2022年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題四 立體幾何 文

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1、2022年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題四 立體幾何 文 一、填空題 1．(xx·江蘇高考)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè)．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為________． 2．(xx·江蘇高考)設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且＝，則的值是________． 3．(xx·廣東高考改編)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，給出下列結(jié)論： ①l與l1，l2都不相交； ②l與l1，

2、l2都相交； ③l至多與l1，l2中的一條相交； ④l至少與l1，l2中的一條相交． 則上述結(jié)論正確的序號是________． 4．(xx·江蘇高考)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝ 3 cm，AA1＝2 cm，則四棱錐A －BB1D1D的體積為______cm3. 5．(xx·安徽高考改編)已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個(gè)不同平面，給出以下命題： ①若α，β垂直于同一平面，則α與β平行； ②若m，n平行于同一平面，則m與n平行； ③若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線； ④若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面．則上述命題錯(cuò)誤的

3、是________(填序號)． 6.(xx·江蘇高考)如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1上的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2＝______． 7．(xx·福建高考改編)若l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面α，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的________條件． 8.(xx·全國卷Ⅰ改編)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，

4、米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有________斛(取整數(shù))． 9．(xx·山東高考改編)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為________． 10．(xx·全國卷Ⅱ改編)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為________． 二、解答題 11．(xx·江蘇高考)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知A

5、C⊥BC，BC＝CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1＝E. 求證：(1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1. 12．(xx·江蘇高考)如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5. 求證：(1)直線PA∥平面DEF； (2)平面BDE⊥平面ABC. 13.(xx·江蘇高考)如圖，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)． 求證：(1)平面ADE⊥平面BCC

6、1B1； (2)直線A1F∥平面ADE. 專題四　立體幾何 經(jīng)典模擬·演練卷 一、填空題 1．(xx·蘇、錫、常、鎮(zhèn)調(diào)研)設(shè)α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，l是直線，給出下列四個(gè)命題： ①若α⊥β，l⊥β，則l∥α；②若l⊥α，l∥β，則α⊥β； ③若l上有兩點(diǎn)到α的距離相等，則l∥α； ④若α⊥β，α∥γ，則γ⊥β. 其中正確命題的序號是________． 2．(xx·濟(jì)寧模擬)已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的________條件． 3．(xx·蘇、錫、常、鎮(zhèn)模擬)在正方體ABCD

7、 －A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________． 4．(xx·泰州檢測)設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面．①若l∥α，l∥β，則α∥β；②若l∥α，l⊥β，則α⊥β；③若α⊥β，l⊥α，則l⊥β；④若α⊥β，l∥α，則l⊥β.則上述命題中正確的是________． 5.(xx·鎮(zhèn)江調(diào)研)如圖所示，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AC，PC的中點(diǎn)，PA＝2，AB＝1，求三棱錐C－PED的體積為________． 6．(xx·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊BC與AD的中點(diǎn)

8、，且BC＝2AB＝2，現(xiàn)沿EF將平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，則三棱錐A－FEC外接球的體積為________． 7.(xx·菏澤模擬)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E為棱DD1上的點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，則三棱錐B1－BFE的體積為________． 8．(xx·南通模擬)已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面．給出以下說法： ①若m∥α，n∥α，則m∥n； ②若m⊥α，n?α，則m⊥n； ③若m⊥α，m⊥n，則n∥α； ④若m∥α，m⊥n，則n⊥α； 則上述說法錯(cuò)誤的是________(填序號)． 9.(xx·南師附中模擬)在正三棱錐P

9、－ABC中，M，N分別是PB，PC的中點(diǎn)，若截面AMN⊥平面PBC，則此棱錐中側(cè)面積與底面積的比為________． 10．(xx·保定聯(lián)考)如圖，棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為線段A1B上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列結(jié)論： ①DC1⊥D1P； ②平面D1A1P⊥平面A1AP； ③∠APD1的最大值為90°； ④AP＋PD1的最小值為. 則上述結(jié)論正確的是________(填序號)． 二、解答題 11．(xx·蘇州調(diào)研)如圖，在三棱錐S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.過點(diǎn)A作AF⊥SB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn)．

