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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題六 三角函數(shù)(含解析)
重點(diǎn) 1 三角函數(shù)的概念
1.角度制與弧度制的互化:基本換算關(guān)系
2.扇形的弧長(zhǎng)與面積公式:(1)扇形的弧長(zhǎng)公式: ?。?)扇形的面積公式:
3.三角函數(shù)的定義與符號(hào):六個(gè)比值定義,在四個(gè)象限的正負(fù)號(hào)
4.三角函數(shù)線及其應(yīng)用:?jiǎn)挝粓A中的有向線段表示的正弦線、余弦線、正切線
[高考??冀嵌萞
角度1已知扇形的中心角是,所在圓的半徑為.
(1)若求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形面積
(2)若扇形的周長(zhǎng)是定值當(dāng)為多少弧度時(shí),扇形有最大面積?求出最大面積.
解析:(1),
(2)
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),扇形有最大面積
2、
角度2已知,那么角是( C )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角
解析:與異號(hào),故選C
角度3 函數(shù)的定義域是______________________
解析:應(yīng)有,利用單位圓中的正弦線可得
,即
重點(diǎn) 2 同角三角函數(shù)關(guān)系與誘導(dǎo)公式
1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式:三個(gè)基本原來有八個(gè)關(guān)系,可酌情增加.
2.誘導(dǎo)公式:奇變偶不變,符號(hào)看象限,掌握規(guī)律,就可以記住所有公式了.
[高考常考角度]
角度1 若,則( B )
A. B. C.
3、 D.
解析:由已知,代入中
得,,故選B
角度2記,那么( B )
A. B. C. D.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式等三角函數(shù)知識(shí),并突出了弦切互化這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
解析1:,所以
解析2:,
角度3已知,則的值為( ?。?
A. B. C. 或 D. 或
解析:由已知條件得. 即.解得或
由知,從而或,故選C
重點(diǎn) 3 三角恒等變換
1.三角恒等變換的通性通法:從
4、函數(shù)名、角、運(yùn)算三方面進(jìn)行差異分析,再利用三角變換使異角化同角、異名化同名、高次化低次等.
2.要求熟練、靈活運(yùn)用以下公式:
(1)兩角和與差的三角函數(shù):_______________________;_____________________;
=____________________
(2)二倍角公式:_______________;=_______________=__________________=_________________
(3)升降冪公式:________________;_____________
5、(4)輔助角公式:其中,①____________;
②__________________;③_________________.可以當(dāng)作公式直接使用的.
3.除了掌握公式的順用,還需掌握逆用公式、變形用公式,如的變形用法.
[高考??冀嵌萞
角度1 若,則的值等于( )
A. B. C. D.
解析:由,故選D
角度2 若則( )
A. B. C. D.
解析:
,故選C
角度3已知且求的值.
解:
6、點(diǎn)評(píng):此題的角的范圍討論尤其重要,否則很容易錯(cuò)解.
角度4已知
(1)求
(2)求的值.
解:(1)
(2)
重點(diǎn) 4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.熟悉正弦曲線、余弦曲線、正切曲線
2.熟悉正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心
3.熟練掌握的單調(diào)性、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心的求法
4.熟練掌握“五點(diǎn)作圖法”,熟悉由函數(shù)圖象求解解析式的步驟及過程
5.熟悉的圖象的相位變換、周期變換和振幅變換
[高考常考角度]
角度1函數(shù)是常數(shù),的部分圖象如圖所示,則
解析:由圖可知:
利用五點(diǎn)作圖法知
7、
角度2 如果函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,那么的最小值為( )
A. B. C. D.
解析:小心了,這是余弦函數(shù)的題,從而
當(dāng)時(shí),的最小值為
角度3已知函數(shù),其中為實(shí)數(shù),若對(duì)恒成立,且,則的單調(diào)遞增區(qū)間是( C )
A. B.
C. D.
點(diǎn)評(píng):本題考查正弦函數(shù)的有界性,考查正弦函數(shù)的單調(diào)性.屬中等偏難題.
解析:若對(duì)恒成立,則,所以,
.
由,(),可知,即,
所以,代入,得,
由,得,故選C.
或者:由
或,
8、時(shí),有,
由,得,故選C.
角度4設(shè)函數(shù),其中角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊與軸非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn),且.
