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1、
開放性問題
開放性試題是相對(duì)于條件和結(jié)論明確的封閉題而言的,是能引起同學(xué)們產(chǎn)生聯(lián)想,并會(huì)自然而然地往深處想的一種數(shù)學(xué)問題.簡單來說就是答案不唯一,解題的方向不確定,條件(或結(jié)論)不止一種情況的試題.解答這類題目時(shí),需要對(duì)問題全方位、多層次、多角度思考審視,盡量找到解決問題的方法.根據(jù)開放題的特點(diǎn)主要有如下三種題型:(1)條件開放型;(2)結(jié)論開放型;(3)綜合開放型.
題型之一 條件開放型
例1 (2014·巴中)如圖,在四邊形ABCD中,點(diǎn)H是邊BC的中點(diǎn),作射線AH,在線段AH及其延長線上分別取點(diǎn)E,F,連接BE,CF.
(1)請你添加一個(gè)條件,使得△BEH
2、≌△CFH,你添加的條件是 ,并證明.
(2)在問題(1)中,當(dāng)BH與EH滿足什么關(guān)系時(shí),四邊形BFCE是矩形,請說明理由.
【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)已知條件和圖形可知,兩個(gè)三角形有一組邊和一組角相等,因此根據(jù)全等三角形的判定方法添加一個(gè)條件,然后加以證明即可;
(2)由(1)中三角形的全等,易得四邊形BFCE是平行四邊形,然后根據(jù)矩形的判定方法,得出EH與BH應(yīng)滿足的條件.
【解答】(1)添加條件:答案不唯一,如:BE∥CF或EH=FH或∠EBH=∠FCH或∠BEH=∠CFH等.
選擇EH=FH,證明如下:
證明:∵點(diǎn)H是邊BC的中點(diǎn),∴BH=CH.
在△BEH和
3、△CFH中,
∴△BEH≌△CFH(SAS).
(2)如圖,當(dāng)BH=EH時(shí),四邊形BFCE是矩形.
理由如下:
∵BH=CH,EH=FH,
∴四邊形BFCE是平行四邊形.
又∵BH=EH,∴EF=BC.
∴四邊形BFCE是矩形.
方法歸納:解這種類型的開放性問題的一般思路是:(1)由已知的結(jié)論反思題目應(yīng)具備怎樣的條件,即從題目的結(jié)論出發(fā),結(jié)合圖形挖掘條件,逆向追索,逐步探尋.(2)添加的條件,使證明過程越簡單越好,且不可自己難為自己.
1.(2014·湘潭)如圖,直線a、b被直線c所截,若滿足 ,則a、b平行.
2.(2
4、014·內(nèi)江)如圖,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,AD∥BC,請?zhí)砑右粋€(gè)條件: ,使四邊形ABCD為平行四邊形(不添加任何輔助線).
3.(2013·六盤水)如圖,添加一個(gè)條件: ,使△ADE∽△ACB.(寫出一個(gè)即可)
4.(2014·婁底)先化簡,再從不等式2x-3<7的正整數(shù)解中選一個(gè)使原式有意義的數(shù)代入求值.
5.(2013·邵陽)如圖所示,將△ABC繞AC的中點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△CDA,請?zhí)砑右粋€(gè)條件,使得四邊形ABCD為矩形,并說明理由.
5、
題型之二 結(jié)論開放型
例2 (2013·西安模擬)按圖所示的流程,輸入一個(gè)數(shù)據(jù)x,根據(jù)y與x的關(guān)系式輸出一個(gè)數(shù)據(jù)y,這樣可以將一組數(shù)據(jù)變換成另一組新的數(shù)據(jù),要使任意一組都在20~100(含20和100)之間的數(shù)據(jù),變換成一組新數(shù)據(jù)后能滿足下列兩個(gè)要求:
(Ⅰ)新數(shù)據(jù)都在60~100(含60和100)之間;
(Ⅱ)新數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系與原數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系一致,即原數(shù)據(jù)大的對(duì)應(yīng)的新數(shù)據(jù)也較大.
(1)若y與x的關(guān)系是y=x+p(100-x),請說明:當(dāng)p=時(shí),這種變換滿足上述兩個(gè)要求;
(2)若按關(guān)系式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a>0)將數(shù)據(jù)進(jìn)行變換,請寫
6、出一個(gè)滿足上述要求的這種關(guān)系式.(不要求對(duì)關(guān)系式符合題意作說明,但要寫出關(guān)系式得出的主要過程)
【思路點(diǎn)撥】(1)要驗(yàn)證y=x+(100-x)是否滿足題中的兩個(gè)要求,就是①看y是否隨x增大而增大;②看當(dāng)20≤x≤100時(shí),y的值是否滿足60≤y≤100;
(2)由于規(guī)定了a>0,要使拋物線y=a(x-h)2+k滿足題中條件,必經(jīng)過(20,60),(100,100)兩點(diǎn),且這兩點(diǎn)在對(duì)稱軸的右邊,因此其中滿足條件的拋物線可以是以(20,60)為頂點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)(100,100).故該解析式不難求出.