10、 求證：(1)平面EFG∥平面ABC； (2)BC⊥SA. 12．(xx·蘇北四市調(diào)研)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)．求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 13．(xx·常州監(jiān)測)如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥BC，E，F(xiàn)分別是A1B，AC1的中點(diǎn)． (1)求證：EF∥平面ABC； (2)求證：平面AEF⊥平面AA1B1B； (

11、3)若A1A＝2AB＝2BC＝2a，求三棱錐F－ABC的體積． 專題四　立體幾何 專題過關(guān)·提升卷 (時(shí)間：120分鐘　滿分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1．底面邊長為2，高為1的正四棱錐的側(cè)面積為________． 2．設(shè)l，m表示直線，m是平面α內(nèi)的任意一條直線，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)⊥α”成立的________條件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中選填一個(gè))． 3．在下面四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形序號是________．

12、 4．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是________(填序號)． ①若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n；②若α∥β，m?α，n?β，則m∥n；③若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β；④若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β. 5．若一個(gè)圓錐的底面半徑為1，側(cè)面積是底面積的2倍，則該圓錐的體積為________． 6.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1－EDF的體積為________． 7．棱長為a的正四面體的外接球半徑為________． 8．點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球的球面上，A

13、B＝BC＝2，AC＝2，若四面體ABCD體積的最大值為，則該球的表面積為________． 9．將長、寬分別為4和3的長方形ABCD沿對角線AC折起，得到四面體A－BCD，則四面體A－BCD的外接球的體積為________． 10．到正方體ABCD－A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn)：①有且只有1個(gè)；②有且只有2個(gè)；③有且只有3個(gè)；④有無數(shù)個(gè)．其中正確答案的序號是________． 11．已知正四棱錐O－ABCD的體積為，底面邊長為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為________． 12．三棱錐P－ABC中，D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，記三棱

14、錐D－ABE的體積為V1，P－ABC的體積為V2，則＝________． 13．若α，β是兩個(gè)相交平面，則在下列命題中，真命題的序號為________(寫出所有真命題的序號)． ①若直線m⊥α，則在平面β內(nèi)，一定不存在與直線m平行的直線； ②若直線m⊥α，則在平面β內(nèi)，一定存在無數(shù)條直線與直線m垂直； ③若直線m?α，則在平面β內(nèi)，不一定存在與直線m垂直的直線； ④若直線m?α，則在平面β內(nèi)，一定存在與直線m垂直的直線． 14.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱A1B1上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y(tǒng)，DP＝z(x，

15、y，z大于零)，則關(guān)于四面體PEFQ的體積，下列說法正確的是______(填序號)． ①與x，y，z都有關(guān)；②與x有關(guān)，與y，z無關(guān)；③與y有關(guān)，與x，z無關(guān)；④與z有關(guān)，與x，y無關(guān)． 二、解答題(本大題共6小題，共90分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，AC，BD相交于點(diǎn)O，EF∥AB，AB＝2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)． (1)求證：直線OG∥平面EFCD； (2)求證：直線AC⊥平面ODE. 16．(本小題滿分14

16、分)(xx·蘇北四市模擬)如圖，在四棱錐O －ABCD中，底面ABCD為菱形，OA⊥平面ABCD，E為OA的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，求證： (1)平面BDO⊥平面ACO； (2)EF∥平面OCD. 17．(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝4，M是棱CC1上的一點(diǎn)． (1)求證：BC⊥AM； (2)若N是AB的中點(diǎn)，且CN∥平面AB1M，求CM的長度． 18．(本小題滿分16分)在三棱錐P－ABC中，D為AB的中點(diǎn)． (1)與BC平行的平面PDE交

17、AC于點(diǎn)E，判斷點(diǎn)E在AC上的位置并說明理由； (2)若PA＝PB，且△PCD為銳角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求證：AB⊥PC. 19．(本小題滿分16分)(xx·青島模擬)如圖，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分別為AB，CB的中點(diǎn)，M為底面△OBF的重心． (1)求證：平面ADF⊥平面CBF； (2)求證：PM∥平面AFC； (3)求多面體CD－AFEB的體積V. 20．(本小題滿分16分)(

