【】2021中考數(shù)學(xué) 第16講 三角形的基本知識(shí)及全等三角形

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1、 第16講 三角形的基本知識(shí)及全等三角形 考點(diǎn)1 三角形的概念及其分類 考點(diǎn)2 與三角形有關(guān)的線段 高 ⑥ 三角形的三條高相交于三角形的內(nèi)部;直角三角形的三條高相交于⑦ ;鈍角三角形的三條高相交于三角形的外部. 中線 三角形的三條中線相交于⑧ ,每一條中線都將三角形分成面積⑨ 的兩部分. 角平分線 三角形的三條角平分線相交于⑩ ,這個(gè)點(diǎn)是三角形的? ,這個(gè)點(diǎn)到三邊的距離? . 三邊關(guān)系 三角形的兩邊之和? 第三邊

2、,三角形的兩邊之差? 第三邊. 穩(wěn)定性 三角形具有穩(wěn)定性,四邊形沒有穩(wěn)定性. 三角形的中位線 定義 連接三角形兩邊? 的線段叫做三角形的中位線. 性質(zhì) 三角形的中位線? 第三邊,并且等于第三邊的 . 考點(diǎn)3 與三角形有關(guān)的角 定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 . 推論 直角三角形的兩個(gè)銳角 . 三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的 . 考點(diǎn)4 全等三角形的性質(zhì)與判定 性質(zhì) 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊 ,對(duì)應(yīng)角

3、 . 判定 判定1:三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”); 判定2:兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”); 判定3:兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”); 判定4:兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”); 判定5:斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”). 【易錯(cuò)提示】“SSA”和“AAA”不能判定三角形全等. 1.判斷給定的三條線段能否組成三角形,只需判斷兩條較短線段的和是否大于最長(zhǎng)

4、線段即可. 2.“截長(zhǎng)法”和“補(bǔ)短法”是證明和差關(guān)系的重要方法,無論用哪一種方法都是要將線段的和差關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問題,因此添加輔助線構(gòu)造全等三角形是通向結(jié)論的橋梁. 命題點(diǎn)1 三角形中的線段 例1 不一定在三角形內(nèi)部的線段是( ) A.三角形的角平分線 B.三角形的中線 C.三角形的高 D.三角形的中位線 【思路點(diǎn)撥】不管是哪種類型的三角形,三角形的角平分線、中線和中位線都在三角形內(nèi)部,但是銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部,直角三角形的一條高在三角形內(nèi)部,其余兩條高與直角邊重合,鈍角三角形的一條高在三角形內(nèi)部,

5、其余兩條高在三角形外部. 方法歸納:解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形高、角平分線和中線的畫法. 1.(2013·溫州)下列各組數(shù)可能是一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)的是( ) A.1,2,4 B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,11 2.如圖,在長(zhǎng)方形網(wǎng)格中,每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2,寬為1,A、B兩點(diǎn)在網(wǎng)格格點(diǎn)上,若點(diǎn)C也在網(wǎng)格格點(diǎn)上,以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形面積為2,則滿足條件的點(diǎn)C個(gè)數(shù)是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.三角形

6、的下列線段中能將三角形的面積分成相等的兩部分的是( ) A.中線 B.角平分線 C.高 D.中位線 命題點(diǎn)2 三角形中的角 例2 (2013·海南改編)如圖,AB∥CD,AE=AF,CE交AB于點(diǎn)F,∠C=110°,求∠A的度數(shù). 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“兩直線平行,同位角相等”求出∠EFB的度數(shù),進(jìn)而求出∠AFE,根據(jù)“等邊對(duì)等角”求出∠E的度數(shù),根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù). 【解答】 方法歸納:當(dāng)問題中含有平行線時(shí),可利用平行線的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為其他角;當(dāng)該角是一個(gè)三角形的外角或內(nèi)角時(shí),根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角

7、形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算. 1.(2013·龍巖)如圖,AB∥CD,BC與AD相交于點(diǎn)M,N是射線CD上的一點(diǎn).若∠B=65°,∠MDN=135°,則∠AMB= . 2.(2014·邵陽)如圖,在△ABC中,∠B=46°,∠C=54°,AD平分∠BAC,交BC于D,DE∥AB,交AC于E,則∠ADE的大小是( ) A.45° B.54° C.40° D.50° 3.(2014·威海)如圖,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,∠ABC的平分線BC與∠ACE的平分線

8、CD相交于點(diǎn)D,連接AD.下列結(jié)論不正確的是( ) A.∠BAC=70° B.∠DOC=90° C.∠BDC=35° D.∠DAC=55° 命題點(diǎn)3 三角形的中位線 例3 (2014·湘潭)如圖,AB是池塘兩端,設(shè)計(jì)一方法測(cè)量AB的距離,取點(diǎn)C,連接AC、BC,再取它們的中點(diǎn)D、E,測(cè)得DE=15米,則AB=( ) A.7.5米 B.15米 C.22.5米 D.30米 【思路點(diǎn)撥】因?yàn)镈E是△ABC的中位線,利用中位線定義求AB的長(zhǎng).

