2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題 文(含解析)
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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題 文(含解析) 【試卷綜評】本試卷試題主要注重基本知識、基本能力、基本方法等當(dāng)面的考察,覆蓋面廣,注重數(shù)學(xué)思想方法的簡單應(yīng)用,試題有新意,符合課改和教改方向,能有效地測評學(xué)生,有利于學(xué)生自我評價,有利于指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí),既重視雙基能力培養(yǎng),側(cè)重學(xué)生自主探究能力,分析問題和解決問題的能力,突出應(yīng)用,同時對觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查。 一、選擇題。每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一個符合題意。(本題共12小題,共60分。) 【題文】1、設(shè)集合( ) A. B. C. D.R 【知識點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.A1 【答案解析】C
2、 解析:因?yàn)樗曰喛傻眉?,,故,故選C. 【思路點(diǎn)撥】把原集合化簡后求出交集即可. 【題文】2、復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值為( ) A. B.4 C.1 D.一1 【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.L4 【答案解析】B 解析:. ∵復(fù)數(shù)是純虛數(shù),∴,解得:a=4. 故選B. 【思路點(diǎn)撥】化簡復(fù)數(shù)為a+bi(a,b∈R),然后由復(fù)數(shù)的實(shí)部等于零且虛部不等于0求出實(shí)數(shù)的值. 【題文】3設(shè)向量,若,則( ) A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】兩個向量共線的充要條件.F2 【答案解析】D
3、 解析:因?yàn)?,所以,解得,故選D. 【思路點(diǎn)撥】直接利用兩個向量共線的充要條件即可. 【題文】4、四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量之間的相關(guān)關(guān)系,并求得回歸直線方程,分別得到以下四個結(jié)論: ① y與x負(fù)相關(guān)且; ② y與x負(fù)相關(guān)且; ③ y與x正相關(guān)且; ④y與x正相關(guān)且. 其中一定不正確的結(jié)論的序號是 ( ) A.①② B.②③ C.③④ D. ①④ 【知識點(diǎn)】正負(fù)相關(guān)的概念.I4 【答案解析】D 解析:根據(jù)正負(fù)相關(guān)的概念可知②③是正確的,①④是不正確的,故選D. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正負(fù)相關(guān)的概念可知結(jié)果.
4、 【題文】5、若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,則的值為( ) A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】橢圓與拋物線的性質(zhì).H5 H7 【答案解析】B 解析:因?yàn)闄E圓中滿足,則,故橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,,故選B. 【思路點(diǎn)撥】先求出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo),再求p的之即可. 【題文】6、設(shè),則在下列區(qū)間中,使函數(shù)有零點(diǎn)的區(qū)間是( ) ?。? B C. D. 【知識點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn).B9 【答案解析】D 解析:因?yàn)?,,則,所以使函數(shù)有零點(diǎn)的區(qū)間是,故選D. 【思路
5、點(diǎn)撥】判斷區(qū)間端點(diǎn)值的符號,乘積為異號即滿足條件. 【題文】7、閱讀如下程序框圖,如果輸出,那么空白的判斷框中應(yīng)填人的條件是 ( ) A. S<8? B. S<12? C. S<14? D. S<16? 【知識點(diǎn)】程序框圖.L4 【答案解析】B 解析:框圖首先給變量S和i賦值S=0,i=1,執(zhí)行i=1+1=2,判斷2是奇數(shù)不成立,執(zhí)行S=0+2=2,不滿足輸出條件,故判斷框內(nèi)條件成立, 執(zhí)行i=2+1=3,判斷3是奇數(shù)成立,執(zhí)行S=2+2×3=8,不滿足輸出條件,故判斷框內(nèi)條件成立,執(zhí)行i=3+1=4,判斷4是奇數(shù)不成立
6、,執(zhí)行S=8+4=12,滿足輸出條件,故此時在判斷時判斷框中的條件應(yīng)該不成立,而此時的S的值是12,結(jié)合上一次S的值為8,故判斷框中的條件應(yīng)S<12.故選:B. 【思路點(diǎn)撥】由框圖給出的賦值,先執(zhí)行一次運(yùn)算i=i+1,然后判斷得到的i的奇偶性,是奇數(shù)執(zhí)行S=2*i+2,是偶數(shù)執(zhí)行S=2*i+1,然后判斷S的值是否滿足判斷框中的條件,滿足繼續(xù)從i=i+1執(zhí)行,不滿足跳出循環(huán),輸出i的值. 【題文】8、 已知函數(shù),,則下列結(jié)論中正確的是( ) A.函數(shù)的最小正周期為 B.函數(shù)的最大值為1 C.將函數(shù)的圖象向右平移單位后得的圖象 D.將函數(shù)的圖象向左平移單位后得的圖象 【知識點(diǎn)
7、】三角函數(shù)的周期、最值;圖像的平移.C3 【答案解析】C 解析:因?yàn)椋云渥钚≌芷跒?,最大值為,故A,B錯誤;又因?yàn)椋? ,所以將函數(shù)的圖象向右平移單位后得的圖象,排除D,故選C. 【思路點(diǎn)撥】先化簡,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)排除A、B,然后結(jié)合平移排除D即可. 【題文】9、某校運(yùn)動會開幕式上舉行升旗儀式,在坡度為15°的看臺上,同一列上的第一排和最后 一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°, 第一排和最后一排的距離為10 m(如圖), 則旗桿的高度為( ) A.10 m B.30 m C.10 m D.10 m 【知識點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用.