18、xx·衡水調(diào)研考試)如圖，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是邊AC和BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B. (1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由； (2)求棱錐E－DFC的體積； (3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由． 專題四　立體幾何 真題體驗(yàn)·引領(lǐng)卷 1.　[設(shè)新的底面半徑為r，由題意得πr2·4＋πr2·8＝π×52＋8π×22，解之得r＝.] 2.　[設(shè)兩個(gè)圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，則＝.由圓柱的側(cè)面積相等，

19、得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，則＝，所以＝＝.] 3．④　[若l與l1，l2都不相交，則l∥l1，l∥l2，∴l(xiāng)1∥l2，這與l1和l2異面矛盾，∴l(xiāng)至少與l1，l2中的一條相交．] 4．6　[關(guān)鍵是求出四棱錐A －BB1D1D的高， 連接AC交BD于O，在長方體中， ∵AB＝AD＝3， ∴BD＝3且AC⊥BD. 又∵BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC. 又DB∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D， ∴AO為四棱錐A －BB1D1D的高且AO＝BD＝. ∵S矩形BB1D1D＝BD×BB1＝3×2＝6， ∴VA －BB1D1D＝S矩形BB1D1D·A

20、O＝×6×＝6(cm3)．] 5．①②③　[對于①，α，β垂直于同一平面，α，β關(guān)系不確定，①錯(cuò)；對于②，m，n平行于同一平面，m，n關(guān)系不確定，可平行、相交、異面，故②錯(cuò)；對于③，α，β不平行，但α內(nèi)能找出平行于β的直線，如α中平行于α，β交線的直線平行于β，故③錯(cuò)；對于④，若假設(shè)m，n垂直于同一平面，則m∥n，其逆否命題即為④選項(xiàng)，故④正確．] 6．1∶24　[設(shè)三棱錐F－ADE的高為h，則＝ ＝.] 7．必要而不充分　[當(dāng)l∥α?xí)r，由于m⊥平面α.∴m⊥l.則必要性成立．但l⊥m時(shí)，由于m⊥α，則l?α或l∥α，故充分性不成立．故“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的必要不充分條件．] 8．

21、22　[由題意知，米堆的底面半徑R＝(尺)，則米堆體積V＝×πR2·h＝××3××5≈(立方尺)．所以堆放的米大約為≈22(斛)．] 9.　[ 如圖，由題意，得BC＝2，AD＝AB＝1.繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周后所得幾何體為一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐的組合體．所求體積V＝π×12×2－π×12×1＝π.] 10．144π　[設(shè)點(diǎn)C到平面OAB的距離為h，球O的半徑為R(如圖所示)． 由∠AOB＝90°，得S△AOB＝R2， 要使VO－ABC＝·S△AOB·h最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C到平面OAB的距離，即三棱錐C－OAB底面OAB上的高最大，其最大值為球O的半徑R. 故VO－ABC＝R3＝

22、36，則R＝6. 所以S球＝4πR2＝4π×62＝144π.] 11．證明　(1)由題意知，E為B1C的中點(diǎn)，又D為AB1的中點(diǎn)， 因此DE∥AC. 又因?yàn)镈E?平面AA1C1C， AC?平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C. (2)因?yàn)槔庵鵄BC－A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC. 因?yàn)锳C?平面ABC，所以AC⊥CC1. 又因?yàn)锳C⊥BC，CC1?平面BCC1B1， BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C， 所以AC⊥平面BCC1B1. 又因?yàn)锽C1?平面BCC1B1， 所以BC1⊥AC. 因?yàn)锽C＝CC1，所以矩形BCC1B1

23、是正方形， 因此BC1⊥B1C. 因?yàn)锳C，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，， 所以BC1⊥平面B1AC. 又因?yàn)锳B1?平面B1AC， 所以BC1⊥AB1. 12．證明　(1)因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，所以DE∥PA. 又因?yàn)镻A?平面DEF，DE?平面DEF， 所以直線PA∥平面DEF. (2)因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA＝6，BC＝8， 所以DE∥PA， DE＝PA＝3，EF＝BC＝4. 又因?yàn)镈F＝5，故DF2＝DE2＋EF2， 所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF. 又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC. 因?yàn)锳

