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1、2022年高中數(shù)學 直線與圓錐曲線 板塊二 直線與雙曲線完整講義(學生版)
1.橢圓的定義:平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)(大于)的點的軌跡(或集合)叫做橢圓.
這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.
2.橢圓的標準方程:
①,焦點是,,且.
②,焦點是,,且.
3.橢圓的幾何性質(zhì)(用標準方程研究):
⑴范圍:,;
⑵對稱性:以軸、軸為對稱軸,以坐標原點為對稱中心,橢圓的對稱中心又叫做橢圓的中心;
⑶橢圓的頂點:橢圓與它的對稱軸的四個交點,如圖中的;
⑷長軸與短軸:焦點所在的對稱軸上,兩個頂點間的線段稱為橢圓的長軸,如圖中線段的;另一對頂點間的線
2、段叫做橢圓的短軸,如圖中的線段.
⑸橢圓的離心率:,焦距與長軸長之比,,越趨近于,橢圓越扁;
反之,越趨近于,橢圓越趨近于圓.
4.直線:與圓錐曲線:的位置關(guān)系:
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為:相交、相切、相離.對于拋物線來說,平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點,但并不是相切;對于雙曲線來說,平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點,但并不相切.這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為:
設(shè)直線:,圓錐曲線:,由
消去(或消去)得:.
若,,相交;相離;相切.
若,得到一個一次方程:①為雙曲線,則與雙曲線的漸近線平行;②為拋物線,則與拋物線的對稱軸平行.
因此直線與拋物線、雙曲
3、線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件,但不是充分條件.
5.連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦.
求弦長的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立,求出兩交點的坐標,然后運用兩點間的距離公式來求;
另外一種求法是如果直線的斜率為,被圓錐曲線截得弦兩端點坐標分別為,則弦長公式為.
兩根差公式:
如果滿足一元二次方程:,
則().
6.直線與圓錐曲線問題的常用解題思路有:
①從方程的觀點出發(fā),利用根與系數(shù)的關(guān)系來進行討論,這是用代數(shù)方法來解決幾何問題的基礎(chǔ).要重視通過設(shè)而不求與弦長公式簡化計算,并同時注意在適當時利用圖形的平面幾何性質(zhì).
②以向量為工具,利用
4、向量的坐標運算解決與中點、弦長、角度相關(guān)的問題.
典例分析
【例1】 若直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點,則的取值范圍是_______
【例2】 過雙曲線的右焦點直線交雙曲線于、兩點,若,則這樣的直線有_____條
5、
6、
7、
【例3】 過點與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜
8、率的取值范圍為______
【例4】 直線與雙曲線相交于兩點、,則=_________.
【例5】 若直線與雙曲線沒有公共點,求的取值范圍.
【例6】 若直線與雙曲線有且只有一個公共點,求的的值.
【例7】 若直線與雙曲線有兩個相異公共點,求的取值范圍.
【例8】 直線與雙曲線的一支有兩個相異公共點,求的取值范圍.
【例9】 若直線與雙曲線的兩支各有一個公共點,求的取值范圍.
【例10】 若直線與雙曲線的右支有兩個相異公共點,求的取值范圍.
【例11】 已知不論取何實數(shù),直線與雙曲線總有公共點,求實數(shù)的取值范圍.
9、
【例12】 直線與雙曲線交于、兩點.①當為何值時,、分別在雙曲線的兩支上?②當為何值時,以為直徑的圓過坐標原點?
【例13】 已知直線與雙曲線相交于兩個不同點、.
①求的取值范圍;
②若軸上的點到、兩點的距離相等,求的值.
【例14】 已知直線與雙曲線,記雙曲線的右頂點為,是否存在實數(shù),使得直線與雙曲線的右支交于兩點,且,若存在,求出值:若不存在,請說明理由.
【例15】 已知點,,動點滿足條件,記動點的軌跡為.
⑴求的方程;
⑵若、是曲線上不同的兩點,是坐標原點,求的最小值.
【例16】 直線與雙曲線的右支交不同的,兩點,
⑴求實數(shù)
10、取值范圍;
⑵是否存在實數(shù),使得以線段直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點.若存在,求出值:若不存在,請說明理由.
【例17】 雙曲線的中心在原點,右焦點為,漸近線方程為.
⑴求雙曲線的方程;
⑵設(shè)直線:與雙曲線交于、兩點,問:當為何值時,以為直徑的圓過原點.
【例18】 已知雙曲線的中心在原點,焦點在軸上,離心率為,過其右焦點且傾斜角為的直線被雙曲線截得的弦的長為.
⑴求此雙曲線的方程;
⑵若直線與該雙曲線交于兩個不同點、,且以線段為直徑的圓過原點,求定點到直線的距離的最大值,并求此時直線的方程.
______________________________
11、_____________________________________________________________________________________________
/ / / / / /○/ / / / / /○/ / / / / /○ 密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線 ○/ / / / / /○/ / / / / /○/ / / / / /
密 封 線 內(nèi) 不
12、 要 答 題
【例19】 在中,已知、,動點滿足.
⑴求動點的軌跡方程;
⑵設(shè)點,,過點作直線垂直,且與直線交于點,試在軸上確定一點,使得;
⑶在⑵的條件下,設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為,求的值.
【例20】 已知中心在原點的雙曲線的右焦點為,右頂點為.
⑴求雙曲線的方程;
⑵若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點和,且(其中為原點),求的取值范圍.
【例21】 已知雙曲線,設(shè)過點的直線的方向向量 .
⑴當直線與雙曲線的一條漸近線平行時,求直線的方程及與的距離;
⑵證明:當>時,
13、在雙曲線的右支上不存在點,使之到直線的距離為.
【例22】 已知雙曲線的方程為,離心率,頂點到漸近線的距離為.
⑴求雙曲線的方程;
⑵如圖,是雙曲線上一點,,兩點在雙曲線的兩條漸近線上,且分別位于第一、二象限,若,,求面積的取值范圍.
【例23】 已知以原點為中心,為右焦點的雙曲線的離心率.
⑴求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程;
⑵如圖,已知過點的直線與過點(其中)的直線的交點在雙曲線上,直線與兩條漸近線分別交與、兩點,求的面積.
【例24】 已知動圓過點并且與圓相外切,動圓圓心的軌跡為,軌跡與軸的交點為.
⑴求軌跡的方程;
⑵設(shè)直線過點且與軌跡有兩個不同的交點,,求直線的斜率的取值范圍;
⑶在⑵的條件下,若,證明直線過定點,并求出這個定點的坐標.
【例25】 已知點為雙曲線(為正常數(shù))上任一點,為雙曲線的右焦點,過 作右準線的垂線,垂足為,連接并延長交軸于.
⑴求線段的中點的軌跡的方程;
⑵設(shè)軌跡與軸交于、兩點,在上任取一點,直線,分別交軸于兩點.求證:以為直徑的圓過兩定點.
(焦點在軸上的標準雙曲線的準線方程為)
【例26】 已知雙曲線的離心率為,右準線方程為.
⑴求雙曲線的方程;
⑵設(shè)直線是圓上動點處的切線,與雙曲線交于不同的兩點,證明的大小為定值.