2021中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)思想方法
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1、 數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)學(xué)思想方法是把知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁,是解題規(guī)律的總結(jié),是達(dá)到以點帶面、觸類旁通、擺脫題海的有效之路.因此我們應(yīng)抓住臨近中考的這段時間,去研究、歸納、熟悉那些常用的解題方法與技巧,從而為奪取中考高分搭起靈感和智慧的平臺. 初中數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想有整體思想、化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程和函數(shù)思想等.由于我們前面各種思想方法均有滲透,故本專題只是側(cè)重如下幾個思想方法予以強化. 類型之一 整體思想 例1 (2014·內(nèi)江)已知+=3,則代數(shù)式的值為 . 【思路點撥】要求分式的值,必須要知道分式中所有字母的取值,從條件看無法
2、解決;觀察分式的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)分子與分母都是m(a+2b)+n(ab)的形式,所以從條件中找出(a+2b)與ab之間的關(guān)系,即可解決問題. 【解答】∵+=3, ∴=3,即a+2b=6ab. ∴====-. 方法歸納:整體思想就是在解決問題時,不是著眼于它的局部特征,而是把注意力和著眼點放在問題的整體結(jié)構(gòu)上,通過對整體的把握和運用達(dá)到解決問題的目的. 1.(2014·安徽)已知x2-2x-3=0,則2x2-4x的值為( ) A.-6 B.6 C.-2或6 D.-2或30 2.(2014·樂山)若a
3、=2,a-2b=3,則2a2-4ab的值為 . 3.(2014·宿遷)已知實數(shù)a,b滿足ab=3,a-b=2,則a2b-ab2的值是 . 4.(2014·菏澤)已知x2-4x+1=0,求-的值. 類型之二 分類思想 例2 (2013·襄陽)在一張直角三角形紙片中,分別沿兩直角邊上一點與斜邊中點的連線剪去兩個三角形,得到如圖所示的直角梯形,則原直角三角形紙片的斜邊長是 . 【思路點撥】從圖中看有兩個直角,這兩個直角都有可能是原直角三角形的直角,分兩種情況將原圖補充完整,即可求出原直角三角形的斜邊長.
4、 【解答】如圖1,以點B為直角頂點,BD為斜邊上的中線,在Rt△ABD中,可得BD=. ∴原直角三角形紙片的斜邊EF的長是2; 如圖2,以點A為直角頂點,AC為斜邊上的中線,在Rt△ABC中,可得AC=3. ∴原直角三角形紙片的斜邊EF的長是6. 故填2或6. 方法歸納:在幾何問題中,當(dāng)圖形的形狀不完整時,需要根據(jù)圖形的已知邊角及圖形特征進行分類畫出圖形,特別注意涉及等腰三角形與直角三角形的邊和角的分類討論. 1.(2014·涼山)已知⊙O的直徑CD=10 cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足為M,且AB=8 cm,則AC的長為( ) A.2cm
5、 B.4cm C.2cm或4cm D.2cm或4cm 2.(2014·涼山)已知一個直角三角形的兩邊的長分別是3和4,則第三邊長為 . 3.已知點D與點A(8,0),B(0,6),C(3,-3)是一平行四邊形的頂點,則D點的坐標(biāo)為 . 4.(2014·株洲調(diào)研)已知:如圖,O為坐標(biāo)原點,四邊形OABC為矩形,A(10,0),C(0,4),點D是OA的中點,點P在BC上運動,當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時,則P點的坐標(biāo)為 . 5.射線QN與等邊△ABC的兩邊AB,
6、BC分別交于點M,N,且AC∥QN,AM=MB=2 cm,QM=4 cm.動點P從點Q出發(fā),沿射線QN以每秒1 cm的速度向右移動,經(jīng)過t秒,以點P為圓心, cm為半徑的圓與△ABC的邊相切(切點在邊上),請寫出t可取的一切值 (單位:秒). 6.(2013·呼和浩特)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A(4,0)、B(-6,0),點C是y軸上的一個動點,當(dāng)∠BCA=45°時,點C的坐標(biāo)為 . 7.(2014·襄陽)在□ABCD中,BC邊上的高為4,AB=5,AC=2,則□ABCD的周長等于 .