【解答】(1)當(dāng)p=時(shí),y=x+(100-x).即y=x+50.
∴y隨著x的增大而增大,
7、
即p=時(shí),滿足條件(Ⅱ);
又當(dāng)20≤x≤100時(shí),×20+50≤y≤×100+50.即60≤y≤100.即滿足條件(Ⅰ).
綜上可知,當(dāng)p=時(shí),這種變換滿足要求.
(2)由題意可知,只要滿足:①h≤20;②若x=20,100時(shí),y的對(duì)應(yīng)值m,n能落在60~100之間,則這樣的關(guān)系式都符合要求.如取h=20,y=a(x-20)2+k.
∵a>0,∴當(dāng)20≤x≤100時(shí),y隨著x的增大而增大,
令x=20,y=60,得k=60.
令x=100,y=100,得a×802+k=100.則a=.
∴y=(x-20)2+60.
方法歸納:所謂結(jié)論性開放題就是給出問題的條件,讓解題者根據(jù)
8、條件尋找相應(yīng)的結(jié)論,且符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣化,這類問題就是結(jié)論開放型問題.其解題思路是:從已知條件出發(fā),沿著不同方向、不同層次進(jìn)行觀察、分析、驗(yàn)證得到相應(yīng)的結(jié)論.
1.(2014·濱州)寫出一個(gè)運(yùn)算結(jié)果是a6的算式 .
2.(2013·赤峰)請你寫出一個(gè)大于0而小于1的無理數(shù) .
3.(2014·邵陽)如圖,已知點(diǎn)A,F(xiàn),E,C在同一直線上,AB∥CD,∠ABE=∠CDF,AF=CE.
(1)從圖中任找兩組全等三角形;
(2)從(1)中任選一組進(jìn)行證明.
9、
4.(2013·內(nèi)蒙古)存在兩個(gè)變量x與y,y是x的函數(shù),該函數(shù)同時(shí)滿足兩個(gè)條件:①圖象經(jīng)過(1,1)點(diǎn);②當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小,請各寫出一個(gè)滿足條件的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的解析式.
5.(2014·臺(tái)州)為了估計(jì)魚塘中成品魚(個(gè)體質(zhì)量在0.5 kg及以上,下同)的總質(zhì)量,先從魚塘中捕撈50條成品魚.稱得它們的質(zhì)量如下表:
質(zhì)量/kg
0.5
0.6
0.7
1.0
1.2
1.6
1.9
數(shù)量/條
1
8
15
18
5
1
2
然后做上記號(hào)再放回水庫中,過幾天又捕撈了100條成品魚,發(fā)現(xiàn)其中2條帶
10、有記號(hào).
(1)請根據(jù)表中數(shù)據(jù)補(bǔ)全下面的直方圖(各組中數(shù)據(jù)包括左端點(diǎn)不包括右端點(diǎn)).
(2)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)分組.估計(jì)從魚塘中隨機(jī)捕一條成品魚,其質(zhì)量落在哪一組的可能性最大?
(3)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)分組,估計(jì)魚塘里質(zhì)量中等的成品魚,其質(zhì)量落在哪一組內(nèi)?
(4)請你用適當(dāng)?shù)姆椒ü烙?jì)魚塘中成品魚的總質(zhì)量(精確到1 kg).
題型之三 綜合開放型
例3 (2013·紹興有改動(dòng))看圖說故事.
請你編寫一個(gè)故事,使故事情境中出現(xiàn)的一對(duì)變量x,y滿足圖示的函數(shù)關(guān)系,要求:
(1)指出變量x和y的含義;
(2)利用圖中的數(shù)據(jù)和變化規(guī)律提出兩個(gè)問題,并
11、解答這兩個(gè)問題.
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)情景說明函數(shù)關(guān)系,注意只有兩個(gè)變量,涉及其他的量必須是常量.提出問題時(shí)要緊扣圖象和(1)中實(shí)際意義來提出.
【解答】(1)本題答案不唯一,如下列解法:
某市出租車計(jì)費(fèi)方法是當(dāng)載客行駛里程為x(千米),則車費(fèi)為y(元).該函數(shù)圖象就是表示y隨x的變化過程.
(2)①出租車的起步價(jià)是多少元?當(dāng)x>3時(shí),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
②若某乘客有一次乘出租車的車費(fèi)為32元,求這位乘客乘車的里程.
解:①由圖象得:出租車的起步價(jià)是8元.
設(shè)當(dāng)x>3時(shí),y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,
由函數(shù)圖象,得
解得
故y與x的函數(shù)關(guān)系式為:y=2x+2.
12、
②當(dāng)y=32時(shí),32=2x+2.解得x=15.
答:這位乘客乘車的里程是15千米.
方法歸納:這是一道自編自解的綜合開放型的問題,解題時(shí)要認(rèn)真分析已給出的條件,經(jīng)過適當(dāng)?shù)膰L試,符合要求的答案定會(huì)產(chǎn)生.
1.看圖說故事.