24、C∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC， 所以DE⊥平面ABC. 又DE?平面BDE， 所以平面BDE⊥平面ABC. 13．證明　(1)因?yàn)锳BC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因?yàn)锳D⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E， 所以AD⊥平面BCC1B1，又AD?平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因?yàn)锳1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以A1F⊥B1C1. 因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F. 又因?yàn)镃C1，B1C

25、1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又AD?平面ADE，A1F?平面ADE， 所以A1F∥平面ADE. 經(jīng)典模擬·演練卷 1．②④　[由線線、線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理逐個(gè)判斷，真命題為②④.] 2．必要不充分　[當(dāng)m⊥β，m?α?xí)r，α⊥β，必要性成立．但α⊥β，m?α，則m?β或m∥β或m與β相交．因此“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件．] 3.　[∵EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD， 平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC， 又∵E是AD的中

26、點(diǎn)， ∴F是CD的中點(diǎn)，即EF是△ACD的中位線， ∴EF＝AC＝×2＝.] 4．②　[利用線與面、面與面的關(guān)系定理判定，用特例法． 設(shè)α∩β＝a，若直線l∥a，且l?α，l?β，則l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故①錯(cuò)誤；由于l∥α，故在α內(nèi)存在直線l′∥l，又因?yàn)閘⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以②正確；若α⊥β，在β內(nèi)作交線的垂線l，則l⊥α，此時(shí)l在平面β內(nèi)，因此③錯(cuò)誤；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β內(nèi)，則l∥α且l∥β，因此④錯(cuò)誤．] 5.　[∵PA⊥平面ABCD， ∴PA是三棱錐P－CED的高，PA＝2. ∵ABCD是正方形，E是AC的中

27、點(diǎn)， ∴△CED是等腰直角三角形． AB＝1，故CE＝ED＝， S△CED＝CE·ED＝··＝. 故VC－PED＝VP－CED＝·S△CED·PA＝··2＝.] 6.π　[ 如圖，平面ABEF⊥平面EFDC，AF⊥EF， ∴AF⊥平面ECDF， 將三棱錐A－FEC補(bǔ)成正方體ABC′D′－FECD. 依題意，其棱長為1，外接球的半徑R＝， ∴外接球的體積V＝πR3＝π·＝π.] 7.　[∵V三棱錐B1－BFE＝V三棱錐E－BB1F， 又S△BB1F＝·BB1·BF＝，且點(diǎn)E到底面BB1F的距離h＝1.∴V三棱錐B1－BFE＝·h·S△BB1F＝.] 8．①③④　[若

28、m∥α，n∥α，則m，n可能平行、相交或異面，①錯(cuò)； 若m⊥α，n?α，則m⊥n，因?yàn)橹本€與平面垂直時(shí)，它垂直于平面內(nèi)任一直線，②正確； 若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，③錯(cuò)； 若m∥α，m⊥n，則n與α可能相交，可能平行，也可能n?α，④錯(cuò)．] 9.　[取BC的中點(diǎn)D，連接AD，PD，且PD與MN的交點(diǎn)為E.因?yàn)锳M＝AN，E為MN的中點(diǎn)，所以AE⊥MN，又截面AMN⊥平面PBC，所以AE⊥平面PBC，則AE⊥PD，又E點(diǎn)是PD的中點(diǎn)，所以PA＝AD.設(shè)正三棱錐P－ABC的底面邊長為a，則側(cè)棱長為a，斜高為a，則此棱錐中側(cè)面積與底面積的比為＝.] 10．①②④　[由DC1⊥平面

29、A1BCD1知DC1⊥D1P，∴①正確． ∵D1A1⊥平面ABB1A1，且A1D1?平面D1A1P， ∴平面D1A1P⊥平面A1AP，因此②正確． 當(dāng)0

