2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第41講 邏輯、推理與證明、復(fù)數(shù)、框圖教案 新人教版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第41講 邏輯、推理與證明、復(fù)數(shù)、框圖教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．常用邏輯用語(yǔ) （1）命題及其關(guān)系 ① 了解命題的逆命題、否命題與逆否命題；② 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系； （2）簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)例，了解"或"、"且"、"非"邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義。 （3）全稱(chēng)量詞與存在量詞 ① 通過(guò)生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例，理解全稱(chēng)量詞與存在量詞的意義； ② 能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定。 2．推理與證明 （1）合情推理與演繹推理 ①結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解合情推理的含義，

2、能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用； ②結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，體會(huì)演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理； ③通過(guò)具體實(shí)例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。 （2）直接證明與間接證明 ①結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)； ②結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法--反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)； （3）數(shù)學(xué)歸納法 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題； （4）數(shù)學(xué)文化 ①通過(guò)對(duì)實(shí)

3、例的介紹（如歐幾里德《幾何原本》、馬克思《資本論》、杰弗遜《獨(dú)立宣言》、牛頓三定律），體會(huì)公理化思想； ②介紹計(jì)算機(jī)在自動(dòng)推理領(lǐng)域和數(shù)學(xué)證明中的作用； 3．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 （1）在問(wèn)題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程，體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中的作用，感受人類(lèi)理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系； （2）理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件； （3）了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義； （4）能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義。 4．框圖 （1）流程圖 ①通過(guò)具體實(shí)例，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)程序框圖； ②通過(guò)

4、具體實(shí)例，了解工序流程圖（即統(tǒng)籌圖）； ③能繪制簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的流程圖，體會(huì)流程圖在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用； （2）結(jié)構(gòu)圖 ①通過(guò)實(shí)例，了解結(jié)構(gòu)圖；運(yùn)用結(jié)構(gòu)圖梳理已學(xué)過(guò)的知識(shí)、整理收集到的資料信息； ②結(jié)合作出的結(jié)構(gòu)圖與他人進(jìn)行交流，體會(huì)結(jié)構(gòu)圖在揭示事物聯(lián)系中的作用。 二．命題走向 常用邏輯用語(yǔ) 本部分內(nèi)容主要是常用的邏輯用語(yǔ)，包括命題與量詞，基本邏輯聯(lián)結(jié)詞以及充分條件、必要條件與命題的四種形式。 預(yù)測(cè)07年高考對(duì)本部分內(nèi)容的考查形式如下：考查的形式以選擇、填空題為主，考察的重點(diǎn)是條件和復(fù)合命題真值的判斷。 推理證明 本部分內(nèi)容主要包括：合情推理和演繹推理、直接證明與間接證明、

5、數(shù)學(xué)歸納法（理科）等內(nèi)容，其中推理中的合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學(xué)的方方面面的知識(shí)，代表研究性命題的發(fā)展趨勢(shì)，選擇題、填空題、解答題都可能涉及到，該部分命題的方向主要會(huì)在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，在新的高考中都會(huì)涉及和滲透，但單獨(dú)出題的可能性較??； 預(yù)計(jì)xx年高考將會(huì)有較多題目用到推理證明的方法。 復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)部分考查的重點(diǎn)是復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、運(yùn)算及運(yùn)算的幾何意義，一般是選擇題、填空題，難度不大，預(yù)計(jì)今后的高考還會(huì)保持這個(gè)趨勢(shì)。 預(yù)測(cè)xx年高考對(duì)本講的試題難度不會(huì)太大，重視對(duì)基本問(wèn)題諸如：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算的考查，題目多以選擇、填空為主。 框圖 本部分是

6、新課標(biāo)新增內(nèi)容，歷年高考中涉及內(nèi)容很少，估計(jì)xx年高考中可能在選擇題、填空題中以考察流程圖和結(jié)構(gòu)圖的定義和特征的形式出現(xiàn)；也可能以畫(huà)某種知識(shí)的結(jié)構(gòu)圖或解決某類(lèi)問(wèn)題的流程圖為形式的解答題出現(xiàn)，但不論哪種形式，所占份量都不會(huì)很大。 三．要點(diǎn)精講 1．常用邏輯用語(yǔ) （1）命題 命題：可以判斷真假的語(yǔ)句叫命題； 邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；簡(jiǎn)單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題。復(fù)合命題：由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題。 常用小寫(xiě)的拉丁字母p，q，r，s，……表示命題，故復(fù)合命題有三種形式：p或q；p且q；非p。 （2）復(fù)合命題的真值 “非p”形式復(fù)合命題的真假可以

