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1、2022年高三數(shù)學(xué) 專題5 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí)
一、前測(cè)訓(xùn)練
1.(1)若tanα=,α∈(π,π),則sinα= ,cosα= .
答案:-;-
(2)已知tana =2,則= ,sin2a-2sinacosa+2= .
答案:;2
(3)已知sinα+cosα=,α∈(0,π),則cosα-sinα= ,tanα= .
答案:;-
2. (1) 函數(shù)的定義域?yàn)? .
答案:[kπ+ ,kπ+]
(2) 函數(shù)的值域?yàn)? .
答案:[-
2、 ,1]
(3) 函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為 .
答案:[+,+]
(4)函數(shù) 的對(duì)稱軸為 ;中心對(duì)稱點(diǎn)為 .
答案:x=+;(-,0)
3.(1)函數(shù)y=2sin2x+sinxcosx +3 cos2x的值域?yàn)? .
答案:[,]
(2)函數(shù)y=4sin2x-12cosx-1 x ?[- , ]的值域?yàn)? .
答案:[-13,8]
(3)函數(shù)y=sinx+cosx+2sinxcosx+2(x∈[0,π])的值域?yàn)? .
答案:[,3+]
(4)函數(shù)y=的值域
3、為 .
答案:[0,+∞)
提示:方法一:看作斜率,數(shù)形結(jié)合處理;
方法二:導(dǎo)數(shù)法處理.
4.(1)已知函數(shù)y=Asin(2x+φ)的對(duì)稱軸為x=,則φ的值為 .
答案:kπ+
(2)已知函數(shù)y=cos(2x+φ)為奇函數(shù),求φ的值為 .
答案:kπ+
5.已知函數(shù)(其中)的圖象與x軸的交點(diǎn)中,相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為,且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為,則的解析式 .
答案:f(x)=2sin(2x+)
二、方法聯(lián)想
1.三角函數(shù)求值
(1) 知一求其余三角函數(shù)值;
(2)關(guān)于sinα與cosα的齊
4、次式,同除cosa或cos2a,如果不是齊次,借助1=sin2α+cos2α構(gòu)造齊次.
(3)sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα間關(guān)系式
sinα+cosα
sinα-cosα
sinαcosα
sinα和cosα
tanα
sin2α
注意 根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值正負(fù).無法確定正負(fù)時(shí)可根據(jù)三角函數(shù)值的正負(fù)(或與特殊角的三角函數(shù)值)縮小角的范圍.
2.y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)
對(duì)于y=Asin(ωx+φ),將ωx+φ看成整體,轉(zhuǎn)化為由y=sinx,解決其定義域、值域、對(duì)稱軸、中心對(duì)稱點(diǎn)問題.
形如y=asin2ωx+bsinωxco
5、sωx+ccos2ωx的形式
方法 先利用降冪公式化為一次形式,將用輔助角公式化為y=Asin(2ωx+φ)形式求值域.
形如①含有?sin2x,cosx(或sinx)和cos2x,sinx(或cosx)形式;②含有sinx±cosx,sinxcosx
方法 利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問題.
形如分子、分母含有sinx,cosx的一次形式
方法1 化為sin(ωx+φ)=M形式,再得用三角函數(shù)的有界性(|sinx|≤1,|cosx|≤1)求值域.
方法2 導(dǎo)數(shù)法
3.求f(x)=Asin(wx+j)+B(A>0)的解析式
方法 (1)由周期T=得w;
(2)由得
6、
(3)將點(diǎn)代入求j(盡量代入最高點(diǎn)或最低點(diǎn)).
4.三角函數(shù)對(duì)稱問題
方法 對(duì)于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)
①若x=x0為對(duì)稱軸?f(x0)=±A.
②若(x0,0)為中心對(duì)稱點(diǎn)?f(x0)=0.
推論:對(duì)于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)
①若函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)?f(0)=±A.
②若函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)?f(0)=0.
三、例題分析
[第一層次]
例1、已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).
(1)求φ的值;
(2)求ω的值
7、.
解:(1)φ=.
(2)ω=或2.
〖教學(xué)建議〗
(1)主要問題歸類與方法:
三角函數(shù)圖象軸對(duì)稱問題
函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),說明f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.