30、. 因?yàn)镋F?平面ABC.AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC. 又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC. (2)因?yàn)槠矫鍿AB⊥平面SBC，且交線為SB，又AF?平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC. 因?yàn)锽C?平面SBC，所以AF⊥BC.又因?yàn)锳B⊥BC，AF∩AB＝A，AF?平面SAB，AB?平面SAB，所以BC⊥平面SAB. 因?yàn)镾A?平面SAB，所以BC⊥SA. 12．證明　(1)因?yàn)槠矫鍼AD∩平面ABCD＝AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.PA?平面PAD， 所以PA⊥底面ABCD. (2)因?yàn)锳B∥CD，C

31、D＝2AB，E為CD的中點(diǎn)， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以ABED為平行四邊形．所以BE∥AD. 又因?yàn)锽E?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因?yàn)锳B⊥AD， 且四邊形ABED為平行四邊形． 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD， 所以PA⊥CD.又因?yàn)镻A∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD，且CD?平面PCD， 又E，F(xiàn)分別是CD和CP的中點(diǎn)， 所以EF∥PD，故CD⊥EF. 由EF，BE在平面BEF內(nèi)，且EF∩BE＝E， 所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD. 13．(1)

32、證明　連接A1C. ∵直三棱柱A1B1C1－ABC中，AA1C1C是矩形． ∴點(diǎn)F在A1C上，且為A1C的中點(diǎn)． 在△A1BC中，∵E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點(diǎn)，∴EF∥BC. 又∵BC?平面ABC，EF?平面ABC，所以EF∥平面ABC. (2)證明　∵直三棱柱A1B1C1－ABC中，B1B⊥平面ABC， ∴B1B⊥BC.又∵EF∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥EF，B1B⊥EF. ∵B1B∩AB＝B，∴EF⊥平面ABB1A1. ∵EF?平面AEF，∴平面AEF⊥平面ABB1A1. (3)解　VF－ABC＝VA1－ABC＝××S△ABC×AA1 ＝××a2×2a＝. 專

33、題過關(guān)·提升卷 1．4　[求出斜高．由題意可得斜高為，則側(cè)面積為4××2＝4.] 2．充要　[因?yàn)閙是平面α內(nèi)的任意一條直線，若l⊥m，則l⊥α，所以充分性成立；反過來，若l⊥α，則l⊥m，所以必要性成立，故“l(fā)⊥m”是“l(fā)⊥α”成立的充要條件．] 3．①②　[由線面平行的判定定理知圖①②可得出AB∥平面MNP.] 4．④　[①中，m與n可相交、可異面、可平行，故①錯(cuò)誤；②中m與n可平行、可異面，故②錯(cuò)誤；③中，若α∥β，仍然滿足m⊥n，m?α，n?β，故③錯(cuò)誤；故④正確．] 5.　[利用面積、體積公式求解．設(shè)圓錐的母線長為l，又底面半徑為1，側(cè)面積是底面積的2倍即為πl(wèi)＝2π，l＝

34、2，所以該圓錐的高h(yuǎn)＝＝，體積為πr2h＝π.] 6.　[利用三棱錐的體積公式直接求解． VD1－EDF＝VF－DD1E＝S△D1DE·AB＝××1×1×1＝.] 7.a　[棱長為a的正四面體可以放入棱長為a的正方體內(nèi)，所以其外接球直徑為2R＝a，則該外接球的半徑為a.] 8.9π　[如圖，O為球心，O1為△ABC外接圓圓心．∵AB＝BC＝2， AC＝2，∴AB⊥BC且S△ABC＝2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O，O1三點(diǎn)共線時(shí)，四面體ABCD的體積最大，此時(shí)DO1＝2，設(shè)球的半徑為R，O1B＝，由球的截面性質(zhì)得，R2＝2＋(2－R)2，解得R＝，∴球的表面積為9π.] 9.　[設(shè)AC與BD相

