2022年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第四周規(guī)范練 理

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1、2022年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第四周規(guī)范練 理 [題目22]　已知向量m＝，n＝，記f(x)＝m·n. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間； (2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f＝1，a＝2，b＝，求sin C的值． xx年____月____日(周一) [題目23]　已知函數(shù)f(x)＝|x2－a|＋x2＋kx，(a為常數(shù)，且02的解集； (2)若函數(shù)f(x)在(0，2)上有兩個零點(diǎn)x1，x2，求＋的取值范圍． xx年____月____日(周二) [題目24

2、]　已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，非常數(shù)等比數(shù)列{bn}的公比是q，且滿足：a1＝2，b1＝1，S2＝3b2，a2＝b3. (1)求an與bn； (2)設(shè)cn＝2bn－λ·，若數(shù)列{cn}是遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． xx年____月____日(周三) [題目25]　如圖，將邊長為2的正六邊形ABCDEF沿對角線BE翻折，連接AC、FD，形成如圖所示的多面體，且AC＝. (1)證明：平面ABEF⊥平面BCDE； (2)求平面ABC與平面DEF所成二面角(銳角)的余弦值． xx年____月____日(周四) [題目26]　已知橢圓C：＋

3、＝1(a>b>0)的短軸長為2，離心率為.過點(diǎn)M(2，0)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求橢圓C的方程； (2)求·的取值范圍； (3)若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是N，證明：直線AN恒過一定點(diǎn)． xx年____月____日(周五) [題目27]　已知函數(shù)f(x)＝(其中k∈R，e＝2.718 28……是自然對數(shù)的底數(shù))，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)． (1)當(dāng)k＝2時，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程； (2)若x∈(0，1]時，f′(x)＝0都有解，求k的取值范圍； (3)若f′(1)＝0，試證明：對任意x>0，f′(x

4、)<恒成立． xx年____月____日(周六) [題目28]　某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標(biāo)分別為x，y，z，用綜合指標(biāo)S＝x＋y＋z評價該產(chǎn)品的等級．若S≤4，則該產(chǎn)品為一等品．現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標(biāo)列表如下： 產(chǎn)品編號 A1 A2 A3 A4 A5 質(zhì)量指標(biāo) (x，y，z) (1，1，2) (2，1，1) (2，2，2) (1，1，1) (1，2，1) 產(chǎn)品編號 A6 A7 A8 A9 A10 質(zhì)量指標(biāo) (x，y，z) (1，2，2) (2，1，1) (

5、2，2，1) (1，1，1) (2，1，2) (1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率； (2)在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品． (ⅰ)用產(chǎn)品編號列出所有可能的結(jié)果； (ⅱ)設(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”，求事件B發(fā)生的概率． xx年____月____日(周日) [題目22]　解　(1)∵m＝， n＝. ∴f(x)＝m·n＝2cos2x－2sincos ＝1＋cos 2x－sin＝1＋cos 2x－sin 2x－cos 2x ＝1＋cos 2x－sin 2x＝1－sin. 則f(x)的最小正周期T＝π. 令

6、2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，k∈Z. (2)由f＝1，得1－sin＝1，即sin＝0. 又0b，知B為銳角． ∴cos B＝＝. 故sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝. [題目23]　解　(1)由于a＝k＝1，故函數(shù)f(x)＝|x2－1|＋x2＋x. 若x2－1≥0，則|x2－1|＋x2＋x>2，即2x2＋x－3>0，解得x>1或x<－； 若x2－1<0，則|x2－1|＋x2＋x>2，即1－x2＋x2

7、＋x>2， ∴x>1，故不等式無解． 綜上所述：f(x)>2的解集{x|x>1，或x<－}． (2)因?yàn)?