7、用下表表示： p 非p 真 假 假 真 “p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示： p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 “p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示： p q P或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 注：1°像上面表示命題真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式復(fù)合命題的真假與p的真假相反；“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為真時(shí)為真，其他情況為假；“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況為真；3°真值表是根據(jù)簡(jiǎn)單命題的真假，判

8、斷由這些簡(jiǎn)單命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假，而不涉及簡(jiǎn)單命題的具體內(nèi)容。 （3）四種命題 如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆命題； 如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是原命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互否命題，這個(gè)命題叫做原命題的否命題； 如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆否命題，這個(gè)命題叫做原命題的逆否命題。 兩個(gè)互為逆否命題的真假是相同的，即兩個(gè)互為逆否命題是等價(jià)命題.若判斷一個(gè)命題的真假較困難時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。 （4）條件 一般地，如果已知pTq

9、，那么就說(shuō)：p是q的充分條件；q是p的必要條件。 可分為四類(lèi)：（1）充分不必要條件，即pTq,而qp；(2)必要不充分條件，即pq,而qTp；(3)既充分又必要條件，即pTq，又有qTp；(4)既不充分也不必要條件，即pq，又有qp。 一般地，如果既有pTq，又有qTp，就記作：pq.“”叫做等價(jià)符號(hào)。pq表示pTq且qTp。 這時(shí)p既是q的充分條件，又是q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件。 （5）全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題 這里，短語(yǔ)“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱(chēng)量詞，并用符號(hào)表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱(chēng)命題。 短語(yǔ)“有一個(gè)”或“有些”或“至

10、少有一個(gè)”在陳述中表示所述事物的個(gè)體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。 2．推理與證明 （1）合情推理 根據(jù)一類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類(lèi)事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理（簡(jiǎn)稱(chēng)歸納）。歸納是從特殊到一般的過(guò)程，它屬于合情推理； 根據(jù)兩類(lèi)不同事物之間具有某些類(lèi)似（或一致）性，推測(cè)其中一類(lèi)事物具有與另一類(lèi)事物類(lèi)似（或相同）的性質(zhì)的推理，叫做類(lèi)比推理（簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比）。 類(lèi)比推理的一般步驟： （1）找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性；（2）用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）；（3）一般地，事

11、物之間的各個(gè)性質(zhì)之間并不是孤立存在的，而是相互制約的。如果兩個(gè)事物在某些性質(zhì)上相同或類(lèi)似，那么它們?cè)诹硪恍┬再|(zhì)上也可能相同或類(lèi)似，類(lèi)比的結(jié)論可能是真的；（4）在一般情況下，如果類(lèi)比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類(lèi)比得出的命題就越可靠。 （2）演繹推理 分析上述推理過(guò)程，可以看出，推理的滅每一個(gè)步驟都是根據(jù)一般性命題（如“全等三角形”）推出特殊性命題的過(guò)程，這類(lèi)根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）導(dǎo)出特殊性命題為真的推理，叫做演繹推理。演繹推理的特征是：當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論必然為真。 （3）證明 反證法：要證明某一結(jié)論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）

12、是錯(cuò)誤的，從而斷定A是正確的即反證法就是通過(guò)否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來(lái)達(dá)到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方法。 反證法的步驟：1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過(guò)推理論證，得出矛盾；3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。 注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：①與題設(shè)矛盾；②與反設(shè)矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過(guò)程中，推出自相矛盾的結(jié)論。 分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做

13、分析法。 用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是： 分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因； 分析法的書(shū)寫(xiě)格式： 要證明命題B為真，只需要證明命題為真， 從而有……，這只需要證明命題為真，從而又有…… 這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故命題B必為真。 綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法， 用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： 綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。 3．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 形如a+bi(a,b的數(shù)，我們把

