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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題十一 直線和圓的方程(含解析)
抓住4個(gè)高考重點(diǎn)
重點(diǎn)1 直線的方程
1.求直線的斜率及傾斜角的范圍
2.求直線的方程
[高考??冀嵌萞
角度1 設(shè)為曲線上的點(diǎn),且曲線在點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍為,則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
解析:,本題考查直線的傾斜角與斜率以及導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用.
切線的斜率,設(shè)切點(diǎn)為,于是,故選A
角度2 若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線:有公共點(diǎn),則直線的斜率的取值范圍為( )
A.
2、 B. C. D.
解析: 本題考查直線與曲線的位置關(guān)系,直線的斜率.
方法一:設(shè)過(guò)的直線的方程為,即(注:當(dāng)不存在時(shí),不滿足題意).
直線與圓有公共點(diǎn),則,故選.
方法二:如圖,
因此 故選
角度3 直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直,則的方程是( )
A. B. C. D.
解析:本題主要考查直線的方程的求解和兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系.
方法一:由直線與直線垂直,可知直線的斜率是,由點(diǎn)斜式可得直線的方程為,即,故選A
方法二:
3、由直線與直線垂直,可設(shè)直線的方程為,
又直線過(guò)點(diǎn),所以,故直線的方程為,選A
重點(diǎn)2 兩條直線的位置關(guān)系
1.兩直線平行與垂直問(wèn)題的解決策略
2.兩條直線的交點(diǎn)
3.點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線的距離
[高考??冀嵌萞
角度1 已知,若平面內(nèi)三點(diǎn)共線,則_______
解析:由已知,三點(diǎn)共線,所以
角度2 經(jīng)過(guò)圓的圓心,且與直線垂直的直線方程是__________________
解析:由圓方程,圓心為
所求直線的斜率為,方程為,即
角度3已知圓過(guò)點(diǎn),且圓心在軸的正半軸上,直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為,則過(guò)圓心且與直線垂直的
4、直線的方程為 .
解析:由題意,設(shè)所求的直線方程為,設(shè)圓心坐標(biāo)為,則由題意知:
,又因?yàn)閳A心在x軸的正半軸上,所以,
故圓心坐標(biāo)為,因?yàn)閳A心在所求的直線上,所以有,
故所求的直線方程為
點(diǎn)評(píng):本題考查了直線的方程、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的關(guān)系,考查了學(xué)生解決直線與圓問(wèn)題的能力。
重點(diǎn)3 圓的方程
1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程
2.利用幾何性質(zhì)求解圓的方程
[高考??冀嵌萞
角度1以拋物線的焦點(diǎn)為圓心,且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為( D )
A. B. C. D.
解析:因?yàn)橐阎獟佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,即所求
5、圓的圓心,又圓過(guò)原點(diǎn),所以圓的半徑為,
故所求圓的方程為,即,故選D。
點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線的幾何性質(zhì)以及圓的方程的求法,屬基礎(chǔ)題。
角度2過(guò)點(diǎn)的圓與直線相切于點(diǎn),則圓的方程為_____________
解析:設(shè)圓的方程為,則
解得,故所求圓的方程為.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用題意條件求解圓的方程,通常借助待定系數(shù)法求解.
重點(diǎn)4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
1.直線與圓的位置關(guān)系:(1)相交~,(2)相切~,(3)相離~,
2.圓與圓的位置關(guān)系:兩圓的圓心距為,半徑分別為(1)相離~,(2)外切~,
(3)相交~,(4)內(nèi)切~,(5)內(nèi)含~,(6)同心~,
6、
[高考??冀嵌萞
角度1 (xx.廣東)已知集合且且則的元素個(gè)數(shù)為( )
A. B. C. D.
解析:集合表示圓心在原點(diǎn)的單位圓,集合表示過(guò)原點(diǎn)的直線,所以直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn),故選C
角度2在平面直角坐標(biāo)系中,圓的方程為,若直線上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn),則的最大值是 .
點(diǎn)評(píng):主要考查圓與圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離
解析:∵圓C的方程可化為:,∴圓C的圓心為,半徑為1.
∵由題意,直線上至少存在一點(diǎn),以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn);
7、
∴存在,使得成立,即
∵即為點(diǎn)到直線的距離,∴,解得.