7、 類型之三 轉(zhuǎn)化思想 例3 (2014·濱州)如圖,點C在⊙O的直徑AB的延長線上,點D在⊙O上,AD=CD,∠ADC=120°. (1)求證:CD是⊙O的切線; (2)若⊙O的半徑為2,求圖中陰影部分的面積. 【思路點撥】(1)因為D點在圓上,連接OD,證明OD與CD垂直即可; (2)連接OD,將圖中不規(guī)則的陰影部分面積轉(zhuǎn)化為三角形與扇形的面積之差. 【解答】(1)證明:連接OD. ∵AD=CD,∠ADC=120°,∴∠A=∠C=30°. ∵OA=OD,∴∠ODA=∠A=30°, ∴∠ODC=120°-30°=90°, ∴OD⊥CD. 又∵點D在⊙O上,∴CD是
8、⊙O的切線. (2)∵∠ODC=90°,OD=2,∠C=30°, ∴OC=4,CD==2, ∴S△COD=OD·CD=×2×2=2, S扇形OCB==π, ∴S陰影=S△OCD-S扇形OCB=2-π. 方法歸納:化歸意識是指在解決問題的過程中,對問題進行轉(zhuǎn)化,將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”、將“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟知”、將“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”的解題方法,其核心就是將有待解決的問題轉(zhuǎn)化為已有明確解決的問題,以便利用已有的結(jié)論來解決問題. 1.(2014·泰安)如圖,半徑為2 cm,圓心角為90°的扇形OAB中,分別以O(shè)A、OB為直徑作半圓,則圖中陰影部分的面積為( ) A
9、.(-1)cm2 B.(+1)cm2 C.1 cm2 D. cm2 2.(2013·濰坊)對于實數(shù)x,我們規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù),例如[1.2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3.若[]=5,則x的取值可以是( ) A.40 B.45 C.51 D.56 3.(2014·菏澤調(diào)考)將4個數(shù)a、b、c、d排成兩行、兩列,兩邊各加一條豎線段記成,定義=ad-bc,上述記號就叫做二階行列式,若
10、 =8,則x= . 4.(2014·白銀)如圖,四邊形ABCD是菱形,O是兩條對角線的交點,過O點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分.當(dāng)菱形的兩條對角線的長分別為6和8時,則陰影部分的面積為 . 5.(2014·涼山)如圖,圓柱形容器高為18 cm,底面周長為24 cm,在杯內(nèi)壁離杯底4 cm的點B處有一滴蜂蜜,此時一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿2 cm與蜂蜜相對的點A處,則螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為 cm. 6.(2014·棗莊)圖1所示的正方體木塊棱長為6 cm,沿其相鄰三個面的對角線(圖中虛線)剪掉一角,得到如圖2的
11、幾何體,一只螞蟻沿著圖2的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為 cm. 類型之四 數(shù)形結(jié)合思想 例4 (2014·黃州模擬)如圖1,點E為矩形ABCD邊AD上一點,點P,點Q同時從點B出發(fā),點P沿BE→ED→DC運動到點C停止,點Q沿BC運動到點C停止,它們運動的速度都是1 cm/s,設(shè)P,Q出發(fā)t秒時,△BPQ的面積為y cm2,已知y與t的函數(shù)關(guān)系的圖形如圖2(曲線OM為拋物線的一部分),則下列結(jié)論:①AD=BE=5 cm;②當(dāng)0<t≤5時,y= t2;③直線NH的解析式為y=-t+27;④若△ABE與△QBP相似,則t=秒.其中正確的結(jié)論個數(shù)為