方法選擇與優(yōu)化建議:
從f(x)為偶函數(shù)很容易得到f(0)=sinφ =±1,從而有φ=kπ+,這個(gè)結(jié)論要讓學(xué)生理解并推理,不需要記憶.
(2)主要問題歸類與方法:
三角函數(shù)圖象中心對(duì)稱問題
函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.
方法選擇與優(yōu)化建議:
從f=0,可以得到cos=0,于是=kπ+,ω=k+(k∈Z).
8、再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出ω的值.
例2、設(shè)函數(shù).
(1)求的最小正周期.
(2)若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,求當(dāng)時(shí)的最大值.
解:(1)的最小正周期為8. (2)最大值為.
〖教學(xué)建議〗
(1)主要問題歸類與方法:
求三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)的問題
化為y=Asin(ωx+φ)形式,使得函數(shù)式中只含有一個(gè)一次的三角函數(shù).
方法選擇與優(yōu)化建議:
采用展開、降冪等方法“化一”.
(2)主要問題歸類與方法:
求三角函數(shù)的最值問題
常用的方法有①化為只含有一個(gè)一次的三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)形式;②通過換元等辦法將函數(shù)化為二次函數(shù)處理
9、.
方法選擇與優(yōu)化建議:
由第一問知道,本題可以化為只含有一個(gè)一次的三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)形式,所以選擇①方便.
例3、某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD 的頂點(diǎn)A,B 及CD的中點(diǎn)P 處,已知AB=20km,CB =10km ,為了處理三家工廠的污水,現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上(含邊界),且A,B 與等距離的一點(diǎn)O 處建造一個(gè)污水處理廠,并鋪設(shè)排污管道AO,BO,OP ,設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為km.
(1)設(shè)∠BAO=(rad),將表示成的函數(shù)關(guān)系式;
(2)請(qǐng)你選用(1)中的函數(shù)關(guān)系式,確定污水處理廠的位置,使三條排污管道總長(zhǎng)度最短.
解 (1)
(2)
10、點(diǎn)P 位于線段AB 的中垂線上,且距離AB 邊km處.
〖教學(xué)建議〗
(2)主要問題歸類與方法:
求三角函數(shù)的最值問題
化為只含有一個(gè)一次的三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)形式,或者通過換元等辦法將函數(shù)化為二次函數(shù)等方法都無法解決函數(shù)的最值問題.
方法選擇與優(yōu)化建議:
選擇利用導(dǎo)數(shù)法求最值.
[第二層次]
例1 已知函數(shù).
(1)若,求的最大值和最小值;
(2)若,求的值.
解 (1) .
(2)2-.
〖教學(xué)建議〗
(1)主要問題歸類與方法:
求三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)的問題
化為y=Asin(ωx+φ)形式,使得函數(shù)式中只含有一個(gè)一次的三角
11、函數(shù).
方法選擇與優(yōu)化建議:
采用輔助角的方法“化一”,在求最值得時(shí)候特別要注意角的范圍,要防止學(xué)生只是將兩個(gè)端點(diǎn)代入計(jì)算.
(2)主要問題歸類與方法:
三角函數(shù)求值
①知一求其余三角函數(shù)值;
②關(guān)于sinα與cosα的齊次式,同除cosa或cos2a,如果不是齊次,借助1=sin2α+cos2α構(gòu)造齊次.
方法選擇與優(yōu)化建議:
對(duì)于方法①,從已知的tanx值可以求得sinx、cosx的值,但是由于題目沒有給定角x的范圍,所以采用這個(gè)方法的話,就需要分類討論,解決起來比較麻煩,不宜采用.
由于可以化為sinα與cosα的齊次式,所以選擇②方便.
例2 已知
12、向量a=(3sinα,cosα),b=(2sinα, 5sinα-4cosα),α∈(),且a⊥b.
(1)求tanα的值;
(2)求cos()的值.
解 (1) tanα=-.
(2) .
〖教學(xué)建議〗
(1)主要問題歸類與方法:
三角函數(shù)求值
①知一求其余三角函數(shù)值;
②關(guān)于sinα與cosα的齊次式,同除cosa或cos2a,如果不是齊次,借助1=sin2α+cos2α構(gòu)造齊次.