14、它們叫做復(fù)數(shù)，全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做復(fù)數(shù)集，一般用字母C表示，其中a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部。 復(fù)數(shù)的加法法則：（a+bi）+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；復(fù)數(shù)的加法法則：（a+bi）－(c+di)=(a－c)+(b－d)i；復(fù)數(shù)的乘法法則：（a+bi）（c+di）=(ac－bd)+(ad+bc)i；復(fù)數(shù)的除法法則：(a+bi)(c+di)=== =+； 4．框圖 （1）結(jié)構(gòu)圖 首先，你要對(duì)所畫(huà)結(jié)構(gòu)圖的每一部分有一個(gè)深刻的理解和透徹的掌握，從頭止尾抓住主要脈絡(luò)進(jìn)行分解，然后將每一步分解進(jìn)行歸納與提煉，形成一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)并將其逐一地寫(xiě)在

15、矩形框內(nèi)。最后，按其內(nèi)在的邏輯順序?qū)⑺鼈兣帕衅饋?lái)并用線段相連，這樣就畫(huà)成了知識(shí)結(jié)構(gòu)圖。 認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)圖：由構(gòu)成系統(tǒng)的若干要素和表達(dá)各要素之間關(guān)系的連線構(gòu)成。 繪制結(jié)構(gòu)圖的步驟：1）先確定組成系統(tǒng)的基本要素，以及這些要素之間的關(guān)系；2）處理好“上位”與“下位”的關(guān)系；“下位”要素比“上位”要素更為具體， “上位”要素比“下位”要素更為抽象。3）再逐步細(xì)化各層要素；4）畫(huà)出結(jié)構(gòu)圖，表示整個(gè)系統(tǒng)。 （2）流程圖 繪制流程圖的一般過(guò)程：首先，用自然語(yǔ)言描述流程步驟；其次，分析每一步驟是否可以直接表達(dá)，或需要借助于邏輯結(jié)構(gòu)來(lái)表達(dá)；再次，分析各步驟之間的關(guān)系；最后，畫(huà)出流程圖表示整個(gè)流程。 鑒于用自

16、然語(yǔ)言描述算法所出現(xiàn)的種種弊端，人們開(kāi)始用流程圖來(lái)表示算法，這種描述方法既避免了自然語(yǔ)言描述算法的拖沓冗長(zhǎng)，又消除了起義性，且能清晰準(zhǔn)確地表述該算法的每一步驟，因而深受歡迎。 設(shè)計(jì)算法解決問(wèn)題的主要步驟： 第一步、用自然語(yǔ)言描述算法； 算法可以用自然語(yǔ)言來(lái)描述，但為了使算法的程序或步驟表達(dá)得更為直觀，我們更經(jīng)常地用圖形方式來(lái)表示它。 第二步、畫(huà)出程序框圖表達(dá)算法； 第三步、寫(xiě)出計(jì)算機(jī)相應(yīng)的程序并上機(jī)實(shí)現(xiàn)。 四．典例解析 題型1：判斷命題的真值 例1．寫(xiě)出由下述各命題構(gòu)成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題，并指出所構(gòu)成的這些復(fù)合命題的真假。 （1）p：9是144

17、的約數(shù)，q：9是225的約數(shù)。 （2）p：方程x2－1=0的解是x=1，q：方程x2－1=0的解是x=－1； （3）p：實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)，q：實(shí)數(shù)的平方是0. 解析：由簡(jiǎn)單命題構(gòu)成復(fù)合命題，一定要檢驗(yàn)是否符合“真值表”如果不符要作語(yǔ)言上的調(diào)整。 （1）p或q：9是144或225的約數(shù)； p且q：9是144與225的公約數(shù)，（或?qū)懗桑?是144的約數(shù)，且9是225的約數(shù)）； 非p：9不是144的約數(shù). ∵p真，q真，∴“p或q”為真，“p且q” 為真，而“非p”為假. （2）p或q：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能寫(xiě)成“方程x2－1

18、=0的解是x=±1”，這與真值表不符）； p且q：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1； 非p：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命題p中的“是”應(yīng)理解為“都是”的意思）； ∵p假，q假，∴“p或q”與，“p且q” 均為假，而“非p”為真. （3）p或q：實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)或?qū)崝?shù)的平方都是0； p且q：實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)且實(shí)數(shù)的平方都是0； 非p：實(shí)數(shù)的平方不都是正數(shù)，（或：存在實(shí)數(shù)，其平方不是正數(shù)）； ∵p假，q假，∴“p或q”與“p且q” 均為假，而“非p”為真. 點(diǎn)評(píng)：在命題p或命題q的語(yǔ)句中，由于中文表達(dá)的習(xí)慣常常會(huì)有些省略，這種