35、交于O，折起來后仍然有OA＝OB＝OC＝OD，∴外接球的半徑r＝＝，從而體積V＝×＝.] 10．④　[注意到正方體ABCD－A1B1C1D1的對角線B1D上的每一點(diǎn)到直線AB，CC1，A1D1的距離都相等，因此到ABCD－A1B1C1D1的三條棱AB，CC1，A1D1所在直線距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，其中正確答案的序號是④.] 11．24π　[設(shè)正四棱錐的高為h，則×()2h＝，解得高h(yuǎn)＝.則底面正方形的對角線長為×＝，所以O(shè)A＝＝，所以球的表面積為4π()2＝24π.] 12.　[如圖：∵V1＝VD－ABE＝VE－ABD，V2＝VP－ABC＝VC－ABP， ∴V1＝S△ABD·h1，

36、V2＝S△APB·h2. ∵E為AC中點(diǎn)，∴＝， 又∵D為PB中點(diǎn)，∴＝， ∴＝＝.] 13．②④　[利用定理逐一判斷．若m⊥α，α⊥β，則在平面β內(nèi)存在與直線m平行的直線，①是假命題；若m⊥α，則在平面β內(nèi)存在無數(shù)條與α，β的交線平行的直線與直線m垂直，②是真命題；在平面β上一定存在與直線m垂直的直線，③是假命題，④是真命題．所以真命題的序號是②④.] 14．④　[因?yàn)樗拿骟wPEFQ的體積只與底面面積和高有關(guān)，若以△PEF為底面，則邊長EF為定值，△PEF的高為A1P＝，四面體的高為點(diǎn)Q到平面PEF的距離．因?yàn)镈C∥EF，所以點(diǎn)Q到平面PEF的距離為直線CD到平面PEF的距離，與Q

37、的位置無關(guān)．綜上所述，四面體的體積與E，F(xiàn)及Q的位置無關(guān)，所以與x，y無關(guān)．] 15．證明　(1)∵四邊形ABCD是菱形，AC∩BD＝O， ∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，∵點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，∴OG∥CD， 又∵OG?平面EFCD，CD?平面EFCD， ∴直線OG∥平面EFCD. (2)∵BF＝CF，點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，∴FG⊥BC. ∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD＝BC， FG?平面BCF，F(xiàn)G⊥BC， ∴FG⊥平面ABCD. ∵AC?平面ABCD，∴FG⊥AC. ∵OG∥AB，OG＝AB，EF∥AB，EF＝AB， ∴OG∥EF，OG＝EF， ∴四邊形EFGO

38、為平行四邊形，∴FG∥EO. ∵FG⊥AC，F(xiàn)G∥EO，∴AC⊥EO. ∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥DO. ∵AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO＝O，EO，DO在平面ODE內(nèi)， ∴AC⊥平面ODE. 16.證明　(1)∵OA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以O(shè)A⊥BD， ∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又OA∩AC＝A，∴BD⊥平面OAC， 又∵BD?平面OBD， ∴平面BDO⊥平面ACO. (2)取OD中點(diǎn)M，連接EM，CM， 則ME∥AD，ME＝AD， ∵ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC， ∵F為BC的中點(diǎn)，∴CF∥AD，CF＝AD， ∴ME

39、∥CF，ME＝CF.∴四邊形EFCM是平行四邊形， ∴EF∥CM， 又∵EF?平面OCD，CM?平面OCD. ∴EF∥平面OCD. 17．(1)證明　因?yàn)锳BC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因?yàn)锽C?平面ABC，所以CC1⊥BC. 又因?yàn)锳C⊥BC，CC1∩AC＝C，CC1，AC?平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1. 又因?yàn)锳M?平面ACC1A1，所以BC⊥AM. (2)解　法一　如圖，取AB1的中點(diǎn)P，連接NP，PM. 因?yàn)镹是AB的中點(diǎn)， 所以NP∥BB1. 因?yàn)镃M∥BB1，所以NP∥CM，所以NP與CM共面． 因?yàn)镃N∥平面A

