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1、2022年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊二 幾類(lèi)典型的隨機(jī)分布4完整講義(學(xué)生版)
知識(shí)內(nèi)容
1. 離散型隨機(jī)變量及其分布列
⑴離散型隨機(jī)變量
如果在試驗(yàn)中,試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示,并且是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的,我們把這樣的變量叫做一個(gè)隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用大寫(xiě)字母表示.
如果隨機(jī)變量的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái),則稱為離散型隨機(jī)變量.
⑵離散型隨機(jī)變量的分布列
將離散型隨機(jī)變量所有可能的取值與該取值對(duì)應(yīng)的概率列表表示:
…
…
…
…
我們稱這個(gè)表為離散型隨機(jī)變量的概率分布,或稱為離散型
2、隨機(jī)變量的分布列.
2.幾類(lèi)典型的隨機(jī)分布
⑴兩點(diǎn)分布
如果隨機(jī)變量的分布列為
其中,,則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布.
二點(diǎn)分布舉例:某次抽查活動(dòng)中,一件產(chǎn)品合格記為,不合格記為,已知產(chǎn)品的合格率為,隨機(jī)變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果,則的分布列滿足二點(diǎn)分布.
兩點(diǎn)分布又稱分布,由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn),所以這種分布又稱為伯努利分布.
⑵超幾何分布
一般地,設(shè)有總數(shù)為件的兩類(lèi)物品,其中一類(lèi)有件,從所有物品中任取件,這件中所含這類(lèi)物品件數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,它取值為時(shí)的概率為
,為和中較小的一
3、個(gè).
我們稱離散型隨機(jī)變量的這種形式的概率分布為超幾何分布,也稱服從參數(shù)為,,的超幾何分布.在超幾何分布中,只要知道,和,就可以根據(jù)公式求出取不同值時(shí)的概率,從而列出的分布列.
⑶二項(xiàng)分布
1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
如果每次試驗(yàn),只考慮有兩個(gè)可能的結(jié)果及,并且事件發(fā)生的概率相同.在相同的條件下,重復(fù)地做次試驗(yàn),各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立,那么一般就稱它們?yōu)榇为?dú)立重復(fù)試驗(yàn).次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件恰好發(fā)生次的概率為.
2.二項(xiàng)分布
若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為,事件不發(fā)生的概率為,那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件恰好發(fā)生次的概率是,其中.于是得到的分布列
…
…
…
4、
…
由于表中的第二行恰好是二項(xiàng)展開(kāi)式
各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值,所以稱這樣的散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布,
記作.
二項(xiàng)分布的均值與方差:
若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布,則
,.
⑷正態(tài)分布
1. 概率密度曲線:樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,在樣本容量越來(lái)越大時(shí),
直方圖上面的折線所接近的曲線.在隨機(jī)變量中,如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量,則這條曲線稱為的概率密度曲線.
曲線位于橫軸的上方,它與橫軸一起所圍成的面積是,而隨機(jī)變量落在指定的兩個(gè)數(shù)之間的概率就是對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積.
2.正態(tài)分布
⑴定義:如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨(dú)立的偶然因素所引起的,而且每一
5、個(gè)偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用,則表示這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似服從正態(tài)分布.
服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量,簡(jiǎn)稱正態(tài)變量.
正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為,,其中,是參數(shù),且,.
式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差.期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布通常記作.
正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線.
⑵標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:我們把數(shù)學(xué)期望為,標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.
⑶重要結(jié)論:
①正態(tài)變量在區(qū)間,,內(nèi),取值的概率分別是,,.
②正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為,在區(qū)間之外的取值的概率是,故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)準(zhǔn)差之
6、內(nèi),這就是正態(tài)分布的原則.
⑷若,為其概率密度函數(shù),則稱為概率分布函數(shù),特別的,,稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).
.
標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得.
分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求,適當(dāng)了解以加深對(duì)密度曲線的理解即可.
3.離散型隨機(jī)變量的期望與方差
1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
定義:一般地,設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能的取的值是,,…,,這些值對(duì)應(yīng)的概率是,,…,,則,叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望).
離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫(huà)了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平.
2.離散型隨機(jī)變量的方差
一般地,設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是,,…,,這
7、些值對(duì)應(yīng)的概率是,,…,,則叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的方差.
離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大小(離散程度).
的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差,它也是一個(gè)衡量離散型隨機(jī)變量波動(dòng)大小的量.
3.為隨機(jī)變量,為常數(shù),則;
4. 典型分布的期望與方差:
⑴二點(diǎn)分布:在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中,離散型隨機(jī)變量的期望取值為,在次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中,離散型隨機(jī)變量的期望取值為.
⑵二項(xiàng)分布:若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布,則,.
⑶超幾何分布:若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布,
則,.
4.事件的獨(dú)立性
如果事件是否發(fā)生對(duì)事件發(fā)生的概率
8、沒(méi)有影響,即,
這時(shí),我們稱兩個(gè)事件,相互獨(dú)立,并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.