(Ⅰ)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的值;
(Ⅱ)若點(diǎn)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定角的取值范圍,并求函數(shù)的最小值和最大值.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查三角函數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、推理論證能力、考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等。
解析:(Ⅰ)因?yàn)榈淖鴺?biāo)為,則 .
(Ⅱ)作出平面區(qū)域,則為圖中的的區(qū)域,
其中,,.
因?yàn)?,所以?
從而,則,
所以,.
所以當(dāng),即時(shí),取得最大值,且最大值為;
當(dāng),即時(shí),取得最小值,且最小值為.
角度5已知函
9、數(shù),,,.的部分圖象,如圖所示,、分別為該圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(Ⅰ)求的最小正周期及的值;
(Ⅱ)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,,求的值.
解析:(Ⅰ)由題意得, 因?yàn)樵诘膱D象上,所以
又因?yàn)?,所?
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),由題意可知,得,所以
解法一 如圖,連接,在中,,由余弦定理得
,
解得
又,
所以
解法二 如圖,作軸,垂足為,則
因?yàn)?,所?
又,,
即
角度6已知函數(shù)
(Ⅰ)函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變化得出?
(Ⅱ)求函數(shù)的最小值,并求使用取得最小值的的集合。
解析:(Ⅰ),
所以要得到的圖象只
10、需要把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將所得的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可.
(Ⅱ).
當(dāng),即時(shí),取得最小值.
取得最小值時(shí),對(duì)應(yīng)的的集合為
重點(diǎn) 5 解三角形
1.正弦定理:一個(gè)基本形,兩個(gè)變形
2.余弦定理:一種基本形,一種變形
3.三角形的面積公式:
4.熟悉常用的邊角轉(zhuǎn)換方法
[高考??冀嵌萞
角度1如圖,中,,點(diǎn) 在邊上,,則的長(zhǎng)度等于______.
解析:
解法一 由余弦定理 , 所以.
再由正弦定理 ,即,所以.
解法二 如圖,取中點(diǎn)為,
由正弦定理 ,可得
11、解法三 作于,因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn),
因?yàn)?,則.
因?yàn)闉橛幸唤菫榈闹苯侨切危?,所以?
角度2在中,則的面積為 ____________
解析:作圖,由余弦定理得
,
點(diǎn)評(píng):如果由,就復(fù)雜多了.
角度3已知 的一個(gè)內(nèi)角為,并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列,則的面積為
______
點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列的概念,考查余弦定理的應(yīng)用,考查利用公式求三角形面積.
解析:解法一 的內(nèi)角一定是的最大角,不妨設(shè)則
由余弦定理,,
解法二 設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為,最大角為,
由余弦定理得,
所以三邊長(zhǎng)為,故.
角度4在中,,則的最大值為_________
點(diǎn)評(píng):本題
12、考查正弦定理、兩角和差的三角函數(shù)、三角函數(shù)的最值。綜合題。
解析:由正弦定理知,
所以,
又,故填寫。
角度5在銳角中,角的對(duì)邊分別為已知,
(1)求的值;
(2)若,,求的值.
解:(1)在銳角中, 則
(2)
由余弦定理得,
突破1個(gè)高考難點(diǎn)
難點(diǎn)1 解三角形在實(shí)際中的應(yīng)有
典例 貨輪在海上以40 km/h的速度由B到C航行,航向?yàn)榉轿唤?,A處有燈塔,其方位角,在C處觀測(cè)燈塔A的方位角,由B到C需航行半小時(shí),則C到燈塔A的距離是
解析:由題意知
又
規(guī)避3個(gè)易失分點(diǎn)
易失分點(diǎn)1 忽視角的范圍
典例
13、 已知為銳角,求的值.
解析:(1)
易失分點(diǎn)2 圖象變換方向把握不準(zhǔn)
典例 將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖象的函數(shù)解析式是( C )
A. B. C. D.
解析:將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得函數(shù)圖象的解析式為,
再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖象的函數(shù)解析式是.故選C
點(diǎn)評(píng):常見錯(cuò)誤:(1)平移后變?yōu)椋?
(2)再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)變?yōu)?
易失分點(diǎn)3 解三角形時(shí)出現(xiàn)漏解或多解
典例 在中,角所對(duì)應(yīng)的邊為,且
(1)若角,則角=______;(2)若角,則=______.
解析:(1)由正弦定理得或就多解了,原因是忽略了
因此
(2)由正弦定理得或
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
如果忽略角有兩解,又造成漏解了.