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1、2022年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四第三講 思想方法與規(guī)范解答教案 理
思想方法
1.函數(shù)與方程思想
函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在:
(1)等差、等比數(shù)列基本元素的計算,尤其是“知三求二”,注意消元的方法及整體代換的運用;
(2)數(shù)列本身是定義域為正整數(shù)集或其有限子集的函數(shù),在解決數(shù)列問題時,應(yīng)有函數(shù)與方程思想求解的意識.
[例1] (xx年鄭州模擬)已知等差數(shù)列{an}滿足:a5=9,a2+a6=14.
(1)求{an}的通項公式;
(2)若bn=an+qan(q>0),求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
[解析] (1)設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,
則由a
2、5=9,a2+a6=14,
得
解得
所以{an}的通項an=2n-1.
(2)由an=2n-1得bn=2n-1+q2n-1.
當(dāng)q>0且q≠1時,Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+(q1+q3+q5+…+q2n-1)=n2+;
當(dāng)q=1時,bn=2n,則Sn=n(n+1).
所以數(shù)列{bn}的前n項和
Sn=
跟蹤訓(xùn)練
已知兩個等比數(shù)列{an},{bn}滿足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.
(1)若a=1,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{an}唯一,求a的值.
解析:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則b
3、1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2,
由b1,b2,b3成等比數(shù)列得(2+q)2=2(3+q2),
即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2-
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.
(2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2)得aq2-4aq+3a-1=0.(*)
由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有兩個不同的實根.
由數(shù)列{an}唯一,知方程(*)必有一根為0,代入(*)得a=.
2.分類討論思想
數(shù)列中的討論問題常見類型
(1)求和分段討論:知道數(shù)列{an}
4、的前n項和Sn,求數(shù)列{|an|}的前n項和;
(2)對等比數(shù)列的公比討論:求等比數(shù)列前n項和問題中對公比q=1和q≠1進(jìn)行討論;
(3)對項數(shù)的奇偶討論:與數(shù)列有關(guān)的求通項或求前n項和問題中對項數(shù)n的奇偶進(jìn)行討論.
[例2] (xx年高考湖北卷)已知等差數(shù)列{an}前三項的和為-3,前三項的積為8.
(1)求等差數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若a2,a3,a1成等比數(shù)列,求數(shù)列{|an|}的前n項和.
[解析] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則a2=a1+d,a3=a1+2d.
由題意得
解得或
所以由等差數(shù)列通項公式可得
an=2-3(n-1)=-3n+5,或a
5、n=-4+3(n-1)=3n-7.
故an=-3n+5,或an=3n-7.
(2)當(dāng)an=-3n+5時,a2,a3,a1分別為-1,-4,2,不成等比數(shù)列;
當(dāng)an=3n-7時,a2,a3,a1分別為-1,2,-4,成等比數(shù)列,滿足條件.
故|an|=|3n-7|=
記數(shù)列{|an|}的前n項和為Sn.
當(dāng)n=1時,S1=|a1|=4;當(dāng)n=2時,S2=|a1|+|a2|=5;
當(dāng)n≥3時,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|
=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)
=5+=n2-n+10.
當(dāng)n=2時,滿足此式.
綜上,Sn=
跟蹤訓(xùn)練
6、在等比數(shù)列{an}中,設(shè)前n項和為Sn,x=S+S,y=Sn(S2n+S3n),試比較x與y的大?。?
解析:設(shè)等比數(shù)列的首項為a1,公比為q,
則當(dāng)q=1時,Sn=na1,
∴x=(na1)2+(2na1)2=5n2a,
y=na1(2na1+3na1)=5n2a,∴x=y(tǒng);
當(dāng)q≠1時,Sn=,
∴x=[]2+[]2
=()2[(1-qn)2+(1-q2n)2]
=()2(q4n-q2n-2qn+2),
y=[+]
=()2(q4n-q2n-2qn+2),
∴x=y(tǒng),綜上可知x=y(tǒng).
考情展望
高考對本專題的考查各種題型都有,在選擇填空中主要考查等差、等比數(shù)列的
7、基本問題,在解答題中主要考查,由遞推關(guān)系求通項及數(shù)列求和問題,同時綜合考查數(shù)列與不等式,函數(shù)的綜合應(yīng)用,難度中檔偏上.
名師押題
【押題】 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=,且Sn=Sn-1+an-1+(n∈N*,n≥2),數(shù)列{bn}滿足:b1=-,且3bn-bn-1=n(n≥2,且n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求證:數(shù)列{bn-an}為等比數(shù)列;
(3)求數(shù)列{bn}的前n項和的最小值.
【解析】 (1)由Sn=Sn-1+an-1+得Sn-Sn-1=an-1+,
即an-an-1=(n∈N*,n≥2),
則數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列
8、,
∴an=a1+(n-1)×=n-(n∈N*).
(2)證明:∵3bn-bn-1=n(n≥2),∴bn=bn-1+n(n≥2),
∴bn-an=bn-1+n-n+
=bn-1-n+=(bn-1-n+)(n≥2),
bn-1-an-1=bn-1-(n-1)+=bn-1-n+(n≥2),
∴bn-an=(bn-1-an-1)(n≥2),
∵b1-a1=-30≠0,∴=(n≥2),
∴數(shù)列{bn-an}是以-30為首項,為公比的等比數(shù)列.
(3)由(2)得bn-an=-30×()n-1,
∴bn=an-30×()n-1=n--30×()n-1.
∴bn-bn-1=n--30×()n-1-(n-1)++30×()n-2=+30×()n-2×(1-)
=+20×()n-2>0(n≥2),∴數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列.
∵當(dāng)n=1時,b1=-<0;當(dāng)n=2時,b2=-10<0;
當(dāng)n=3時,b3=-<0;當(dāng)n=4時,b4=->0,
∴數(shù)列{bn}從第4項起各項均大于0,故數(shù)列{bn}的前3項之和最小,記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,則T3=-+(-10)+(-)=-.