如果事件,,…,相互獨(dú)立,那么這個(gè)事件都發(fā)生的概率,等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即,并且上式中任意多個(gè)事件換成其對(duì)立事件后等式仍成立.
5.條件概率
對(duì)于任何兩個(gè)事件和,在已知事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的概率叫做條件概率,用符號(hào)“”來(lái)表示.把由事件與的交(或積),記做(或).
典例分析
正態(tài)曲線(正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度曲線)
【例1】 下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是( )
A. B.
C. D.
【例2】 若正態(tài)分布密度函數(shù),下列判斷正確
9、的是( )
A.有最大值,也有最小值 B.有最大值,但沒(méi)最小值
C.有最大值,但沒(méi)最大值 D.無(wú)最大值和最小值
【例3】 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù),下列說(shuō)法不正確的是( )
A.為偶函數(shù)
B.最大值為
C.在時(shí)是單調(diào)減函數(shù),在時(shí)是單調(diào)增函數(shù)
D.關(guān)于對(duì)稱
【例4】 設(shè)的概率密度函數(shù)為,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. B.
C.的漸近線是 D.
【例5】 設(shè),且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為:,.
⑴求;⑵求及的值.
【例6】 某市組織一次高三調(diào)研考試,考試后統(tǒng)計(jì)
10、的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布,其密度函數(shù)為,則下列命題中不正確的是( )
A.該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)榉?
B.分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在分以下的人數(shù)相同
C.分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在分以下的人數(shù)相同
D.該市這次考試的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)差為
正態(tài)分布的性質(zhì)及概率計(jì)算
【例7】 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是.
⑴
⑵
⑶
⑷
【例8】 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則( )
A. B. C. D.
【例9】 在某項(xiàng)測(cè)量中,測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布,若在內(nèi)取值的概率為
11、,則在內(nèi)取值的概率為 .
【例10】 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,,則( )
A. B. C. D.
【例11】 已知,若,則( )
A. B. C. D.無(wú)法計(jì)算
【例12】 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則.
【例13】 設(shè),且,則的值是(用表示).
【例14】 正態(tài)變量,為常數(shù),,若,求的值.
【例15】 某種零件的尺寸服從正態(tài)分布,則不屬于區(qū)間這
12、個(gè)尺寸范圍的零件約占總數(shù)的 .
【例16】 某校高中二年級(jí)期末考試的物理成績(jī)服從正態(tài)分布.
⑴若參加考試的學(xué)生有人,學(xué)生甲得分為分,求學(xué)生甲的物理成績(jī)排名;
⑵若及格(分及其以上)的學(xué)生有人,求第名的物理成績(jī).
已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表.
【例17】 在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布.已知成績(jī)?cè)诜忠陨希ê郑┑膶W(xué)生有名.
⑴試問(wèn)此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人?
⑵若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前名的學(xué)生,試問(wèn)設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線
13、約為多少分?
附:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表.
正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望及方差
【例18】 如果隨機(jī)變量,求的值.
正態(tài)分布的原則
【例19】 燈泡廠生產(chǎn)的白熾燈壽命(單位:),已知,要使燈泡的平均壽命為的概率為,則燈泡的最低使用壽命應(yīng)控制在小時(shí)以上.
【例20】 一批電池(一節(jié))用于手電筒的壽命服從均值為小時(shí)、標(biāo)準(zhǔn)差為小時(shí)的正態(tài)分布,隨機(jī)從這批電池中任意取一節(jié),問(wèn)這節(jié)電池可持續(xù)使用不少于小時(shí)的概率是多少?
【例21】 某班有名同學(xué),一次考試后的數(shù)學(xué)成
14、績(jī)服從正態(tài)分布,平均分為,標(biāo)準(zhǔn)差為,理論上說(shuō)在分到分的人數(shù)是.
雜題(拓展相關(guān):概率密度,分布函數(shù)及其他)
【例22】 已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù),
⑴求常數(shù)的值;⑵求.
【例23】 已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù),求的值及.
【例24】 設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度,求的值及.
【例25】 美軍轟炸機(jī)向巴格達(dá)某鐵路控制樞紐投彈,炸彈落彈點(diǎn)與鐵路控制樞紐的距離的密度函數(shù)為,若炸彈落在目標(biāo)40米以內(nèi)時(shí),將導(dǎo)致該鐵路樞紐破壞,已知投彈顆,求巴格達(dá)鐵路控制樞紐被破壞的概率.
【例26】 以表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率,若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則概率等于( )
A. B.
C. D.
【例27】 某城市從南郊某地乘公共汽車(chē)前往北區(qū)火車(chē)站有兩條路線可走,第一條路線穿過(guò)市區(qū),路程較短,但交通擁擠,所需時(shí)間(單位為分)服從正態(tài)分布;第二條路線沿環(huán)城公路走,路程較長(zhǎng),但交通阻塞少,所需時(shí)間服從正態(tài)分布
⑴若只有分鐘可用,問(wèn)應(yīng)走哪條路線?
⑵若只有65分鐘可用,又應(yīng)走哪條路線?