2021中考數(shù)學(xué) 第22講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
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1、 第22講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 考點(diǎn)1 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓的半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d. 位置關(guān)系 點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓外 數(shù)量(d與r)的大小關(guān)系 ① ② ③ 考點(diǎn)2 直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓的半徑為r,圓心到直線的距離為d. 位置關(guān)系 相離 相切 相交 公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 0 1 2 公共點(diǎn)的名稱 無 切點(diǎn) 交點(diǎn) 數(shù)量關(guān)系 ④ ⑤ ⑥ 考點(diǎn)3 圓的切線 切線的判定 (1)與圓有
2、⑦ 公共點(diǎn)的直線是圓的切線(定義法). (2)到圓心的距離等于⑧ 的直線是圓的切線. (3)過半徑外端點(diǎn)且⑨ 半徑的直線是圓的切線. 切線的性質(zhì) (1)切線與圓只有⑩ 公共點(diǎn). (2)切線到圓心的距離等于圓的? . (3)切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的? . 切線長 過圓外一點(diǎn)作圓的切線,這點(diǎn)和? 之間的線段長叫做這點(diǎn)到圓的切線長. 切線長定理 從圓外一點(diǎn)可以引圓的? 條切線,它們的切線長? ,這一點(diǎn)和圓心的連線? 兩條切線的夾角
3、. 考點(diǎn)4 三角形與圓 確定圓的條件 不在 直線的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓. 三角形的外心 經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓, 的圓心叫做三角形的 ,這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形;外心到三角形 的距離相等. 三角形的內(nèi)心 與三角形各邊都相切的圓叫三角形的 ,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的 ,這個(gè)三角形叫圓的外切三角形,內(nèi)心到三角形 的距離相等. 1.判斷一直線是否為圓的切線的方法:①連半徑,證垂直;②作垂線,證半徑. 2.直角三角形的外接
4、圓與內(nèi)切圓半徑的求法: 若a,b是Rt△ABC的兩條直角邊,c為斜邊,則①直角三角形的外接圓半徑R=;②直角三角形的內(nèi)切圓半徑r=. 命題點(diǎn)1 點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系 例1 (2013·涼山)在同一平面直角坐標(biāo)系中有5個(gè)點(diǎn):A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3). (1)畫出△ABC的外接圓⊙P,并指出點(diǎn)D與⊙P的位置關(guān)系; (2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)D(-2,-2),E(0,-3),判斷直線l與⊙P的位置關(guān)系. 【思路點(diǎn)撥】(1)先畫出△ABC,然后確定⊙P,通過計(jì)算PD的長度來判斷點(diǎn)D與⊙P的位置關(guān)系; (2)通過(
5、1)判斷點(diǎn)D在圓上,則只需說明垂直即可. 【解答】 方法歸納:判斷點(diǎn)與圓和直線與圓的位置關(guān)系,都是判斷圓心與點(diǎn)或直線的距離與半徑的大小關(guān)系. 1.若⊙O的半徑為5 cm,點(diǎn)A到圓心O的距離為4 cm,那么點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是( ) A.點(diǎn)A在圓外 B.點(diǎn)A在圓上 C.點(diǎn)A在圓內(nèi) D.不能確定 2.已知⊙O的半徑為5,圓心O到直線l的距離為3,則反映直線l與⊙O的位置關(guān)系的圖形是( ) 3.在Rt△ABC中,∠A=30°,直角邊AC=6 cm,以C為圓心,3 cm為半徑作圓,則⊙C與AB的位
6、置關(guān)系是 . 命題點(diǎn)2 切線的性質(zhì)與判定 例2 (2014·天水)如圖,點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn),點(diǎn)C在直徑BA的延長線上,且∠CDA=∠CBD. (1)判斷直線CD和⊙O的位置關(guān)系,并說明理由. (2)過點(diǎn)B作⊙O的切線BE交直線CD于點(diǎn)E,若AC=2,⊙O的半徑是3,求BE的長. 【思路點(diǎn)撥】(1)連接OD,根據(jù)圓周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°,從而得出∠CDA+∠ADO=90°,再根據(jù)切線的判定推出即可; (2)首先利用勾股定理求出DC,由切線長定理得出DE=EB,在Rt△CBE中根據(jù)勾股定理得出方程,求出方程的解即可. 【解答】
7、 方法歸納:切線的性質(zhì)與判定都與圓心和切點(diǎn)之間的線段有關(guān),連接這條線段是常見的輔助線作法. 1.(2014·哈爾濱)如圖,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的切線,連接OC交⊙O于點(diǎn)D,連接BD,∠C=40°.則∠ABD的度數(shù)是( ) A.30° B.25° C.20° D.15° 2.如圖,從圓O外一點(diǎn)P引圓O的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的長是( ) A.4 B.8
