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1、2022年高二3月月考 數(shù)學(xué)(理科) 含答案(VI)
一、選擇題 (本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1. =2,則實(shí)數(shù)a等于( )
A.-1 B. 1 C.- ?????D、
【答案】B
2.若函數(shù)滿足,則( )
A.-3 B.-6 C.-9 D.-12
【答案】D
3.已知物體的運(yùn)動(dòng)方程是(表示時(shí)間,表示位移),則瞬時(shí)速度為0的時(shí)刻是( )
A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒
C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒
【答案】D
4.曲線y=2x2在點(diǎn)P(1,2)處的切線
2、方程是( )
A. 4x-y-2=0 B. 4x+y-2=O
C. 4x+y+2=O D. 4x-y+2=0
【答案】A
5.由曲線y=x2和直線x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所圍成的圖形(陰影部分)的面積的最小值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
6.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為( )
A. B.
C. D.
【答案】C
7.已知曲線與在處切線的斜率的乘積為3,則的值為( )
A.-2 B.2 C. D.1
【答案】D
8.過(guò)點(diǎn)(0,1)且與曲線在
3、點(diǎn)(3,2)處的切線垂直的直線的方程為( )
A. B. C. D.
【答案】A
9.若,則的值是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】A
10.若曲線在點(diǎn)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18,則( )
A. B. C. D.
【答案】A
11.( )
A. 0 B. 1 C. 2 D.
【答案】A
12.已知直線ax-by-2=0與曲線y=x3在點(diǎn)P(l,1)處的切線互相垂直,則的值為( )
A. B. C.- D.-
【答案】D
二、填空題 (本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分,把正確答案填在題中橫線上)
4、
13.若函數(shù)f (x)=x2-ax+lnx存在垂直于y軸的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________
【答案】[2,+∞)
14.已知函數(shù)若成立,則____________。
【答案】或
15.已知為一次函數(shù),且,則=____________.
【答案】
16.由曲線所圍成的圖形面積是 .
【答案】
三、解答題 (本大題共6個(gè)小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)
17.已知函數(shù)滿足當(dāng),
時(shí)的最大值為。
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)使得不等式對(duì)于時(shí)恒成立若存在,求出實(shí)數(shù)的取值集合;若不存在,說(shuō)明理由.
【答
5、案】(1)由已知得:
∴ ………3分
∴,,∴,
∴當(dāng),
當(dāng),
∴,∴
∴當(dāng)時(shí),
(2)由(1)可得:時(shí),不等式恒成立,
即為恒成立,
①當(dāng)時(shí),,令
則
令,則當(dāng)時(shí),
∴,∴,
∴,故此時(shí)只需即可;
②當(dāng)時(shí),,令
則
令,則當(dāng)時(shí),
∴,∴,
∴,故此時(shí)只需即可,
綜上所述:,因此滿足題中的取值集合為:
18.(Ⅰ)已知函數(shù)在上是增函數(shù),求的取值范圍;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的結(jié)論下,設(shè),,求的最小值.
【答案】(1),∵f(x) 在(0,1)上是增函數(shù),∴2x+-a≥0在(0,1)上恒成立,即a≤
6、2x+恒成立, ∴只需a≤(2x+)min即可.
∴2x+≥ (當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號(hào)) , ∴a≤
(2) 設(shè)
設(shè) ,其對(duì)稱軸為 t=,由(1)得a≤,
∴t=≤<
則當(dāng)1≤≤,即2≤a≤時(shí),h(t)的最小值為h()=-1-,
當(dāng)<1,即a<2時(shí),h(t)的最小值為h(1)=-a
當(dāng)2≤a≤時(shí)g(x) 的最小值為-1- ,
當(dāng)a<2時(shí)g(x) 的最小值為-a.
19.已知:函數(shù),其中.
(Ⅰ)若是的極值點(diǎn),求的值;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若在上的最大值是,求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ). 依題意,令,解得 .
經(jīng)檢驗(yàn),時(shí),符合
7、題意.
(Ⅱ)解:① 當(dāng)時(shí),.
故的單調(diào)增區(qū)間是;單調(diào)減區(qū)間是.
② 當(dāng)時(shí),令,得,或.
當(dāng)時(shí),與的情況如下:
所以,的單調(diào)增區(qū)間是;單調(diào)減區(qū)間是和.