19、情況下應(yīng)作詞語(yǔ)上的調(diào)整。 題型2：條件 例2．（1）（xx北京2）“”是“直線相互垂直”的（ ） A．充分必要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件 答案：B； 解析：當(dāng)時(shí)兩直線斜率乘積為從而可得兩直線垂直,當(dāng)時(shí)兩直線一條斜率為0一條斜率不存在,但兩直線仍然垂直.因此是題目中給出的兩條直線垂直的充分但不必要條件。 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于兩條直線垂直的充要條件①都存在時(shí)②中有一個(gè)不存在另一個(gè)為零對(duì)于②這種情況多數(shù)考生容易忽略。 （2）（xx湖南6）設(shè)集合A＝｛x|＜0，B＝｛x || x －1|＜a，若“a＝1”是“A∩B≠”的（ ?。? 　

20、 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件　 D．既不充分又不必要條件 答案：A； 解析：由題意得A：－1

21、根，則”的真假性。 解析：（1）答案：若； 由題意原命題的否命題為“若”。 （2）很可能許多同學(xué)會(huì)認(rèn)為它是假命題（原因m=0時(shí)顯然方程有根），而它的逆否命題：“若有實(shí)根”，顯然為真，其實(shí)不然，由沒(méi)實(shí)根可推得，而的真子集，由，故原命題為真，其實(shí)，用逆否命題很容易判斷它是真命題； 點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題間的關(guān)系，由原命題寫(xiě)出其否命題。 題型4：全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題 例4．命題p：“有些三角形是等腰三角形”，則┐p是（ ） A．有些三角形不是等腰三角形 B．所有三角形是等腰三角形 C．所有三角形不是等腰三角形 D．所有三角形是等腰三角形 解析：

22、像這種存在性命題的否定命題也有其規(guī)律：命題p：“存在使P（x）成立”，┐p為：“對(duì)任意”，它恰與全稱(chēng)性命題的否定命題相反，故的答案為C。 點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)易邏輯題，比較抽象，不少學(xué)生在有些問(wèn)題的看法上常出現(xiàn)一些自己也說(shuō)不清道不明的疑惑，但要依據(jù)具體的規(guī)則進(jìn)行詳細(xì)的處理。 題型5：合情推理 例5．（1）觀察圓周上n個(gè)點(diǎn)之間所連的弦，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)點(diǎn)可以連一條弦，3個(gè)點(diǎn)可以連3條弦，4個(gè)點(diǎn)可以連6條弦，5個(gè)點(diǎn)可以連10條弦，你由此可以歸納出什么規(guī)律？ （2）把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類(lèi)比推廣到空間，并判斷類(lèi)比的結(jié)論是否成立： 1）如果一條直線與兩條平行直線中的一條相交，則必于另一條相交。 2）如果兩條

23、直線同時(shí)垂直與第三條直線，則這兩條直線平行。 解析：（1）設(shè)為個(gè)點(diǎn)可連的弦的條數(shù)，則 （2） 1）一個(gè)平面如和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必然和另一個(gè)也相交，次結(jié)論成立； 2）若兩個(gè)平面同時(shí)垂直第三個(gè)騙馬，則這兩個(gè)平面也相互平行，此結(jié)論不成立。 點(diǎn)評(píng)：當(dāng)前提為真，結(jié)論可能為真的推理。一定要理解合情推理的必要性。 題型6：演繹推理 例6．（06年天津）如圖，在五面體中，點(diǎn)是矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，面是等邊三角形，棱。 （1）證明//平面； （2）設(shè)，證明平面。 解析：（Ⅰ）證明：取CD中點(diǎn)M，連結(jié)OM. 在矩形ABCD中，，又， 則，連結(jié)EM，于是四邊形EFOM為平行四邊

24、形. 又平面CDE，切EM平面CDE，∵FO∥平面CDE （Ⅱ）證明：連結(jié)FM，由（Ⅰ）和已知條件，在等邊△CDE中， 且。 因此平行四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO.而，所以EO⊥平面CDF。 點(diǎn)評(píng)：本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力。 題型7：特殊證法 例7．（1）用反證法證明：如果a>b>0，那么； （2）（06全國(guó)II）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…。 （Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通項(xiàng)公式。

