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1、2022年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 中檔題滿分練（2）文
1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2
cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－.
(1)求cos A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求B和c.
2.如圖，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.
(1)求證：BF∥平面ACE；
(2)求證：BF⊥BD.
3.如圖(示意)，公路AM，AN圍成的是一塊頂角為α的角形耕地，其中tan α＝－2.在該塊土地中P處有一小型建筑，經(jīng)測量，它到公路AM，AN的距
2、離分別為3 km， km.現(xiàn)要過點P修建一條直線公路BC，將三條公路圍成的區(qū)域ABC建成一個工業(yè)園．為盡量減少耕地占用，問如何確定B點的位置，使得該工業(yè)園區(qū)的面積最??？并求最小面積．
4.如圖，已知橢圓C：＋y2＝1，A、B是四條直線x＝±2，y＝±1所圍成矩形的兩個頂點．
(1)設(shè)P是橢圓C上任意一點，若＝m＋n，求證：動點Q(m，n)在定圓上運動，并求出定圓的方程；
(2)若M、N是橢圓C上兩上動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．
中檔題滿分練(二)
1．解
3、 (1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－，得[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－.
即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，所以cos(A－B＋B)＝－.
因此，cos A＝－.
(2)由cos A＝－，0＜A＜π，得sin A＝，
由正弦定理，有＝，a＝4，b＝5，
所以sin B＝＝.
由題知a＞b，則A＞B，故B＝.
根據(jù)余弦定理有(4)2＝52＋c2－2×5c×，整理得c2＋6c－7＝0，
解得c＝1或c＝－7(舍去)．
2.證明 (1)設(shè)AC與BD交于O點，連接EO.
4、
正方形ABCD中，BO＝AB，又因為AB＝EF，
∴BO＝EF，又因為EF∥BD，
∴EFBO是平行四邊形，
∴BF∥EO，又∵BF?平面ACE，EO?平面ACE，
∴BF∥平面ACE.
(2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又因為正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD?平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，
∴BD⊥平面ACE，∵EO?平面ACE，
∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.
3．解 如圖，以A為原點，AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
因為tan α＝－2，故直線AN的方程是y＝－2x.
設(shè)點P(x0，y0)．
因為點P到A
5、M的距離為3，故y0＝3.
由P到直線AN的距離為，
得＝，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，
所以點P(1，3)．
顯然直線BC的斜率存在．
設(shè)直線BC的方程為y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)，
令y＝0，得xB＝1－，
由得yC＝.
設(shè)△ABC的面積為S，
則S＝·xB·yC＝＝－1＋，
由S′＝＝0，得k＝－或k＝3，
當(dāng)－2＜k＜－時，S′＜0，S單調(diào)遞減；
當(dāng)－＜k＜0時，S′＞0，S單調(diào)遞增，
所以當(dāng)k＝－，即AB＝5時，S取最小值15.
所以當(dāng)AB＝5 km時，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15 km2.
4．(1)證明 易求A(2，1)，B(－2，1)．
設(shè)P(x0，y0)，則＋y＝1.由＝m＋n，得
所以＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝.故點Q(m，n)在定圓x2＋y2＝上．
(2)解 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則＝kOA·kOB＝－.
平方得xx＝16yy＝(4－x)(4－x)，即x＋x＝4.
因為直線MN的方程為(x2－x1)y－(y2－y1)x＋x1y2－x2y1＝0，
所以O(shè)到直線MN的距離為d＝，
所以△OMN的面積S＝MN·d
＝|x1y2－x2y1|
＝
＝
＝＝1.
故△OMN的面積為定值1.
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