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1、2022年高三數(shù)學專題復習 專題三 數(shù)列模擬演練 文
一、填空題
1．(xx·南通模擬)在等差數(shù)列{an}中，a1＋3a3＋a15＝10，則a5的值為________．
2．(xx·濟南模擬)設{an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，則a11＋a12＋a13＝________．
3．(xx·成都診斷檢測)設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，且滿足a4a6＝，a7＝，則S4＝________．
4．(xx·衡水中學調研)已知等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，則＝________．
5．(xx·鄭州質檢)設等比數(shù)列{an
2、}的前n項和為Sn，若a1＋a2＝，a4＋a5＝6，則S6＝________．
6．(xx·濰坊調研)在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 015，其前n項和為Sn，若－＝2，則S2 015的值為________．
7．(xx·南昌二模)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a3＝5，a9＝17，數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝3n.若am＝b1＋b4，則正整數(shù)m的值為________．
8．(xx·山西康杰中學、臨汾一中聯(lián)考)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，則S6＝________．
9．(xx·江蘇五市聯(lián)考)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2－a1＝1.
3、當a3取最小值時，數(shù)列{an}的通項公式an＝________．
10．(xx·蘇、錫、常、鎮(zhèn)模擬)已知各項都為正的等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，存在兩項am，an使得 ＝4a1，則＋的最小值為________．
二、解答題
11．(xx·衡水點睛大聯(lián)考)若{an}是各項均不為零的等差數(shù)列，公差為d，Sn為其前n項和，且滿足a＝S2n－1，n∈N*.數(shù)列{bn}滿足bn＝，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和．
(1)求an和Tn；
(2)是否存在正整數(shù)m、n(1
4、．(xx·蘇北四市調研)如果無窮數(shù)列{an}滿足下列條件：①≤an＋1；②存在實數(shù)M，使得an≤M，其中n∈N*，那么我們稱數(shù)列{an}為Ω數(shù)列．
(1)設數(shù)列{bn}的通項為bn＝5n－2n，且是Ω數(shù)列，求M的取值范圍；
(2)設{cn}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn是其前n項和，c3＝，S3＝，證明：數(shù)列{Sn}是Ω數(shù)列；
(3)設數(shù)列{dn}是各項均為正整數(shù)的Ω數(shù)列，求證：dn≤dn＋1.
13．(xx·泰州期末)設數(shù)列{an}的前n項積為Tn，已知對?n，m∈N*，當n＞m時，總有＝Tn－m·q(n－m)m(q＞0是常數(shù))．
(1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)
5、列；
(2)設正整數(shù)k，m，n(k＜m＜n)成等差數(shù)列，試比較Tn·Tk和(Tm)2的大小，并說明理由；
(3)探究：命題p：“對?n，m∈N*，當n＞m時，總有＝Tn－m·q(n－m)m(q＞0是常數(shù))”是命題t：“數(shù)列{an}是公比為q(q＞0)的等比數(shù)列”的充要條件嗎？若是，請給出證明；若不是，請說明理由．
1．2 [設數(shù)列{an}的公差為d，
∵a1＋a15＝2a8，∴2a8＋3a3＝10，
∴2(a5＋3d)＋3(a5－2d)＝10，∴5a5＝10，∴a5＝2.]
2．105 [設數(shù)列{an}的公差為d，依題設知
6、d>0，則a3>a1，
∵a1＋a2＋a3＝15，則3a2＝15，a2＝5，
從而解之得a1＝2，a3＝8.
所以公差d＝＝3.
故a11＋a12＋a13＝(a1＋a2＋a3)＋30d＝15＋90＝105.]
3．15 [設等比數(shù)列{an}的公比為q，且q>0，an>0.
由于a4a6＝，a7＝，
則a3＝＝2，q4＝＝，所以q＝.
于是a1＝＝8.
故S4＝＝＝15.]
4．4 [設等比數(shù)列{an}的公比為q.由于a3＝a1q2＝2.
∴a4a6＝aq8＝(a1q2)2·q4＝4q4＝16.則q4＝4，
故＝＝q4＝4.]
5. [∵a1＋a2＝，a4＋a5＝6，
7、
q3＝＝8，從而q＝2，可求a1＝.
故S6＝＝.]
6．－2 015 [設數(shù)列{an}的公差為d，則＝a1＋d.
由－＝2，得－＝2.
所以d＝2，
因此S2 015＝2 015a1＋d＝－2 015.]
7．29 [由等差數(shù)列的性質，a9＝a3＋6d.∴17＝5＋6d，得d＝2，
因此am＝a3＋2(m－3)＝2m－1.
