兩邊會增加多少項,增加怎樣的項. 2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時要注意兩點:一是要準(zhǔn)確表述n=n0時命題的形式,二是要準(zhǔn)確把握由n=k到n=k+1時,命題結(jié)構(gòu)的變化特點.并且一定要記?。涸谧C明n=k+1成立時,必須使用歸納

4、假設(shè),這是數(shù)學(xué)歸納法證明的核心環(huán)節(jié). 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1). [證明] (1)當(dāng)n=1時,左邊=12-22=-3, 右邊=-1×(2×1+1)=-3,等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時,等式成立,就是 12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1). 當(dāng)n=k+1時, 12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2 =-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)

5、 =-(k+1)[2(k+1)+1], 所以n=k+1時等式也成立, 根據(jù)(1)和(2)可知,等式對任何n∈N+都成立. 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 【例2】 用數(shù)學(xué)歸納法證明:(3n+1)·7n-1能被9整除(n∈N+). [精彩點撥] 先驗證n=1時命題成立,然后再利用歸納假設(shè)證明,關(guān)鍵是找清f(k+1)與f(k)的關(guān)系并設(shè)法配湊. [自主解答] (1)當(dāng)n=1時,原式=(3×1+1)×7-1=27,能被9整除,命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時,(3k+1)·7k-1能被9整除,則當(dāng)n=k+1時, [ 3(k+1)+1]·7k+1-1 =[21(k

6、+1)+7]·7k-1 =[(3k+1)+(18k+27)]·7k-1 =[(3k+1)·7k-1]+9(2k+3)·7k. ∵[(3k+1)·7k-1]和9(2k+3)·7k都能被9整除, ∴[ (3k+1)·7k-1]+9(2k+3)·7k能被9整除, 即[3(k+1)+1]·7k+1-1能被9整除, 即當(dāng)n=k+1時命題成立. 由(1)(2)可知,對任何n∈N+,命題都成立,即(3n+1)·7n-1能被9整除(n∈N+). 1.證明本題時關(guān)鍵是用歸納假設(shè)式子(3k+1)·7k-1表示n=k+1時的式子. 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題關(guān)鍵是利用增項、減項、拆項、并項、

7、因式分解等恒等變形的方法去湊假設(shè)、湊結(jié)論,從而利用歸納假設(shè)使問題獲證.一般地,證明一個與n有關(guān)的式子f(n)能被一個數(shù)a(或一個代數(shù)式g(n)) 整除,主要是找到f(k+1)與f(k)的關(guān)系,設(shè)法找到式子f1(k),f2(k),使得f(k+1)=f(k)·f1(k)+f2(k). 2.求證:n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除. [證明] (1)當(dāng)n=1時,13+(1+1)3+(1+2)3=36,36能被9整除,命題成立. (2)假設(shè)n=k(k≥1,k∈N+)時,命題成立,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除, 當(dāng)n=k+1時,(k+1)3+(k+2)3+(k+3

8、)3 =(k+1)3+(k+2)3+k3+3k2·3+3k·32+33 =[k3+(k+1)3+(k+2)3]+9(k2+3k+3), 由歸納假設(shè)知,上式中兩項都能被9整除,故n=k+1時,命題也成立. 由(1)和(2)可知,對n∈N+命題成立. 證明幾何命題 【例3】 平面內(nèi)有n(n≥2,n∈N+)條直線,其中任意兩條不平行,任意三條不過同一點,那么這n條直線的交點個數(shù)f(n)是多少?并證明你的結(jié)論. [精彩點撥] (1)從特殊入手,求f(2),f(3),f(4),猜想出一般性結(jié)論f(n);(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明. [自主解答] 當(dāng)n=2時,f(2)=1 ;當(dāng)n=3時,

9、f(3)=3; 當(dāng)n=4時,f(4)=6. 因此猜想f(n)=(n≥2,n∈N+). 下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明: (1)當(dāng)n=2時,兩條相交直線有一個交點, 又f(2)=×2×(2-1)=1. ∴n=2時,命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2且k∈N+)時命題成立,就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點個數(shù)為f(k)=k(k-1), 當(dāng)n=k+1時,其中一條直線記為l,剩下的k條直線為l1,l2,…,lk. 由歸納假設(shè)知,剩下的k條直線之間的交點個數(shù)為f(k)=. 由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點, 所以直線l與l1,l2,l3,…,lk的交點共有k個,

10、∴f(k+1)=f(k)+k=+k= ==, ∴當(dāng)n=k+1時,命題成立. 由(1)(2)可知,命題對一切n∈N+且n≥2時成立. 1.從特殊入手,尋找一般性結(jié)論,并探索n變化時,交點個數(shù)間的關(guān)系. 2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時,關(guān)鍵是正確分析由n=k到n=k+1時幾何圖形的變化規(guī)律并結(jié)合圖形直觀分析,要講清原因. 3.在本例中,探究這n條直線互相分割成線段或射線的條數(shù)是多少?并加以證明. [解] 設(shè)分割成線段或射線的條數(shù)為f(n),則f(2)=4,f(3)=9,f(4)=16. 猜想n條直線分割成線段或射線的條數(shù)f(n)=n2(n≥2),下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明

