2022年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理(VII)

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1、2022年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理(VII) 本試卷共100分,考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘。 一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1. 已知,則直線AB的斜率為( ) A. 2 B. 1 C. D. 不存在 2. 圓心為且過(guò)點(diǎn)的圓的方程是( ) A. B. C. D. 3. 已知直線與直線互相垂直,則( ) A. -1 B. C. 1 D. 4 4. 已知表示兩條不同直線,表示平面,下列說(shuō)法正確的是( ) A. 若∥,n∥,則m∥

2、n B. 若m⊥,,則m⊥n C. 若m⊥,m⊥n,則n∥ D. 若m∥,m⊥n,則n⊥ 5. 雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是( ) A. 2 B. C. 4 D. 6. 一個(gè)四棱錐的底面為正方形,其三視圖如圖所示,則這個(gè)四棱錐的體積是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在平面直角坐標(biāo)系中,M為不等式組,所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn),則直線OM斜率的最小值為( ) A. B. C. 1 D. 2 8. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F,是C上一點(diǎn),,則=( ) A. 1 B. 2 C. 4

3、 D. 8 9. 過(guò)點(diǎn)的直線與圓有公共點(diǎn),則直線的傾斜角的取值范圍是( ) A. B. C. D. 10. 點(diǎn)P到圖形C上每一個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱(chēng)為點(diǎn)P到圖形C的距離,那么平面內(nèi)到定圓C的距離與到定點(diǎn)A的距離相等的點(diǎn)的軌跡不可能是( ) A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線的一支 D. 直線 二、填空題(本大題共6小題,每小題3分,共18分) 11. 雙曲線的兩條漸近線的方程為_(kāi)_________。 12. 以等腰直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將該三角形旋轉(zhuǎn)一周,若等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1,則所得圓錐的側(cè)面積等于________

4、__。 13. 已知,則__________。 14. 如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在時(shí),拱頂離水面2米,水面寬4米,水位下降1米后,水面寬________米。 15. 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,P為直線上一點(diǎn),△是底角為30°的等腰三角形,則C的離心率為_(kāi)__________。 16. 如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體中,點(diǎn)E、F分別是棱BC,的中點(diǎn),P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn),若∥平面AEF,則線段長(zhǎng)度的取值范圍是_________。 三、解答題(本大題共5小題,共52分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟) 17. (本小題滿分10分) 如圖,在四棱錐中,底面ABCD是菱形,P

5、A=PB,且側(cè)面PAB⊥平面ABCD,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)。 (Ⅰ)求證:CD∥平面PAB; (Ⅱ)求證:PE⊥AD。 18.(本小題滿分10分) 已知圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),且圓心在直線上。 (Ⅰ)求圓C的方程; (Ⅱ)設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-2),且與圓C相交所得弦長(zhǎng)為,求直線的方程。 19.(本小題滿分10分) 已知平行四邊形的兩條邊所在直線的方程分別為,且它的對(duì)角線的交點(diǎn)為,求這個(gè)平行四邊形其他兩邊所在直線的方程。 20.(本小題滿分11分) 如圖,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,為PB的中點(diǎn)。 (Ⅰ)求證:AM⊥平面PBC; (Ⅱ)求二面角的余弦值; (Ⅲ)證明:在線段PC

6、上存在點(diǎn)D,使得BD⊥AC,并求的值。 21.(本小題滿分11分) 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,短軸長(zhǎng)為2,且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn),過(guò)右焦點(diǎn)F與x軸不垂直的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn)。 (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)當(dāng)直線的斜率為1時(shí),求△POQ的面積; (Ⅲ)在線段OF上是否存在點(diǎn),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。 【試題答案】 一、選擇題 1. A 2. D 3. C 4. B 5. C 6. B 7. A 8. A 9. D 10. D 二、填空

7、題 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答題 17. 解:(Ⅰ)因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形, 所以CD∥AB。 2分 又因?yàn)槠矫鍼AB, 4分 且平面PAB, 所以CD∥平面PAB。 5分 (Ⅱ)因?yàn)镻A=PB,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn), 所以PE⊥AB。 6分 因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD, 平面平面ABCD=AB, 平面PAB, 8分 所以PE⊥平面ABCD。 9分 因?yàn)槠矫鍭BCD, 所以PE⊥AD。 10分 18. 解:(Ⅰ)設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為, 依題意,有,

8、 即,解得, 2分 所以, 4分 所以圓C的方程為。 5分 (Ⅱ)依題意,圓C的圓心到直線的距離為1, 所以直線符合題意。 6分 設(shè)直線方程為,即, 則,解得, 所以直線的方程為,即。 9分 綜上,直線的方程為或。 10分 19. 解:聯(lián)立兩條直線的方程,得到方程組 解此方程組,得 如圖,平行四邊形ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)是。 2分 設(shè),由題意,點(diǎn)M(3,3)是線段AC的中點(diǎn), 所以, 4分 解得。 5分 由已知,直線AD的斜率, 因?yàn)橹本€BC∥AD, 所以,直線BC的方程為, 即。 7分 由已知,直線AB的

9、斜率為。 因?yàn)橹本€CD∥AB, 所以,直線CD的方程為, 即。 9分 因此,其他兩邊所在直線的方程是。 10分 20. 解:(Ⅰ)因?yàn)镻A⊥平面ABC,平面ABC, 所以PA⊥BC, 因?yàn)锽C⊥AB,, 所以BC⊥平面PAB, 又平面PAB, 所以AM⊥BC, 因?yàn)镻A=AB,M為PB的中點(diǎn), 所以AM⊥PB, 又, 所以AM⊥平面PBC。 3分 (Ⅱ)如圖,在平面ABC內(nèi),作AZ∥BC,則兩兩互相垂直,建立空間直角坐標(biāo)系, 則,。 , 設(shè)平面APC的法向量為,則 即 令,則, 所以。 5分 由(Ⅰ)可知為平面BPC的法向量

10、, 設(shè)的夾角為,則, 因?yàn)槎娼菫殇J角, 所以二面角的余弦值為。 7分 (Ⅱ)設(shè)是線段PC上一點(diǎn),且, 即, 所以, 所以, 由,得。 9分 因?yàn)?,所以在線段PC上存在點(diǎn)D,使得BD⊥AC, 此時(shí),。 11分 21. 解:(Ⅰ)由已知,橢圓方程可設(shè)為。 1分 因?yàn)閮蓚€(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為正方形的頂點(diǎn),且短軸長(zhǎng)為2, 所以。 所求橢圓方程為。 3分 (Ⅱ)因?yàn)橹本€過(guò)橢圓右焦點(diǎn),且斜率為1,所以直線的方程為。 4分 設(shè)。 由得,解得, 所以。 6分 (Ⅲ)假設(shè)在線段OF上存在點(diǎn),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形。因?yàn)橹本€與x軸不垂直,所以設(shè)直線的方程為。 由可得, 因?yàn)椋? 所以。 8分 設(shè)的中點(diǎn)為 所以, 因?yàn)橐訫P,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形, 所以MN⊥PQ,, 所以, 整理得, 。 所以, 10分 所以。 11分

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