9、 方法歸納:解答本題的關(guān)鍵是要依據(jù)題目條件,活用中位線定理的結(jié)論. 1.(2014·瀘州)如圖,等邊△ABC中,點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn),則∠DEC的度數(shù)為( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.如圖,D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3.E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn),則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是( ) A.7 B.9 C.10 D.11 3.如圖,在△A

10、BC中,點(diǎn)D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn),若△ABC的周長(zhǎng)為12 cm,則△DEF的周長(zhǎng)是 cm. 命題點(diǎn)4 全等三角形的性質(zhì)與判定 例4 (2014·福州)如圖,點(diǎn)E,F(xiàn)在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求證:∠A=∠D. 【思路點(diǎn)撥】∠A與∠D分別在△ABF和△DEC中,直接證明△ABF和△DCE全等即可. 【解答】 方法歸納:證明兩條邊或兩個(gè)角相等時(shí),若兩條邊或兩個(gè)角分別在兩個(gè)三角形當(dāng)中,通常證明這兩條邊或兩個(gè)角所在的三角形全等. 1.(2014·南充)如圖,AD、BC相交于O,OA=OC,

11、∠OBD=∠ODB.求證:AB=CD. 2.(2014·宜賓)如圖,已知:在△AFD和△CEB中,點(diǎn)A、E、F、C在同一直線上,AE=CF,∠B=∠D,AD∥BC. 求證:AD=BC. 3.(2014·瀘州)如圖正方形ABCD中,E、F分別為BC、CD上的點(diǎn),且AE⊥BF,垂足為G,求證:AE=BF. 1.小華在電話中問小明:“已知一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別是4,9,12,如何求這個(gè)三角形的面積?”小明提示說:“可通過作最長(zhǎng)邊上的高來求解.”小華根據(jù)小明的提示作出的圖形正確的是(

12、) 2.(2013·襄陽)如圖,在△ABC中,D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),∠B=40°,∠ACD=120°,則∠A等于( ) A.60° B.70° C.80° D.90° 3.(2014·棗莊)如圖,AB∥CD,AE交CD于C,∠A=34°,∠DEC=90°,則∠D的度數(shù)為( ) A.17° B.34° C.56° D.124° 4.(2013·河池)一個(gè)三角形的周長(zhǎng)是36 cm,則以這個(gè)三角形各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)是( ) A.6 cm

13、B.12 cm C.18 cm D.36 cm 5.(2014·益陽)如圖,平行四邊形ABCD中,E,F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn),如果添加一個(gè)條件使△ABE≌△CDF,則添加的條件不能是( ) A.AE=CF B.BE=FD C.BF=DE D.∠1=∠2 6.(2014·廣州)△ABC中,已知∠A=60°,∠B=80°,則∠C的外角的度數(shù) . 7.(2014·長(zhǎng)沙)如圖,點(diǎn)B,E,C,F(xiàn)在一條直線上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,則DF= .

14、 8.(2014·溫州)如圖,直線AB,CD被BC所截,若AB∥CD,∠1=45°,∠2=35°,則∠3= 度. 9.(2013·婁底)如圖,AB=AC,要使△ABE≌△ACD,應(yīng)添加的條件是 .(添加一個(gè)條件即可) 10.(2014·連云港)如圖,AB∥CD,∠1=62°,F(xiàn)G平分∠EFD,則∠2= . 11.(2013·威海)將一副直角三角板如圖擺放,點(diǎn)C在EF上,AC經(jīng)過點(diǎn)D,已知∠A=∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30°,∠BCE=40°,則∠CDF= . 12.

15、(2014·威海)如圖,有一直角三角形紙片ABC,邊BC=6,AB=10,∠ACB=90°,將該直角三角形紙片沿DE折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,則四邊形DBCE的周長(zhǎng)為 . 13.(2014·十堰)如圖,點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在AC上,AB=AC,AD=AE.求證:∠B=∠C. 14.(2014·武漢)如圖,AC和BD相交于點(diǎn)O,OA=OC,OB=OD.求證:DC∥AB. 15.(2014·宜昌)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB. (1)求∠CAD的度數(shù); (2)延長(zhǎng)AC至E

16、,使CE=AC,求證:DA=DE. 16.(2014·杭州)在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)E,F分別在AB,AC上,AE=AF,BF與CE相交于點(diǎn)P,求證:PB=PC,并請(qǐng)直接寫出圖中其他相等的線段. 17.(2014·泰安)如圖,∠ACB=90°,D為AB的中點(diǎn),連接DC并延長(zhǎng)到E,使CE=CD,過點(diǎn)B作BF∥DE,與AE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.若AB=6,則BF的長(zhǎng)為( ) A.6 B.7 C.8 D.10 1

17、8.(2013·達(dá)州改編)如圖,在△ABC中,∠A=m°,∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1,得∠A1;∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2,得∠A2;…∠A2 014BC和∠A2 014CD的平分線交于點(diǎn)A2 015,則∠A2 015= 度. 19.(2014·蘇州)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D,F(xiàn)分別在AB,AC上,CF=CB.連接CD,將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CE,連接EF. (1)求證:△BCD≌△FCE; (2)若EF∥CD,求∠BDC的度數(shù). 20.(2013·佛山)課本指出:公