又數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝3n，
∴b1＝S1＝3，b4＝S4－S3＝34－33＝54.
由am＝b1＋b4，得2m－1＝3＋54，則m＝29.]
8．45 [由a1＝1，a2＝3a1，得a2＝3，
又an＋1＝3Sn，知an＝3Sn－1(n
8、≥2)，
∴an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an，即an＋1＝4an(n≥2)．
因此an＝
故S6＝1＋＝45.]
9．2n－1 [根據題意，由于各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，
由a2－a1＝1，得a1(q－1)＝1，
所以q>1且a1＝，
∴a3＝a1q2＝＝
＝q－1＋＋2≥2＋2＝4，
當且僅當q＝2時取得等號，
因此an＝a1qn－1＝＝2n－1.]
10. [由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理有q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(與條件中等比數(shù)列的各項都為正矛盾，舍去)，又由 ＝4a1，得aman＝16a，即a2m＋n－
9、2＝16a，即有m＋n－2＝4，亦即m＋n＝6，那么＋＝(m＋n)·＝≥＝，當且僅當＝，m＋n＝6，即n＝2m＝4時取得最小值.]
11．解 (1)∵a＝S2n－1(n∈N*)，an≠0.
令n＝1，得a1＝1；令n＝2，得a2＝3，
∴等差數(shù)列{an}的公差d＝2.
從而an＝2n－1，bn＝，
于是Tn＝
＝.
(2)假設存在正整數(shù)m，n(10，
∴－2m2＋4m＋1>0，解得1－1，得m＝2，此時n＝12.
故存在正整數(shù)m，n，當且僅當m＝2，n＝12時，滿足T1，Tm，T
10、n成等比數(shù)列．
12．(1)解 ∵bn＋1－bn＝5－2n，∴當n≥3，bn＋1－bn＜0，故數(shù)列{bn}單調遞減；當n＝1，2時，bn＋1－bn＞0，即b1＜b2＜b3，則數(shù)列{bn}中的最大項是b3＝7，所以M≥7.
(2)證明 ∵{cn}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn是其前n項和，c3＝，S3＝，設其公比為q＞0，∴＋＋c3＝.整理得6q2－q－1＝0，解得q＝，q＝－(舍去)．∴c1＝1，cn＝，Sn＝2－＜2，對任意的n∈N*，有＝2－－＜2－＝Sn＋1，且Sn＜2，故{Sn}是Ω數(shù)列．
(3)證明 假設存在正整數(shù)k使得dk＞dk＋1成立，有數(shù)列{dn}的各項均為正整數(shù)，可得dk
11、≥dk＋1＋1，即dk＋1≤dk－1.因為≤dk＋1，所以dk＋2≤2dk＋1－dk≤2(dk－1)－dk＝dk－2，由dk＋2≤2dk＋1－dk及dk＞dk＋1得dk＋2＜2dk＋1－dk＋1＝dk＋1，故dk＋2≤dk＋1－1.因為≤dk＋2，所以dk＋3≤2dk＋2－dk＋1≤2(dk＋1－1)－dk＋1＝dk＋1－2≤dk－3，由此類推，可得dk＋m≤dk－m(m∈N*)．又存在M，使dk≤M，∴m＞M，使dk＋m＜0，這與數(shù)列{dn}的各項均為正數(shù)矛盾，所以假設不成立，即對任意n∈N*，都有dk≤dk＋1成立．
13．(1)證明 設m＝1，則有＝Tn－1·qn－1，因為Ti≠0(i
12、∈N*)，所以有＝a1·qn－1，即an＝a1·qn－1，所以當n≥2時＝q，所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
(2)解 當q＝1時，an＝a1(n∈N*)，所以Tn＝a，所以Tn·Tk＝a·a＝a＝a＝T，當q≠1時，an＝a1·qn－1，Tn＝a1·a2…an＝a·q1＋2＋…＋(n－1)＝a·q，
所以Tn·Tk＝a·q·a·q＝a·q，T＝a·qm(m－1)．因為n＋k＝2m且k＜m＜n，所以a＝a，＝－m＞－m＝m2－m，所以若q＞1，則Tm·Tk＞T；若q＜1，則Tm·Tk＜T.
(3)解 由(1)知，充分性成立；必要性：若數(shù)列{an}成等比數(shù)列，則an＝a1·qn－1，所以當q≠1時，Tn＝a·q，
則＝
所以，“對?n，m∈N*，當n＞m時總有＝Tn－m·q(n－m)m成立；同理可證當q＝1時也成立．所以命題p是命題t的充要條件．
2022年高三數(shù)學專題復習 專題三 數(shù)列模擬演練 文