11、. (1)當(dāng)n=2時,顯然成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,且k∈N+)時, 結(jié)論成立,f(k)=k2. 則當(dāng)n=k+1時,設(shè)有l(wèi)1,l2,…,lk,lk+1,共k+1條直線滿足題設(shè)條件. 不妨取出直線l1,余下的k條直線l2,l3,…,lk,lk+1互相分割成f(k)=k2條射線或線段. 直線l1與這k條直線恰有k個交點,則直線l1被這k個交點分成k+1條射線或線段.k條直線l2,l3,…,lk-1中的每一條都與l1恰有一個交點,因此每條直線又被這一個交點多分割出一條射線或線段,共有k條. 故f(k+1)=f(k)+k+1+k=k2+2k+1=(k+1)2, ∴當(dāng)n=k+1

12、時,結(jié)論正確. 由(1)(2)可知,上述結(jié)論對一切n≥2且n∈N+均成立. 數(shù)學(xué)歸納法的概念 [探究問題] 1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法中,n取的第一個值n0是否一定是1? [提示] n0不一定是1,指適合命題的第一個正整數(shù),不是一定從1開始. 2.如何理解數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟之間的關(guān)系? [提示] 第一步是驗證命題遞推的基礎(chǔ),第二步是論證命題遞推的橋梁,這兩個步驟缺一不可,只完成步驟(1)而缺少步驟(2)就作出判斷,可能得出不正確的結(jié)論,因為單靠步驟(1)無法遞推下去,即n取n0以后的數(shù)時命題是否正確,我們無法判斷.同樣只有步驟(2)而缺少步驟(1)時,也可能得出不正確的結(jié)論,缺少步驟(

13、1)這個基礎(chǔ),假設(shè)就失去了成立的前提,步驟(2)也就無意義了. 【例4】 用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N+),在驗證n=1成立時,左邊計算的結(jié)果是(  ) A.1       B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 [精彩點撥] 注意左端特征,共有n+2項,首項為1,最后一項為an+1. C [實際是由1(即a0)起,每項指數(shù)增加1,到最后一項為an+1,所以n=1時,左邊的最后一項應(yīng)為a2,因此左邊計算的結(jié)果應(yīng)為1+a+a2.] 1.驗證是基礎(chǔ):找準(zhǔn)起點,奠基要穩(wěn),有些問題中驗證的初始值不一定為1. 2.遞推是關(guān)鍵:正確分析由

14、n=k到n=k+1時式子項數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障. 4.當(dāng)f(k)=1-+-+…+-,則f(k+1)=f(k)+________. [解析] f(k+1)=1-+-+…+-+-,∴f(k+1)=f(k)+-. [答案]?。? 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)· (2n+1)時,在驗證n=1成立時,左邊所得的代數(shù)式為(  ) A.1        B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4 C [當(dāng)n=1時左邊所得的代數(shù)式為1+2+3.] 2.某個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,如果當(dāng)n=k(k∈N+且k≥1)時命

15、題成立,則一定可推得當(dāng)n=k+1時,該命題也成立.現(xiàn)已知n=5時,該命題不成立,那么應(yīng)有(  ) A.當(dāng)n=4時,該命題成立 B.當(dāng)n=6時,該命題成立 C.當(dāng)n=4時,該命題不成立 D.當(dāng)n=6時,該命題不成立 C [若n=4時命題成立,由遞推關(guān)系知n=5時命題成立,與題中條件矛盾,所以n=4時,該命題不成立.] 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N+)時,從“n=k到n=k+1”左端需乘以的代數(shù)式為(  ) A.2k+1 B.2(2k+1) C. D. B [當(dāng)n=k時,等式為(k+1)(k+2)…(k+k

16、)=2k·1·3·…·(2k-1). 當(dāng)n=k+1時,左邊=[(k+1)+1][(k+1)+2]…[(k+1)+k][(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)·(2k+1)(2k+2). 比較n=k和n=k+1時等式的左邊,可知左端需乘以=2(2k+1).故選B.] 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明:“1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2,n∈N+”時,若n=1,則左端應(yīng)為________. [解析] 當(dāng)n=1時,左端應(yīng)為1×4=4. [答案] 4 5.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+a+a2+…+an-1=(a≠1,n∈N+). [證明] (1)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊==1,等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時,等式成立, 即1+a+a2+…+ak-1=. 那么n=k+1時, 左邊=1+a+a2+…+ak-1+ak=+ak == =右邊, 所以等式也成立. 由(1)(2)可知,對任意n∈N+等式均成立. - 7 -

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