18、認(rèn)的真命題稱為公理,除了公理外,其他的真命題(如推論、定理等)的正確性都需要通過推理的方法證實(shí). (1)敘述三角形全等的判定方法中的推論AAS; (2)證明推論AAS. 要求:敘述推論用文字表達(dá);用圖形中的符號(hào)表達(dá)已知、求證,并證明,證明對(duì)各步驟要注明依據(jù). 21.(2014·內(nèi)江)如圖,點(diǎn)M、N分別是正五邊形ABCDE的邊BC、CD上的點(diǎn),且BM=CN,AM交BN于點(diǎn)P. (1)求證:△ABM≌△BCN; (2)求∠APN的度數(shù). 參考答案 考點(diǎn)解讀 ①首尾順次 ②銳 ③直 ④鈍 ⑤等邊

19、⑥銳角 ⑦直角頂點(diǎn) ⑧一點(diǎn) ⑨相等 ⑩一點(diǎn) ?內(nèi)心 ?相等 ?大于 ?小于 ?中點(diǎn) ?平行 一半 180° 互余 和 相等 相等 各個(gè)擊破 例1 C 題組訓(xùn)練 1.C 2.C 3.A 例2 ∵AB∥CD,∴∠EFB=∠C=110°, ∴∠AFE=180°-110°=70°. 又∵AE=AF,∴∠E=∠AFE=70°, ∴∠A=180°-∠E-∠AFE=180°-2×70°=40°. 題組訓(xùn)練 1.70° 2.C 3.B 例3 D 題組訓(xùn)練 1.C 2.D 3.6 例4 證明:∵BE=CF, ∴BE+EF=CF+E

20、F,即BF=CE. 在△ABF和△DCE中, ∴△ABF≌△DCE,∴∠A=∠D. 題組訓(xùn)練 1.證明:∵∠OBD=∠ODB, ∴OB=OD. 在△AOB和△COD中, ∴△AOB≌△COD(SAS), ∴AB=CD. 2.證明:∵AE=CF,∴AF=CE. ∵AD∥BC,∴∠A=∠C. 在△AFD和△CEB中, ∴△AFD≌△CEB(AAS), ∴AD=BC. 3.證明:∵四邊形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠ABC=∠BCF=90°, ∴∠BAE+∠AEB=90°. 又∵AE⊥BF,垂足為G,∴∠CBF+∠AEB=90°, ∴∠BAE=∠CB

21、F. 在△ABE與△BCF中, ∴△ABE≌△BCF(ASA), ∴AE=BF. 整合集訓(xùn) 1.C 2.C 3.C 4.C 5.A 6.140° 7.6 8.80 9.∠C=∠B或∠AEB=∠ADC或∠CEB=∠BDC或AE=AD或CE=BE 10.31° 11.25° 12.18 13.證明:在△ABE和△ACD中, ∴△ABE≌△ACD(SAS), ∴∠B=∠C. 14.證明:∵在△ODC和△OBA中, ∵ ∴△ODC≌△OBA(SAS), ∴∠C=∠A(或者∠D=∠B)(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等), ∴DC∥AB(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行

22、). 15.(1)∵∠ACB=90°, ∴∠CAB+∠B=90°. 又∵∠B=30°,∴∠CAB=60°. ∵AD平分∠CAB, ∴∠CAD=∠CAB,∴∠CAD=30°. (2)證明:∵∠ACB=90°,∴DC⊥AE. 又∵CE=AC,∴DC垂直平分AE. ∴DA=DE. 16.證明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. 又∵AE=AF,∠A=∠A,∴△ABF≌△ACE, ∴∠ABF=∠ACE,∴∠PBC=∠PCB, ∴PB=PC. 相等的線段還有BF=CE,PF=PE,BE=CF. 17.C 18. 19.(1)證明:∵CD繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得CE,

23、 ∴CD=CE,∠DCE=90°. ∵∠ACB=90°, ∴∠BCD=90°-∠ACD=∠FCE. 在△BCD和△FCE中, ∴△BCD≌△FCE. (2)由△BCD≌△FCE得∠BDC=∠E. ∵EF∥CD,∴∠E=180°-∠DCE=90°, ∴∠BDC=90°. 20.(1)兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. (2)已知:在△ABC與△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求證:△ABC≌△DEF. 證明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠C=180°-∠A-∠B(三角形的內(nèi)角和等于180°). 同理:∠F=180°-∠D-∠E. 又∵∠A=∠D,∠B=∠E, ∴∠C=∠F(等式的性質(zhì)). 在△ABC與△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(ASA). 21.(1)證明:∵五邊形ABCDE是正五邊形, ∴AB=BC,∠ABM=∠BCN. 在△ABM和△BCN中, ∴△ABM≌△BCN(SAS). (2)∵△ABM≌△BCN, ∴∠MBP=∠BAP. ∵∠MBP+∠BMP+∠BPM=180°, ∠BAP+∠BMA+∠MBA=180°, ∴∠BPM=∠MBA. ∵∠BPM=∠APN, ∴∠APN=∠MBA==108°. 12

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