8、 C.4 D.8 3.下列說法中,正確的是( ) A.圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑 B.垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn) C.垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 D.垂直于半徑的直線是圓的切線 4.(2014·湘潭)如圖,⊙O的半徑為3,P是CB延長線上一點(diǎn),PO=5,PA切⊙O于A點(diǎn),則PA= . 5.(2013·昭通)如圖,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C、D在⊙O上,點(diǎn)E在⊙O外,∠EAC=∠B=60°. (1)求∠D的度數(shù); (2)求證:AE是⊙O的切線. 命題點(diǎn)3 三
9、角形與圓的位置關(guān)系 例3 在銳角△ABC中,BC=5,sinA=. (1)如圖1,求△ABC的外接圓的直徑; (2)如圖2,點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心,若BA=BC,求AI的長. 【思路點(diǎn)撥】(1)對(duì)于條件sinA=怎樣運(yùn)用應(yīng)該設(shè)法構(gòu)造直角三角形,運(yùn)用直徑所對(duì)的圓周角是直角及同弧所對(duì)的圓周角相等解答; (2)利用等腰三角形三線合一可知BI垂直于AC,再利用面積法解答. 【解答】 方法歸納:通常解決這類問題有兩種方法:(1)構(gòu)造直角三角形;(2)等角代換,即在已有的直角三角形中找到與所求角相等的角.這道題目中沒有直角三角形,因此應(yīng)該采用第一種方法,構(gòu)造直角三
10、角形求解. 1.如圖,已知圓O是△ABC的內(nèi)切圓,且∠BAC=50°,則∠BOC的度數(shù)是( ) A.90° B.100° C.115° D.130° 2.(2013·永安質(zhì)檢)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A為(0,3),點(diǎn)B為(2,1),點(diǎn)C為(2,-3).則經(jīng)畫圖操作可知:△ABC的外心坐標(biāo)應(yīng)是( ) A.(0,0) B.(1,0) C.(-2,-1) D.(2,0) 3.如圖:⊙O是△ABC的外接圓,且半徑為10,
11、∠A=60°,求弦BC的長. 第1課時(shí) 基礎(chǔ)訓(xùn)練 1.(2014·白銀)已知⊙O的半徑是6 cm,點(diǎn)O到同一平面內(nèi)直線l的距離為5 cm,則直線l與⊙O的位置關(guān)系是( ) A.相交 B.相切 C.相離 D.無法判斷 2.(2013·青島)直線l與半徑為r的⊙O相交,且點(diǎn)O到直線l的距離為6,則r的取值范圍是( ) A.r<6 B.r=6 C.r>6 D.r≥6 3.(2014·天津)如圖,AB是⊙O
12、的弦,AC是⊙O的切線,A為切點(diǎn),BC經(jīng)過圓心.若∠B=25°,則∠C的大小等于( ) A.20° B.25° C.40° D.50° 4.(2014·崇明二模)在⊙O中,圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)上,半徑為2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,5),那么點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是( ) A.點(diǎn)P在⊙O外 B.點(diǎn)P在⊙O上 C.點(diǎn)P在⊙O內(nèi) D.不能確定 5.如圖,在坐標(biāo)平面上,Rt△ABC為直角三角形,∠ABC=90°,AB垂直x軸,M為Rt△ABC的外心.若A點(diǎn)坐標(biāo)為(
13、3,4),M點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,1),則B點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A.(3,-1) B.(3,-2) C.(3,-3) D.(3,-4) 6.(2014·淄博)如圖,直線AB與⊙O相切于點(diǎn)A,弦CD∥AB,E,F(xiàn)為圓上的兩點(diǎn),且∠CDE=∠ADF.若⊙O的半徑為,CD=4,則弦EF的長為( ) A.4 B. C.5 D.6 7.在平面內(nèi),⊙O的半徑為5 cm,點(diǎn)P到圓心O的距離為3 cm,則點(diǎn)P與⊙O的位
14、置關(guān)系是 . 8.(2014·重慶B卷)如圖,C為⊙O外一點(diǎn),CA與⊙O相切,切點(diǎn)為A,AB為⊙O的直徑,連接CB.若⊙O的半徑為2,∠ABC=60°,則BC= . 9.如圖,點(diǎn)A、B、D在⊙O上,∠A=25°,OD的延長線交直線BC于點(diǎn)C,且∠OCB=40°,直線BC與⊙O的位置關(guān)系為 . 10.如圖所示,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,3)、B(-2,-2)、C(4,-2),則△ABC外接圓半徑的長度為 . 11.如圖,⊙P的半徑為2,圓心P在函數(shù)y=(x>0)的圖象上運(yùn)動(dòng),當(dāng)⊙P與x軸相切
15、時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為 . 12.如圖,⊙O與直線l1相離,圓心O到直線l1的距離OB=,OA=4,將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到的直線l2,剛好與⊙O相切于點(diǎn)C,則OC= . 13.(2014·牡丹江)如圖,已知⊙O中直徑AB與弦AC的夾角為30°,過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D,OD=30 cm.求:直徑AB的長. 14.(2014·鹽城)如圖,AB為⊙O的直徑,PD切⊙O于點(diǎn)C,交AB的延長線于點(diǎn)D,且∠D=2∠CAD. (1)求∠D的度數(shù); (2)若CD=2,求BD的長.