方法選擇與優(yōu)化建議:
a⊥b化簡(jiǎn)后得到sinα與cosα的齊次式,同除以cos2a求得tanα值,所以選擇方法②方便.
(2)主要問題歸類與方法:
三角變換問題
13、
方法選擇與優(yōu)化建議:
注意條件已知角與未知角之間的聯(lián)系,從α化到
例3 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).
(1)求φ的值;
(2)求ω的值.
解 (1)φ=. (2)ω=或2.
〖教學(xué)建議〗
(1)主要問題歸類與方法:
三角函數(shù)圖象軸對(duì)稱問題
函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),說明f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.
方法選擇與優(yōu)化建議:
從f(x)為偶函數(shù)很容易得到f(0)=sinφ =±1,從而有φ=kπ+,這個(gè)結(jié)論要讓學(xué)生理解并推理,不
14、需要記憶.
(2)主要問題歸類與方法:
三角函數(shù)圖象中心對(duì)稱問題
函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.
方法選擇與優(yōu)化建議:
從f=0,可以得到cos=0,于是=kπ+,ω=k+(k∈Z).再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出ω的值.
[第三層次]
例1 已知函數(shù).
(1)若,求的最大值和最小值;
(2)若,求的值.
解 (1) .
(2)2-.
〖教學(xué)建議〗
(1)主要問題歸類與方法:
求三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)的問題
化為y=Asin(ωx+φ)形式,使得函數(shù)式中只含有一個(gè)一次的三角函數(shù).
方法選擇與優(yōu)化
15、建議:
采用輔助角的方法“化一”,在求最值得時(shí)候特別要注意角的范圍,要防止學(xué)生只是將兩個(gè)端點(diǎn)代入計(jì)算.
(2)主要問題歸類與方法:
三角函數(shù)求值
①知一求其余三角函數(shù)值;
②關(guān)于sinα與cosα的齊次式,同除cosa或cos2a,如果不是齊次,借助1=sin2α+cos2α構(gòu)造齊次.
方法選擇與優(yōu)化建議:
對(duì)于方法①,從已知的tanx值可以求得sinx、cosx的值,但是由于題目沒有給定角x的范圍,所以采用這個(gè)方法的話,就需要分類討論,解決起來比較麻煩,不宜采用.
由于可以化為sinα與cosα的齊次式,所以選擇②方便.
例2 設(shè)函數(shù).
(1)求的最小正周期.
16、
(2)若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,求當(dāng)時(shí)的最大值.
解 (1)的最小正周期為8.
(2)最大值為.
〖教學(xué)建議〗
(1)主要問題歸類與方法:
求三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)的問題
化為y=Asin(ωx+φ)形式,使得函數(shù)式中只含有一個(gè)一次的三角函數(shù).
方法選擇與優(yōu)化建議:
采用展開、降冪等方法“化一”.
(2)主要問題歸類與方法:
求三角函數(shù)的最值問題
常用的方法有①化為只含有一個(gè)一次的三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)形式;②通過換元等辦法將函數(shù)化為二次函數(shù)處理.
方法選擇與優(yōu)化建議:
由第一問知道,本題可以化為只含有一個(gè)一次的
17、三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)形式,所以選擇①方便.
例3 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).
(1)求φ的值;
(2)求ω的值.
解(1)φ=;
(2)ω=或2.
〖教學(xué)建議〗
(1)主要問題歸類與方法:
三角函數(shù)圖象軸對(duì)稱問題
函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),說明f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.
方法選擇與優(yōu)化建議:
從f(x)為偶函數(shù)很容易得到f(0)=sinφ =±1,從而有φ=kπ+,這個(gè)結(jié)論要讓學(xué)生理解并推理,不需要記憶.
(2)主要問題歸類與方法:
三角函數(shù)圖象中心對(duì)稱問題
函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.
方法選擇與優(yōu)化建議:
從f=0,可以得到cos=0,于是=kπ+,ω=k+(k∈Z).再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出ω的值.
四、反饋練習(xí)