2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.9曲線與方程試題 理 蘇教版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.9曲線與方程試題 理 蘇教版 一、填空題 1.△ABC的頂點(diǎn)A(-5,0)、B(5,0),△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上, 則頂點(diǎn)C的軌跡方程是________. 答案 -=1(x>3) 2. 點(diǎn)P到點(diǎn)(1,1)和到直線x+2y=3的距離相等,則點(diǎn)P的軌跡方程為________. 答案 2x-y-1=0 3.已知一條曲線在y軸的右方,它上面的每一點(diǎn)到點(diǎn)A(4,0) 的距離減去該點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離之差都是4,則這條曲線的方程是________. 解析 由題意,曲線上每一點(diǎn)P到點(diǎn)A(4,0)與到直線l:x=-4距離相等,所以曲線是 拋物線,方程

2、為y2=16x. 答案 y2=16x 4. 過點(diǎn)P(1,1)且互相垂直的兩條直線l1與l2分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn), 則AB中點(diǎn)M的軌跡方程為________. 答案 x+y-1=0 5. 有一動(dòng)圓P恒過定點(diǎn)F(a,0)(a>0)且與y軸相交于點(diǎn)A、B,若△ABP為 正三角形,則點(diǎn)P的軌跡為________. 答案 雙曲線 6.設(shè)圓(x+1)2+y2=25的圓心為C,A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn),Q為圓周上任一點(diǎn).線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M,則M的軌跡方程為________. 解析 M為AQ垂直平分線上一點(diǎn),則AM=MQ,∴MC+MA=MC+MQ=CQ=5,

3、 由橢圓的定義知,M的軌跡為橢圓. ∴a=,c=1,則b2=a2-c2=, ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. 答案?。? 7.若△ABC的頂點(diǎn)A(-5,0)、B(5,0),△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上,則頂點(diǎn)C的軌跡方程是________. 解析 如圖AD=AE=8,BF=BE=2,CD=CF,所以CA-CB=8-2=6. 根據(jù)雙曲線定義,所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn),實(shí)軸長為6的雙曲線的右支,方程為-=1(x>3). 答案?。?(x>3) 8.方程|y|-1=表示的曲線是________. 解析 原方程等價(jià)于 ? ?或 答案 兩個(gè)半圓 9.已知P是橢圓

4、+=1(a>b>0)上的任意一點(diǎn),F(xiàn)1、F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),=+,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是______________. 解析 由=+, 又+==2=-2, 設(shè)Q(x,y),則=-=-(x,y)=, 即P點(diǎn)坐標(biāo)為,又P在橢圓上, 則有+=1,即+=1(a>b>0). 答案?。?(a>b>0) 10.已知兩條直線l1:2x-3y+2=0和l2:3x-2y+3=0,有一動(dòng)圓(圓心和半徑都動(dòng))與l1、l2都相交,且l1、l2被圓截得的弦長分別是定值26和24,則圓心的軌跡方程是____________. 解析 設(shè)動(dòng)圓的圓心為M(x,y),半徑為r,點(diǎn)M到直線l1,l2的距

5、離分別為d1和d2. 由弦心距、半徑、半弦長間的關(guān)系得, 即 消去r得動(dòng)點(diǎn)M滿足的幾何關(guān)系為d-d=25, 即-=25. 化簡得(x+1)2-y2=65. 此即為所求的動(dòng)圓圓心M的軌跡方程. 答案 (x+1)2-y2=65 二、解答題 11. 如圖,設(shè)P是圓x2+y2=25上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是P在x軸上的投影,M為PD上一點(diǎn),且|MD|=|PD|. (1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程; (2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度. 解 (1)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP,yP). 由已知,得∵點(diǎn)P在圓上,∴x2+2=25, 即點(diǎn)M的