12、( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【解答】①根據(jù)圖2可得,當(dāng)點P到達(dá)點E時點Q到達(dá)點C,BC=BE,故①小題正確; ②當(dāng)0<t≤5時,設(shè)y=at2,將t=5,y=10代入求得a=,故②小題正確; ③根據(jù)題意可得N(7,10),H(11,0),利用待定系數(shù)法可以求出一次函數(shù)解析式y(tǒng)=-t+,故③小題錯誤; ④∵∠A=90°,而點P在運動過程中,∠BPQ≠90°,∠PBQ≠90°,∴△ABE與△QBP相似,Q點在C點處,P點運動到CD邊上,∠PQB=90°.此時分△ABE∽△QBP和
13、△ABE∽△QPB兩種情況,當(dāng)△ABE∽△QBP時,則=可知QP=,可得t=,符合題意;當(dāng)△ABE∽△QPB時,= ,可知QP=>4,不符合題意,應(yīng)舍去.故④小題正確. 因此答案選B. 方法歸納:數(shù)形結(jié)合主要有兩種:①由數(shù)思形,數(shù)形結(jié)合,用形解決數(shù)的問題;②由形思數(shù),數(shù)形結(jié)合,用數(shù)解決形的問題. 1.(2014·菏澤)如圖,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的頂點D,F(xiàn)分別在AC,BC邊上,設(shè)CD的長為x, △ABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y,則下列圖象中能表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是( ) 2.(2014·內(nèi)江)若關(guān)于x的方程m(x+h)2+k=
14、0(m、h、k均為常數(shù),m≠0)的解是x1=-3,x2=2,則方程m(x+h-3)2+k=0的解為( ) A.x1=-6,x2=-1 B.x1=0,x2=5 C.x1=-3,x2=5 D.x1=-6,x2=2 3.小文、小亮從學(xué)校出發(fā)到青少年宮參加書法比賽,小文步行一段時間后,小亮騎自行車沿相同路線行進,兩人均勻速前行.他們的路差s(米)與小文出發(fā)時間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.下列說法:①小亮先到達(dá)青少年宮;②小亮的速度是小文速度的2.5倍;③a=24;④b=480.其中正確的是(
15、 ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 4.(2014·黃石調(diào)考)如圖,兩個正方形的面積分別為16、9,兩陰影部分的面積分別為a,b(a>b),則a-b等于( ) A.7 B.6 C.5 D.4 5.(2014·棗莊)如圖,在邊長為2a的正方形中央剪去一邊長為(a+2)的小正方形(a>2),將剩余部分剪開密鋪成一個平行四邊形,則該平行四邊形的面積為( ) A.
16、a2+4 B.2a2+4a C.3a2-4a-4 D.4a2-a-2 類型之五 方程、函數(shù)思想 例5 (2014·泰安調(diào)考)將半徑為4 cm的半圓圍成一個圓錐,在圓錐內(nèi)接一個圓柱(如圖所示),當(dāng)圓柱的側(cè)面的面積最大時,圓柱的底面半徑是 cm. 【思路點撥】設(shè)圓柱的底面半徑為r,圓柱的側(cè)面積為S,建立S與r之間的函數(shù)關(guān)系式,利用函數(shù)的性質(zhì)確定S取最大值時r的值. 【解答】∵將半徑為4 cm的半圓圍成一個圓錐, ∴圓錐的母線長為4,底面圓的半徑為2,高為2.