25、 解析：（1）假設(shè)不大于，則或者<,或者=。 ∵a>0，b>0，∴<<，< ，ab>0矛盾，∴. 證法二（直接證法）， ∵a>b>0,∴a - b>0即， ∴，∴。 （2）(Ⅰ)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝。 當(dāng)n＝2時(shí)，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－， 于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝。 (Ⅱ)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0。 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn

26、－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　?、? 由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝。 由①可得S3＝，由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，… 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論 (i)n＝1時(shí)已知結(jié)論成立； (ii)假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝， 故n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立． 綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝對(duì)所有正整數(shù)n都成立， 于是當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝， 又n＝1時(shí)，a1＝＝，所以｛an｝的通項(xiàng)公式an＝，n＝1，2，3，… 點(diǎn)評(píng)：要應(yīng)用好反證法、數(shù)學(xué)歸納法證明一些涉及代數(shù)、不等式、幾

27、何的結(jié)論。 題型8：復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì) 例8．（1）（福建卷）設(shè)a、b、c、d∈R，則復(fù)數(shù)(a+bi)(c+di)為實(shí)數(shù)的充要條件是 A.ad－bc=0 B.ac－bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0 （2）（北京卷）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 解析：（1）復(fù)數(shù)=為實(shí)數(shù)，∴，選D； （2）解：故選D； 點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)的概念和性質(zhì)是高考對(duì)復(fù)數(shù)部分的一個(gè)考點(diǎn)，屬于比較基本的題目，主要考察復(fù)數(shù)的的分類(lèi)和幾何性質(zhì)。 題型9：復(fù)數(shù)的運(yùn)算 例9．

28、（1）（06浙江卷）已知（ ） (A)1+2i (B) 1－2i (C)2+i (D)2－i （2）（湖北卷）設(shè)為實(shí)數(shù)，且，則 。 解析：（1），由、是實(shí)數(shù)，得， ∴，故選擇C。 （2）， 而 所以，解得x＝－1，y＝5， 所以x＋y＝4。 點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)，基礎(chǔ)題。 題型10：框圖 例10．（1）方案1：派出調(diào)研人員赴北京、上海、廣州調(diào)研，待調(diào)研人員回來(lái)后決定生產(chǎn)數(shù)量； 方案2：商家如戰(zhàn)場(chǎng)！抓緊時(shí)間搞好調(diào)研，然后進(jìn)行生產(chǎn)，調(diào)研為此項(xiàng)目的的瓶頸，因此需要添

29、加力量，齊頭并進(jìn)搞調(diào)研，以便提前結(jié)束調(diào)研，盡早投產(chǎn)使產(chǎn)品占領(lǐng)市場(chǎng)。 （2）公司人事結(jié)構(gòu)圖 解析：（1）方案1：派出調(diào)研人員赴北京、上海、廣州調(diào)研，待調(diào)研人員回來(lái)后決定生產(chǎn)數(shù)量。 ?? 方案2： 商家如戰(zhàn)場(chǎng)！抓緊時(shí)間搞好調(diào)研，然后進(jìn)行生產(chǎn)，調(diào)研為此項(xiàng)目的的瓶頸，因此需要添加力量，齊頭并進(jìn)搞調(diào)研，以便提前結(jié)束調(diào)研，盡早投產(chǎn)使產(chǎn)品占領(lǐng)市場(chǎng)。 于是： （2） 點(diǎn)評(píng)：建立合理的結(jié)構(gòu)圖和流程圖解決實(shí)際問(wèn)題，要形成良好的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣遵循從上到下、從左到右的規(guī)則。 五．思維總結(jié) 1．簡(jiǎn)易邏輯的重點(diǎn)內(nèi)容是有關(guān)“充要條件”、命題真?zhèn)蔚脑囶}。主要是對(duì)數(shù)學(xué)概念有準(zhǔn)確的記憶和深層次的理解，試題以選擇題、填空題為主，難度不大，要求對(duì)基本知識(shí)、基本題型，求解準(zhǔn)確熟練； 2．推理證明題主要和其它知識(shí)結(jié)合到一塊，屬于知識(shí)綜合題，解決此類(lèi)題目時(shí)要建立合理的解題思路； 3．高考對(duì)于復(fù)數(shù)的考察主要以復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算為主，按新課標(biāo)的要求高考將不再考察共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模等知識(shí)點(diǎn)； 4．框圖屬于新增內(nèi)容，將以考察考生的實(shí)際應(yīng)用能力為主，考查考生的知識(shí)遷移能力。