8、)， ∴＋∈. [題目24]　解　(1)由已知可得所以q2－3q＋2＝0， 解得q＝2或q＝1(舍)，從而a2＝4， 所以an＝2n，bn＝2n－1. (2)由(1)知，cn＝2bn－λ·3＝2n－3nλ. 由題意，cn＋12n恒成立， 即λ>·恒成立． 由于函數(shù)y＝·在R上是減函數(shù)， 所以當(dāng)n＝1時，·有最大值，且最大值為×＝. 因此λ>時，λ>·恒成立． 所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍是. [題目25]　(1)證明　在正六邊形ABCDEF中，連接AC、BE，交點(diǎn)為G，易知AC⊥BE

9、，且AG＝CG＝， 在多面體中，由AC＝，知AG2＋CG2＝AC2， 故AG⊥GC， 又AG⊥BE，GC∩BE＝G，GC，BE在平面BCDE內(nèi)， 故AG⊥平面BCDE. 由于AG?平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面BCDE. (2)解　以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GC，GE，GA所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系． 由AG＝CG＝，BG＝1，GE＝3. 則A(0，0，)，B(0，－1，0)，C(，0，0)， D(，2，0)，E(0，3，0)，F(xiàn)(0，2，)． ＝(0，－1，－)，＝(，0，－)，＝(0，－1，)， ＝＝(，0，－)． 設(shè)平面ABC的法向

10、量為n1＝(x，y，z)， 則即 取z＝1，得n1＝(1，－，1)． 同理可求平面DEF的一個法向量n2＝(1，，1)． 所以cos〈n1，n2〉＝＝－. 故兩平面所成二面角(銳角)的余弦值為. [題目26]　(1)解　依題意，得b＝1，e＝＝. ∴a2＝2c2＝2(a2－b2)，則a2＝2b2＝2. 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)解　依題意，過點(diǎn)M(2，0)的直線l的斜率存在，設(shè)為k. 則直線l的方程為y＝k(x－2)． 聯(lián)立消去y，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0. 由Δ＝64k4－4(8k2－2)(1＋2k2)>0， 得k2<，則0≤k2<.

11、 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1＋x2＝，x1x2＝. 所以·＝x1x2＋y1y2. ＝x1x2＋k2(x1－2)(x2－2) ＝(1＋k2)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2 ＝＝5－. 因?yàn)?≤k2<，所以<≤7， 故·的取值范圍是. (3)證明　由對稱性可知N(x2，－y2)，定點(diǎn)在x軸上． 直線AN：y－y1＝(x－x1)，令y＝0得： x＝x1－＝＝ ＝＝1. 所以直線AN恒過定點(diǎn)(1，0)． [題目27]　(1)解　由f(x)＝，得 f′(x)＝(x>0)， ∴f′(1)＝－，且f(1)＝. 故曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1)

12、)處的切線為y－＝－(x－1)，即x＋ey－3＝0. (2)解　由f′(x)＝0得k＝，令F(x)＝， ∵00. 需證f′(x)<恒成立， 只需證明1－xln x－x<(e－2＋1)． 設(shè)h(x)＝1－xln x－x(x>0)，得h′(x)＝－ln x－2. 當(dāng)x∈(0，e－2)時，h′(x)>0，h(x)是增函數(shù)； 當(dāng)x∈

13、(e－2，＋∞)時，h′(x)<0，h(x)是減函數(shù)． 所以h(x)的最大值為h(e－2)＝e－2＋1， 故1－xln x－x≤e－2＋1. 設(shè)φ(x)＝ex－(x＋1)，x>0，則φ′(x)＝ex－1. ∴當(dāng)x>0時，φ′(x)>0，φ(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． 因此φ(x)>φ(0)＝0. 故x∈(0，＋∞)時，φ(x)＝ex－(x＋1)>0，即>1， 所以1－x－xln x≤e－2＋1<(e－2＋1)． 因此，對任意x>0，f′(x)<恒成立． [題目28]　解　(1)計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S，如下表： 產(chǎn)品編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6

14、 A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故該樣本的一等品率為＝0.6，從而可估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率為0.6. (2)(ⅰ)在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15種． (ⅱ)在該樣本的一等品中，綜合指標(biāo)S等于4的產(chǎn)品編號分別為A1，A2，A5，A7，則事件B發(fā)生的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6種．所以P(B)＝＝.