16、 15.(2014·畢節(jié))如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D,連接CD. (1)求證:∠A=∠BCD; (2)若M為線段BC上一點(diǎn),試問當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí),直線DM與⊙O相切?并說明理由. 第2課時(shí) 能力訓(xùn)練 1.(2014·益陽)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為(-3,0),將⊙P沿x軸正方向平移,使⊙P與y軸相切,則平移的距離為( ) A.1 B.1或5 C.3
17、 D.5 2.如圖,Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與兩直角邊AB,BC分別相切于點(diǎn)D,E,過劣弧(不包括端點(diǎn)D,E)上任一點(diǎn)P作⊙O的切線MN與AB,BC分別交于點(diǎn)M,N,若⊙O的半徑為r,則Rt△MBN的周長為( ) A.r B.r C.2r D.r 3.(2014·宜賓)已知⊙O的半徑r=3,設(shè)圓心O到一條直線的距離為d,圓上到這條直線的距離為2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為m,給出下列命題: ①若d>5,則m=0;②若d=5,則m=1;③若1<d<5,則m=3;④若d=1,則m=2;⑤若d<1
18、,則m=4. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.5 4.(2014·玉林)如圖,直線MN與⊙O相切于點(diǎn)M,ME=EF,且EF∥MN,則cos∠E= . 5.如圖,在△ABC中,BC=3 cm,∠BAC=60°,那么△ABC能被半徑至少為 cm的圓形紙片所覆蓋. 6.(2014·宜賓)如圖,已知AB為⊙O的直徑,AB=2,AD和BE是圓O的兩條切線,A、B為切點(diǎn),過圓上一點(diǎn)C作⊙O的切線CF,分別交AD、BE于點(diǎn)M、N,連接AC
19、、CB,若∠ABC=30°,則AM= . 7.如圖所示,已知點(diǎn)A從點(diǎn)(1,0)出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著x軸的正方向運(yùn)動(dòng),經(jīng)過t秒后,以點(diǎn)O、A為頂點(diǎn)作菱形OABC,使點(diǎn)B、C都在第一象限內(nèi),且∠AOC=60°,若以點(diǎn)P(0,4)為圓心,PC為半徑的圓恰好與OA所在的直線相切,則t= . 8.(2014·河南)如圖,CD是⊙O的直徑,且CD=2 cm,點(diǎn)P為CD的延長線上一點(diǎn),過點(diǎn)P作⊙O的切線PA,PB,切點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B. (1)連接AC,若∠APO=30°,試證明△ACP是等腰三角形; (2)填空: ①當(dāng)DP=
20、 cm時(shí),四邊形AOBD是菱形; ②當(dāng)DP= cm時(shí),四邊形AOBD是正方形. 9.(2014·德州)如圖,⊙O的直徑AB為10 cm,弦BC為6 cm,D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O,AB的交點(diǎn),P為AB延長線上一點(diǎn),且PC=PE. (1)求AC,AD的長; (2)試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由. 10.如圖,點(diǎn)B在y軸上,BA∥x軸,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5.5,4),⊙A的半徑為2.現(xiàn)有點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA運(yùn)動(dòng). (1)當(dāng)點(diǎn)P在⊙A上時(shí),請(qǐng)直接寫出它的坐標(biāo); (2)設(shè)點(diǎn)P