40、B1M， 平面CNPM∩平面AB1M＝MP， 所以CN∥MP. 所以四邊形CNPM為平行四邊形， 所以CM＝NP＝CC1＝2. 法二　如圖，設(shè)NC與CC1確定的平面交AB1于點(diǎn)P，連接NP，PM. 因?yàn)镃N∥平面AB1M，CN?平面CNPM， 平面AB1M∩平面CNPM＝PM，所以CN∥MP. 因?yàn)锽B1∥CM，BB1?平面CNPM，CM?平面CNPM， 所以BB1∥平面CNPM. 又BB1?平面ABB1，平面ABB1∩平面CNPM＝NP，所以BB1∥NP， 所以CM∥NP，所以四邊形CNPM為平行四邊形． 因?yàn)镹是AB的中點(diǎn)，所以CM＝NP＝BB1＝CC1＝2.

41、 18．(1)解　E為AC的中點(diǎn)．理由如下： 平面PDE交AC于點(diǎn)E，即平面PDE∩平面ABC＝DE， 而BC∥平面PDE，BC?平面ABC，所以BC∥DE. 在△ABC中，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以E為AC中點(diǎn)． (2)證明　因?yàn)镻A＝PB，D為AB的中點(diǎn)，所以AB⊥PD， 因?yàn)槠矫鍼CD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC＝CD， 在銳角△PCD所在平面內(nèi)作PO⊥CD于點(diǎn)O，則PO⊥平面ABC. 因?yàn)锳B?平面ABC，所以PO⊥AB， 又PO∩PD＝P，PO，PD?平面PCD，則AB⊥平面PCD， 又PC?平面PCD，所以AB⊥PC. 19．(1)證明　∵矩形AB

42、CD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB， ∴CB⊥平面ABEF， 又AF?平面ABEF，∴CB⊥AF， 又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理知BF＝， ∴AF2＋BF2＝AB2，得AF⊥BF， 又BF∩CB＝B， ∴AF⊥平面CFB， 又∵AF?平面ADF， ∴平面ADF⊥平面CBF. (2)證明　連接OM并延長交BF于H，則H為BF的中點(diǎn)， 又P為CB的中點(diǎn)， ∴PH∥CF，又∵CF?平面AFC，PH?平面AFC， ∴PH∥平面AFC， 連接PO，則PO∥AC， 又∵AC?平面AFC，PO?平面AFC， ∴PO∥平面AFC，又∵PO∩P

43、H＝P， ∴平面POH∥平面AFC， 又∵PM?平面POH， ∴PM∥平面AFC. (3)解　多面體CD－AFEB的體積可分成三棱錐C－BEF與四棱錐F－ABCD的體積之和．過E作EE1⊥AB，垂足為E1. 在等腰梯形ABEF中，計(jì)算得EF＝1，兩底間的距離EE1＝. 所以VC－BEF＝S△BEF×CB＝××1××1＝， VF－ABCD＝S矩形ABCD×EE1＝×2×1×＝， 所以V＝VC－BEF＋VF－ABCD＝. 20．解　(1)AB∥平面DEF，理由如下： 在△ABC中，由E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，得EF∥AB. 又AB?平面DEF，EF?平面DEF.∴AB∥平

44、面DEF. (2)∵AD⊥CD，BD⊥CD，將△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B，∴AD⊥BD，∴AD⊥平面BCD. 取CD的中點(diǎn)M，這時(shí)EM∥AD， ∴EM⊥平面BCD，EM＝1. VE－DFC＝××EM＝ ×××2×2×1＝. (3)在線段BC上存在點(diǎn)P，使AP⊥DE. 證明如下：在線段BC上取點(diǎn)P，使BP＝， 過P作PQ⊥CD于Q. ∵AD⊥平面BCD，PQ?平面BCD， ∴AD⊥PQ.又∵AD∩CD＝D，∴PQ⊥平面ACD， ∴DQ＝＝，∴tan∠DAQ＝＝＝， ∴∠DAQ＝30°，在等邊△ADE中，∠DAQ＝30°， ∴AQ⊥DE， ∵PQ⊥平面ACD，DE?平面ACD， ∴PQ⊥DE，AQ∩PQ＝Q， ∴DE⊥平面APQ， ∴AP⊥DE.此時(shí)BP＝，∴＝.