請你編寫一個(gè)故事,使故事情境中出現(xiàn)的一對(duì)變量x、y滿足圖示的函數(shù)關(guān)系,要求:(1)指出變量x和y的含義;(2)利用圖中的數(shù)據(jù)說明這對(duì)變量變化過程的實(shí)際意義,其中必須涉及“速度”這個(gè)量.
2.A,B兩地間的距離為15千米,甲從A地出發(fā)步行前往B地,20分鐘后,乙從B地出發(fā)騎車前往A地,且乙騎車比甲步行每小時(shí)多走10千米.乙到
13、達(dá)A地后停留40分鐘,然后騎車按原路原速返回,結(jié)果甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)B地.請你就“甲從A地到B地步行所用時(shí)間”或“甲步行的速度”提出一個(gè)用分式方程解決的問題,并寫出解題過程.
3.如圖是一個(gè)反比例函數(shù)圖象的一部分,點(diǎn)A(1,10),B(10,1)是它的兩個(gè)端點(diǎn).
(1)求此函數(shù)的解析式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)請你舉出一個(gè)能用本題的函數(shù)關(guān)系描述的生活實(shí)例.
參考答案
題型之一 條件開放型
1.答案不唯一,如∠1=∠2 2.(答案不唯一)AD=BC(或AB∥DC)
3.∠ADE=∠C(答案不唯一)
4.
14、原式===.
解不等式2x-3<7得x<5.
取x=1時(shí),原式==.
提示:本題最后答案不唯一,x不能取±3,4.
5.本題答案不唯一,如:∠B=90°或∠BAC+∠BCA=90°,或OB=OA=OC或AB2+BC2=AC2等.
以∠B=90°為例說明.理由:
∵AB=CD,AD=BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
又∵∠B=90°,∴□ABCD為矩形.
題型之二 結(jié)論開放型
1.答案不唯一,如:2a6-a6,a2×a4,(a2)3,a8÷a2(a≠0)
2.答案不唯一,如:,,
3.(1)△ABE≌△CDF,△ABC≌△CDA.
(2)∵AF=CE,∴AE
15、=CF.
∵AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF.
又∵∠ABE=∠CDF,∴△ABE≌△CDF.
4.根據(jù)題意,函數(shù)可以是一次函數(shù),反比例函數(shù)或二次函數(shù).例如:
① 此函數(shù)的解析式為y=(k>0),
∵此函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(1,1),∴k=1.
∴此函數(shù)可以為:y=;
②設(shè)此函數(shù)的解析式為y=kx+b(k<0),
∵此函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(1,1),∴k+b=1,k<0.
∴此函數(shù)可以為:y=-x+2,y=-2x+3,…;
③設(shè)此函數(shù)的解析式為
y=a(x-m)2+n(a<0,m≤0),
∵此函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(1,1),
∴a(1-m)2+n=1(a<0,m≤0).
∴此函數(shù)可以為:y=-x
16、2+2,y=-2x2+3,y=-(x+1)2+5,….
5.(1)如圖所示.
(2)其質(zhì)量落在0.5 kg~0.8 kg范圍內(nèi)的可能性最大;
(3)質(zhì)量落在0.8~1.1 kg范圍內(nèi);
(4)方法一:用去尾平均數(shù)估計(jì):
去尾平均數(shù)=≈0.87(kg).
50×50×0.87=2 175(kg).水庫中成品魚的總質(zhì)量約為2 175 kg.
方法二:平均數(shù)=(0.5×1+0.6×8+0.7×15+1.0×18+1.2×5+1.6×1+1.9×2)×=0.904(kg).
50×50×0.904=2 260(kg).水庫中成品魚的總質(zhì)量約為2 260 kg.
方法三:利用組中值
17、計(jì)算平均數(shù):==0.884(kg).
50×50×0.884=2 210(kg).水庫中成品魚的總質(zhì)量約為2 210 kg.
方法四:用眾數(shù)(中位數(shù))估計(jì)水庫中成品魚的總質(zhì)量:
50×50×1.0=2 500(kg).水庫中成品魚的總質(zhì)量約為2 500 kg.
題型之三 綜合開放型
1.答案不唯一,如:(1)該函數(shù)圖象表示小明開車離出發(fā)地的路程y(單位:km)與他所用的時(shí)間x(單位:min)的關(guān)系;
(2)小明以0.4 km/min的速度勻速開了5 min,在原地休息了6 min,然后以0.5 km/min的速度勻速開車回出發(fā)地.
2.答案不唯一,如:甲從A地到B地步行所用時(shí)間是多久?
設(shè)甲從A地到B地步行所用時(shí)間為x小時(shí),由題意得=+10.
化簡得2x2-5x-3=0,解得x1=3,x2=-.
經(jīng)檢驗(yàn)知x=3符合題意,∴x=3.
∴甲從A地到B地步行所用時(shí)間為3小時(shí).
3.(1)設(shè)y=,
∵A(1,10)在圖象上,∴10=.即k=10.
∴y=(1≤x≤10).
(2)答案不唯一.例如:小明家離縣城10 km,某天小明騎自行車以x km/h的速度去縣城,那么小明從家去縣城所需的時(shí)間y=(h).
8