∴的最大值是
角度3設(shè)圓與圓外切,與直線相切,則的圓心軌跡為( A )
A.拋物線 B.雙曲線 C.橢圓 D.圓
解析:由已知,作圖分析可知,圓的圓心到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等,
則的圓心軌跡為拋物線,故選A
角度4 若曲線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的值是_________
解析:本題綜合考查直線與圓的方程、圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系,以及分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
由曲線,所以曲線是以點(diǎn),為半徑的圓;
曲線則
8、表示兩條直線,即軸與直線,顯然軸與圓有兩個(gè)交點(diǎn),則直線與圓相切,
故圓心到直線的距離
突破4個(gè)高考難點(diǎn)
難點(diǎn)1 對(duì)稱問(wèn)題的探究
1.中心對(duì)稱:(1)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 (2)直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
2.軸對(duì)稱: (1)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱 (2)直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱
典例 一條光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)射向軸上一點(diǎn)又從反射到直線上的一點(diǎn)又從點(diǎn)反射回到點(diǎn),則直線的方程為
解析:點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,
在直線上,
所以直線的方程為
難點(diǎn)2 過(guò)定點(diǎn)的直線系問(wèn)題
典例1 已知直線的方程為,則該直線對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是_________
9、__
解析:將方程整理為,這個(gè)方程對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立,
必須滿足
解得且,故直線過(guò)定點(diǎn)
典例2 已知直線和直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形,則使得這個(gè)四邊形面積最小的值為__________
解析:直線的方程可化為,該直線系過(guò)定點(diǎn),
與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是
直線的方程可化為,該直線系過(guò)定點(diǎn),
與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是
如圖,所求四邊形是OBMC,
所以當(dāng)時(shí),四邊形面積最?。?
難點(diǎn)3 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題
典例1 已知實(shí)數(shù)滿足方程
(1)求的最大值和最小值
(2)求的最大值和最小值
(3)求的最大值和最小值
解析:由為圓,其中圓心
10、為
(1)可視為圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,設(shè),其兩切線的斜率分別為最小值和最大值
由圖可知,切線斜率為
(2)可視為直線的縱截距,如圖,當(dāng)直線與圓相切時(shí),縱截距最大或者最小
此時(shí),所以最小值為,最大值為
(3)表示圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方,如圖可知,
在原點(diǎn)和圓心的連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最小值和最大值. 可得圓心到原點(diǎn)的距離為,
因此
難點(diǎn)4 有關(guān)圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問(wèn)題的求解
典例1 已知點(diǎn)及圓.
(1)若直線過(guò)點(diǎn)且被圓截得的線段長(zhǎng)為,求直線的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)的圓的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.
解析:(1)方法一:如圖所示,是的中點(diǎn),
圓方程可化為,圓心
11、為,故,在中,可得
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)所求直線的斜率為,則直線的方程為,即
點(diǎn)到直線的距離為:
此時(shí)直線的方程為.
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),方程為,則,解得,
滿足題意
故所求直線的方程為或.
方法二:當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)所求直線的斜率為,則直線的方程為,
由 ①,
設(shè)方程①的兩根為,則有
由弦長(zhǎng)公式得
此時(shí)直線的方程為.
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),方程為,也滿足題意
故所求直線的方程為或.
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的圓的弦的中點(diǎn)為,則,
即
故所求軌跡方程為.
規(guī)避3個(gè)易失分點(diǎn)
易失分點(diǎn)1 忽視斜率不存在的情況
典例
12、 已知求使的的值.
易失分提示:本題易出現(xiàn)的問(wèn)題是忽視直線斜率不存在的特殊情況.
解析:方法一 當(dāng)直線斜率不存在,即時(shí),有滿足
當(dāng)直線斜率存在時(shí),
故使使的的值的值為或.
方法二 由或,故使使的的值的值為或.
易失分點(diǎn)2 忽視零截距
典例 已知直線過(guò)點(diǎn),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則此直線的方程為_________________
易失分提示:本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是忽視直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零的情況,若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零,
則直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).
答案:或
解析:設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為.
當(dāng)時(shí),直線過(guò)原點(diǎn),因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn),所以此時(shí)直線的方程為.
當(dāng)時(shí),設(shè)直線的方程為,則,則此時(shí)直線的方程為.
綜上知,所求直線的方程為或.
易失分點(diǎn)3 忽視圓存在的條件
典例 已知圓的方程為,過(guò)定點(diǎn)可作該圓的兩條切線,求的取值范圍.
易失分提示:解答此題時(shí),易忽略作為圓的充要條件,從而致誤.
解析:圓的方程可變形為:,其中,即 ①
因?yàn)檫^(guò)定點(diǎn)可作該圓的兩條切線,所以點(diǎn)在圓外
,即. ②
由①②可得:,故的取值范圍