21、的橫坐標(biāo)為x,連接OP,試探究射線OP與⊙A的位置關(guān)系,并說明理由. 參考答案 考點(diǎn)解讀 ①d<r ②d=r ③d>r ④d>r ⑤d=r ⑥d<r ⑦唯一 ⑧半徑 ⑨垂直于 ⑩一個(gè) ?半徑 ?半徑 ?切點(diǎn) ?兩 ?相等 ?平分 同一 外接圓 外心 三個(gè)頂點(diǎn) 內(nèi)切圓 內(nèi)心 三邊 各個(gè)擊破 例1 (1)所畫的⊙P如圖所示,由圖知⊙P的半徑為.連接PD. ∵PD=12+22=,∴點(diǎn)D在⊙P上. (2)直線l與⊙P相切. 理由:連接PE. ∵直線l經(jīng)過點(diǎn)D(-2,
22、-2),E(0,-3), ∴PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5. ∴PE2=PD2+DE2. ∴△PDE是直角三角形,且∠PDE=90°. ∴PD⊥l.∴直線l與⊙P相切. 題組訓(xùn)練 1.C 2.B 3.相切 例2 (1)直線CD和⊙O的位置關(guān)系是相切. 理由是:連接OD. ∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=90°, ∴∠DAB+∠DBA=90°. ∵∠CDA=∠CBD,∴∠DAB+∠CDA=90°. ∵OD=OA,∴∠DAB=∠ADO. ∴∠CDA+∠ADO=90°,即OD⊥CE. ∴直線CD是⊙O的切線, 即直線CD和⊙O的位置關(guān)系是相切
23、. (2)∵AC=2,⊙O的半徑是3, ∴OC=2+3=5,OD=3. 在Rt△CDO中,由勾股定理得CD=4. ∵CE切⊙O于D,EB切⊙O于B, ∴DE=EB,∠CBE=90°. 設(shè)DE=EB=x, 在Rt△CBE中,由勾股定理,得CE2=BE2+BC2, 則(4+x)2=x2+(5+3)2,解得x=6. 即BE=6. 題組訓(xùn)練 1.B 2.B 3.A 4.4 5.(1)∵∠B與∠D都是弧AC所對(duì)的圓周角, ∴∠ADC=∠B=60°. (2)證明:∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ACB=90°,∴∠BAC=30°. ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+6
24、0°=90°, 即BA⊥AE. ∴AE是⊙O的切線. 例3 (1)作△ABC的外接圓的直徑CD,連接BD,則∠CBD=90°,∠D=∠A, ∴=sinD=sinA=. ∵BC=5,∴CD=, 即△ABC的外接圓的直徑為254. (2)連接BI并延長交AC于點(diǎn)H,作IE⊥AB于點(diǎn)E. ∵點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心,∴BI平分∠ABC. ∵AB=BC,∴BH⊥AC.∴IH=IE. ∴在Rt△ABH中, BH=AB·sin∠BAH=4,AH==3. ∵S△ABI+S△AHI=S△ABH, ∴+=. 即+=. ∵IH=IE,∴IH=. 在Rt△AHI中,由勾股定理,
25、得 AI==. 題組訓(xùn)練 1.C 2.C 3.過O作OD⊥BC于D, 則∠BOD=∠COD=∠BOC. 又∵∠BOC=2∠A,∴∠BOD=∠A=60°. 在Rt△BOD中,OB=10,∠BOD=60°, ∴BD=OB=5, ∴BC=2BD=10. 整合集訓(xùn) 第1課時(shí) 基礎(chǔ)訓(xùn)練 1.A 2.C 3.C 4.A 5.B 6.B 7.點(diǎn)P在⊙O內(nèi) 8.8 9.相切 10. 11.(3,2) 12.2 13.∵∠A=30°,OC=OA, ∴∠ACO=∠A=30°,∴∠COD=60°. ∵DC切⊙O于C,∴∠OCD=90°,∴∠D=30°.