6、軌跡C的方程為+=1. (2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y=(x-3). 設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2). 將直線方程y=(x-3)代入C的方程,得 +=1,即x2-3x-8=0. ∴x1=,x2=. ∴線段AB的長度為AB=== =. 12.拋物線C:y=x2在點(diǎn)P處的切線l分別交x軸、y軸于不同的兩點(diǎn)A、B,=.當(dāng)點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí),點(diǎn)M的軌跡為D. (1)求曲線D的方程; (2)設(shè)直線l與曲線D的另一個(gè)交點(diǎn)為N,曲線D在點(diǎn)M、N處的切線分別為m、n直線m、n相交于點(diǎn)Q,證明:PQ平行于x軸. 解 (1)對(duì)y=x2,求導(dǎo),得y′=2x. 設(shè)

7、點(diǎn)P(x0,x)(x0≠0),則直線l方程為 y-x=2x0(x-x0), 在l方程中分別令y=0,x=0,得A、B(0,-x). 設(shè)M(x,y),= 即=(-x,-x-y), 由此得x0=3x,x=-3y, 消去x0,得曲線D的方程為y=-3x2(x≠0). (2)將y=-3x2代入直線l方程,并整理得 3x2+2x0x-x=0, 由(1)知,M,設(shè)N(x1,-3x),則x1=-, x1=-x0.對(duì)y=-3x2求導(dǎo),得y′=-6x, 于是直線m、n的方程分別為 y+=-2x0和y+3x=6x0(x+x0), 即y=-2x0x+和y=6x0x+3x, 由此得點(diǎn)Q縱坐

8、標(biāo)為x,故PQ平行于x軸. 13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1,1),P是動(dòng)點(diǎn),且△POA的三邊所在直線的斜率滿足kOP+kOA=kPA. (1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程; (2)若Q是軌跡C上異于點(diǎn)P的一點(diǎn),且=λ,直線OP與QA交于點(diǎn)M,問:是否存在點(diǎn)P使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA=2S△PAM?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由. 解 (1)設(shè)點(diǎn)P(x,y)為所求軌跡上的任意一點(diǎn), 則由kOP+kOA=kPA,得+=,整理,得 軌跡C的方程為y=x2(x≠0且x≠-1). (2)設(shè)P(x1,x),Q(x2,x), 由=λ,可知直線PQ∥OA,

9、則kPQ=kOA, 故=,即x2=-x1-1, 直線OP方程為:y=x1x. ① 直線QA的斜率為:=-x1-2. ∴直線QA方程為:y-1=(-x1-2)(x+1), 即y=-(x1+2)x-x1-1. ② 聯(lián)立①②,得x=-,∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值-. 由S△PQA=2S△PAM,得到QA=2AM, ∵PQ∥OA,∴OP=2OM, 由=2,得x1=1,∴P的坐標(biāo)為(1,1). ∴存在點(diǎn)P滿足S△PQA=2S△PAM,P的坐標(biāo)為(1,1). 14.有一種大型商品,A、B兩地都有出售,且價(jià)格相同,某地居民從兩地之一購得商品后,

10、 回運(yùn)的費(fèi)用是:每單位距離A地的運(yùn)費(fèi)是B地運(yùn)費(fèi)的3倍,已知A、B兩地間的距離 為10千米,顧客選A或選B購買這件商品的標(biāo)準(zhǔn)是:包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低, 求A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀,并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民 應(yīng)如何選擇購貨地點(diǎn). 解 如圖所示,以AB所確定的直線為x軸,AB中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo) 系,則A(-5,0),B(5,0).設(shè)某地P的坐標(biāo)為(x,y),且P地居民選擇A地購買商品便宜,并設(shè)A地的運(yùn)費(fèi)為3a元/千米,B地的運(yùn)費(fèi)為a元/千米. ∴價(jià)格+xA地運(yùn)費(fèi)≤價(jià)格+xB地運(yùn)費(fèi), 即3a≤a. ∵a>0,∴3≤. 兩邊平方,得9(x+5)2+9y2≤(x-5)2+y2, 即2+y2≤2. ∴以點(diǎn)C為圓心,為半徑的圓是這兩地購貨的分界線;圓C內(nèi)居民從A地購貨便宜;圓C外的居民從B地購貨便宜;圓C上的居民從A、B兩地購貨的總費(fèi)用相等,可隨意從A、B兩地之一購貨.

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