當(dāng)時(shí),的單調(diào)減區(qū)間是.
當(dāng)時(shí),,與的情況如下:
所以,的單調(diào)增區(qū)間是;單調(diào)減區(qū)間是和.
③ 當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間是;單調(diào)減區(qū)間是.
綜上,當(dāng)時(shí),的增區(qū)間是,減區(qū)間是;
當(dāng)時(shí),的增區(qū)間是,減區(qū)間是和;
當(dāng)時(shí),的減區(qū)間是;
當(dāng)時(shí),的增區(qū)間是;減區(qū)間是和.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 時(shí),在上單調(diào)遞增,由,知不合題意.
當(dāng)時(shí),在的最大值是,
由,知不合題意.
8、當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,
可得在上的最大值是,符合題意.
所以,在上的最大值是時(shí),的取值范圍是.
20.已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對(duì)一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=k成立.
【答案】(1)f′(x)=ex-a.令f′(x)=0得x=lna.
當(dāng)x<lna時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>lna時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.故當(dāng)x=ln a時(shí),f(x
9、)取最小值f(lna)=a-alna.
于是對(duì)一切x∈R,f(x)≥1恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)a-alna≥1. ?、?
令g(t)=t-tlnt,則g′(t)=-lnt.
當(dāng)0<t<1時(shí),g′(t)>0,g(t)單調(diào)遞增;
當(dāng)t>1時(shí),g′(t)<0,g(t)單調(diào)遞減.
故當(dāng)t=1時(shí),g(t)取最大值g(1)=1.因此,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí),①式成立.
綜上所述,a的取值集合為{1}.
(2)由題意知,k==-a.
令φ(x)=f′(x)-k=ex-,則
φ(x1)=- [-(x2-x1)-1],
φ(x2)= [-(x1-x2)-1].
令F(t)=et-t-1,則F′(t)=e
10、t-1.
當(dāng)t<0時(shí),F(xiàn)′(t)<0,F(xiàn)(t)單調(diào)遞減;
當(dāng)t>0時(shí),F(xiàn)′(t)>0,F(xiàn)(t)單調(diào)遞增.
故當(dāng)t≠0時(shí),F(xiàn)(t)>F(0)=0,即et-t-1>0.
從而-(x2-x1)-1>0,-(x1-x2)-1>0,又>0,>0,
所以φ(x1)<0,φ(x2)>0.
因?yàn)楹瘮?shù)y=φ(x)在區(qū)間[x1,x2]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在x0∈(x1,x2),使φ(x0)=0,即f′(x0)=k成立.
21.判斷函數(shù)單調(diào)性,并求其最大值與最小值。
【答案】∵
根據(jù),隨的變化情況列表如下:
由上表可知:的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,0)和,單調(diào)遞減區(qū)
11、間為
計(jì)算并比較函數(shù)在區(qū)間上的極值和端點(diǎn)值:,,
可知:在區(qū)間上的最大值是5,最小值是-11
22.甲、乙兩個(gè)工廠,甲廠位于一直線河岸的岸邊A處,乙廠與甲廠在河的同側(cè),乙廠位于離河岸40 km的B處,乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km,兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C,從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3元和5元,問供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最?。?
【答案】解法一:根據(jù)題意知,只有點(diǎn)C在線段AD上某一適當(dāng)位置,才能使總運(yùn)費(fèi)最省,設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)x km, 則 ∵BD=40,AC=50-,∴BC=
又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元,依題意有:=3(50-x)+5
y
12、′=-3+,令y′=0,解得=30
在(0,50)上,y只有一個(gè)極值點(diǎn),根據(jù)實(shí)際問題的意義,
函數(shù)在=30(km)處取得最小值,此時(shí)AC=50-=20(km)
∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處,可使水管費(fèi)用最省.
解法二:設(shè)∠BCD=,則BC=,CD=,
設(shè)總的水管費(fèi)用為f(θ),依題意,有
(θ)=3(50-40·cotθ)+5=150+40·
∴(θ)=40
令(θ)=0,得cosθ=
根據(jù)問題的實(shí)際意義,當(dāng)cosθ=時(shí),函數(shù)取得最小值,此時(shí)sinθ=,∴cotθ=,
∴AC=50-40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處,可使水管費(fèi)用最省.