26、∵OD=30 cm,∴OC=OD=15 cm, ∴AB=2OC=30 cm. 14.(1)∵OA=OC,∴∠A=∠ACO, ∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A. ∵∠D=2∠CAD,∴∠D=∠COD. ∵PD切⊙O于C,∴∠OCD=90°. ∴∠D=∠COD=45°. (2)∵∠D=∠COD,CD=2,∴OC=OB=CD=2. 在Rt△OCD中,由勾股定理,得 22+22=(2+BD)2, ∴BD=-2. 15.(1)證明:∵AC為直徑,∴∠ADC=90°, ∴∠A+∠ACD=90°. ∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°, ∴∠A=∠BCD. (2)
27、當(dāng)MC=MD(或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn))時(shí),直線DM與⊙O相切. 理由:連接DO. ∵DO=CO,∴∠ODC=∠OCD. ∵DM=CM,∴∠DCM=∠CDM. ∵∠OCD+∠DCM=90°, ∴∠ODC+∠CDM=90°, ∴直線DM與⊙O相切. 第2課時(shí) 能力訓(xùn)練 1.B 2.C 3.C 4. 5. 6. 提示:連接OM,OC,則∠AOC=2∠ABC=60°,∠AOM=∠COM=∠AOC=30°, 在Rt△AOM中,OA=AB=1,∠AOM=30°, ∴tan30°=,即=,解得AM=. 7. 提示:由題意可知,當(dāng)以點(diǎn)P(0,4)為圓心,PC為半徑的圓
28、恰好與OA所在的直線相切時(shí),如圖所示. 連接PC,作PD⊥OC于點(diǎn)D,則∠POC=90°-∠AOC=90°-60°=30°.∴OD=OP=×4=2.∴OC=2OD=4.∴OA=OC=4.則t=. 8.(1)證明:連接OA,AC. ∵PA是⊙O的切線,∴∠OAP=90°. 在Rt△AOP中,∠AOP=90°-∠APO=90°-30°=60°,∴∠ACP=30°. ∵∠APO=30°,∴∠ACP=∠APO,∴AC=AP, 即△ACP是等腰三角形. (2)①1;②2-1. 提示:①要使四邊形AOBD是菱形,則OA=AD=OD,∴∠AOP=60°, ∴OP=2OA,DP=OD
29、=CD=1. ②要使四邊形AOBD是正方形,則必須∠AOP=45°,OA=PA=1,則OP=, ∴DP=OP-1=-1. 9.(1)連接BD. ∵AB是直徑,∴∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt△ABC中,AC===8. ∵CD平分∠ACB,∴=,∴AD=BD. 在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,AD=BD=5, ∴AC=8 cm,AD=5 cm. (2)直線PC與⊙O相切. 理由:方法一:連接OC,OD. ∵AD=BD,∴OD⊥AB,∴∠DOE=90°, ∴∠ODE+∠OED=90°. ∵PC=PE,∴∠PCE=∠PEC, ∴∠OED=∠PEC=∠P
30、CE. ∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC, ∴∠OCP=∠PCE+∠OCD=∠OED+∠ODE=90°,即OC⊥PC. ∴直線PC與⊙O相切. 方法二:連接OC. ∵OC=OA,∴∠CAO=∠OCA. ∵PC=PE,∴∠PCE=∠PEC. ∵∠PEC=∠CAE+∠ACE, ∴∠PCB+∠ECB=∠CAE+∠ACE. ∵CD平分∠ACB,∴∠ACE=∠ECB, ∴∠PCB=∠CAE,∴∠PCB=∠ACO. ∵∠ACB=90°, ∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=90°,即OC⊥PC, ∴直線PC與⊙O相切. 10.(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3.5,4)或
31、(7.5,4); (2)過點(diǎn)O作圓A的切線OM,切點(diǎn)為M,連接AM,則AM⊥OM, 由題意可知:OM與BA的交點(diǎn)為P,BP=x, 當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí), x<5.5,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5.5,4), 此時(shí)⊙A過P的切線為OM1,M1為切點(diǎn),如圖. AP1=5.5-x,OB=4,⊙A的半徑為2, ∴AM1=2,BA∥x軸,∴∠OBP1=90°, ∴∠AM1P1=∠OBP1,∠AP1M1=∠OP1B, ∴△OBP1∽△AM1P1,∴=. ∴=,即OP1=11-2x. 在Rt△OBP1中,(11-2x)2=42+x2, 解得x=3或x=(舍去); 當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí),x>5.5, 同理可解得x=3(舍去)或x=353. ∴當(dāng)x=3或時(shí),直線OP與圓A相切; 當(dāng)0<x<3或x>時(shí)相離; 當(dāng)3<x<直線與圓相交. 16
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