17、設(shè)圓柱底面圓的半徑為r,高為h,側(cè)面積為S,根據(jù)題意,得 =,∴h=. ∴S=2πr()=-2π(r-1)2+2π. ∴當(dāng)r=1時,S取最大值為2π. 方法歸納:在問題中涉及“最大值”或“最小值”時,一般要運用函數(shù)思想去解決問題,解決這里問題的關(guān)鍵是建立兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系. 1.(2014·安徽)如圖,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,將△ABC折疊,使A點與BC的中點D重合,折痕為MN,則線段BN的長為( ) A. B. C.4 D.5
18、2.(2014·武漢)如圖,若雙曲線y=與邊長為5的等邊△AOB的邊OA,AB分別相交于C,D兩點,且OC=3BD,則實數(shù)k的值為 . 3.(2014·廣州)若關(guān)于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有兩個實數(shù)根x1、x2,則x1(x2+x1)+x22的最小值為 . 4.(2014·鄂州)如圖,正方形ABCD邊長為1,當(dāng)M、N分別在BC,CD上,使得△CMN的周長為2,則△AMN的面積的最小值為 . 參考答案 類型之一 整體思想 1.B 2.12 3.6 4.原式==. ∵x2-4x+1=0,∴x2-
19、4x=-1. ∴原式===-23. 類型之二 分類思想 1.C 2.5或 3.(5,9)或(11,-9)或(-5,3) 4.(3,4)或(2,4)或(8,4) 5.t=2或3≤t≤7或t=8 6.(0,12)或(0,-12) 提示:當(dāng)點C在y軸的上方時,如圖,作BD⊥AC于D,與y軸交于點E. ∵∠BCA=45°, ∴∠CBD=∠BCA=45°,∴BD=CD. ∵∠CDE=∠ADB=90°,∠CED=∠BEO, ∴∠ECD=∠ABD,∴△CED≌△BAD, ∴EC=AB=10. 設(shè)OE=x,∵∠COA=∠BOE=90°, ∴△BEO∽△CAO, ∴=
20、,x=2或x=-12(舍去), ∴OC=OE+CE=2+10=12,∴點C(0,12). 當(dāng)點C在y軸的下方時,同理可求得點C(0,-12). 故答案為(0,12)或(0,-12). 7.12或20 提示:如圖1所示. ∵在□ABCD中,BC邊上的高為4,AB=5,AC=2, ∴EC==2,AB=CD=5,BE==3, ∴AD=BC=5, ∴□ABCD的周長等于20. 如圖2所示. ∵在□ABCD中,BC邊上的高為4,AB=5,AC=2, ∴EC=AC2-AE2=2,AB=CD=5,BE=AB2-AE2=3, ∴BC=3-2=1, ∴□ABCD的周長等于1+
21、1+5+5=12. 則□ABCD的周長等于12或20. 故答案為:12或20. 類型之三 轉(zhuǎn)化思想 1.A 2.C 3.2 4.12 5.20 6.() 提示:如圖所示. △BCD是等腰直角三角形,△ACD是等邊三角形, 在Rt△BCD中,CD==6(cm), ∴BE=CD=3 cm, 在Rt△ACE中,AE==3(cm), ∴從頂點A爬行到頂點B的最短距離為()cm. 故答案為:(). 類型之四 數(shù)形結(jié)合思想 1.A 2.B 3.B 4.A 5.C 類型之五 方程、函數(shù)思想 1.C 提示:設(shè)BN=x,則依據(jù)折疊原理可得DN=AN
22、=9-x.又D為BC的中點,∴BD=3.在Rt△NBD中,利用勾股定理,可得BN2+BD2=DN2,則有32+x2=(9-x)2,解得x=4,即BN=4.故選擇C. 2. 提示:過點C作CE⊥x軸于點E,過點D作DF⊥x軸于點F, 設(shè)OC=3x,則BD=x, 在Rt△OCE中,∠COE=60°, 則OE=x,CE=x,則點C坐標(biāo)為(x,x), 在Rt△BDF中,BD=x,∠DBF=60°,則BF=x,DF=x, 則點D的坐標(biāo)為(5-x,x), 將點C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可得k=x2, 將點D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可得k=x-x2, 則x2=x-x2,解得x1=
23、1,x2=0(舍去), 故k=×12=. 3. 提示:由根與系數(shù)的關(guān)系得到: x1+x2=-2m,x1x2=m2+3m-2, 原式化簡=3m2-3m+2=3(m-)2+. ∵方程有實數(shù)根,∴Δ≥0,m≤23. 當(dāng)m=時,3m2-3m+2的最小值為. 4.-1 提示:延長MB至G使GB=DN,連接AG. ∴△ADN≌△ABG. ∵CN+CM+MN=2,CN+CM+DN+BM=2, ∴MN=MG.∴△AMN≌△AMG. 要使△AMN的面積的最小,即△AGM的面積最小. ∵AB=1,所以MG最小,即MN最小. 在Rt△CMN中,周長一定,當(dāng)△CMN為等腰直角三角形時, 斜邊MN最小.設(shè)CM=x,則CN=x,MN=x, ∴x+x+x=2,∴x=2-,MN=2-2. ∴△AMN的面積的最小值為-1. 10
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