8、C8 【答案解析】B 解析:如圖所示, 依題意可知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°∴∠EAC=180°-45°-105°=30°, 由正弦定理可知,∴米, ∴在Rt△ABC中,米,所以旗桿的高度為30米.故選B. 【思路點(diǎn)撥】先畫出示意圖,根據(jù)題意可求得∠PCB和∠PEC,轉(zhuǎn)化為∠CPB,然后利用正弦定理求得BP,最后在Rt△BOP中求出OP即可. 【題文】10、直線與圓相切,則圓的半徑最大時,的值是( ) A. B. C. D.可為任意非零實(shí)數(shù) 【知識點(diǎn)】直線與圓相切的條件;基本不等式.H4 E6 【答
9、案解析】C 解析:因?yàn)橹本€與圓相切,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即,故選C. 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)直線與圓相切得到,再利用基本不等式求出當(dāng)半徑最大時的值即可. 【題文】11、已知是球的球面上三點(diǎn),三棱錐O-ABC的高為,且,,則球的表面積為( ) A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】球的體積和表面積;球內(nèi)接多面體.G8 【答案解析】C 解析:由題意是球的球面上三點(diǎn),三棱錐O-ABC的高為,且,,即, 可知底面三角形是直角三角形,斜邊中點(diǎn)與球心的連線,就是棱錐的高, 所以球的半徑為:,所以球的表面積為:. 故選B. 【思路點(diǎn)撥】由題意判斷球心
10、與三棱錐的底面的位置關(guān)系,求出球的半徑,即可求出球的表面積. 【題文】12、定義在上的函數(shù)滿足:,當(dāng)時,,則( ) A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性;函數(shù)的周期性.B4 【答案解析】A 解析:因?yàn)?,所以函?shù)為奇函數(shù),又因?yàn)?,所以,所以函?shù)的周期為2,當(dāng)時,,令,則,,即的解析式為: ,因?yàn)?,? ,故選A. 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)已知條件判斷出函數(shù)為奇函數(shù)和周期為2的奇函數(shù),再求出的解析式后代入數(shù)值即可. 二、填空題。(每小題5分,共20分) 【題文】13、已知命題,使成立,則 【知識點(diǎn)】特稱命題;命題的否定.A2
11、 【答案解析】,成立 解析:命題,使成立, 其¬p是,成立, 答案為:,成立 【思路點(diǎn)撥】本題中的命題是一個特稱命題,其否定是全稱命題,依據(jù)特稱命題的否定書寫形式寫出命題的否定即可 【題文】14、已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 。 【知識點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.G2 【答案解析】 解析:由三視圖知幾何體為三棱錐,且三棱錐的高為3, 底面三角形的一條邊長為3,該邊上的高為1, ∴幾何體的體積.故答案為:. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖知幾何體為三棱錐,且三棱錐的高為3,底面三角形的一條邊長為3,該邊上的高為1,把數(shù)據(jù)代入棱錐的體積公式計算可得答案.
12、 【題文】15、已知等差數(shù)列中,,那么 。 【知識點(diǎn)】兩角和與差的余弦函數(shù);等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.C5 D2 【答案解析】 解析:∵數(shù)列為等差數(shù)列,, ∴;又,∴.故答案為. 【思路點(diǎn)撥】利用等差中項(xiàng)易求,再求,從而可得答案. 【題文】16、已知函數(shù),當(dāng)時,恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為 。 【知識點(diǎn)】絕對值不等式;不等式恒成立問題.E2 【答案解析】 解析:因?yàn)?,所以? 當(dāng)時,恒成立,即在時恒成立,故; 當(dāng)時,恒成立,即在時恒成立,即,矛盾舍去. 綜上所述:,故答案為:. 【思路點(diǎn)撥】結(jié)合已知條件先去絕對值然后轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題即可. 三、
13、解答題(解答應(yīng)寫出必要的演算過程或文字說明。本大題共6小題,共70分。) 【題文】17、(本小題滿分10分) 在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為參數(shù)).以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非 負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (Ⅰ)求圓C的極坐標(biāo)方程; (Ⅱ)直線的極坐標(biāo)方程是,射線與圓C的交 點(diǎn)為O、P,與直線的交點(diǎn)為Q,求線段PQ的長. 【知識點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程;直線與圓的位置關(guān)系.H4 N3 【答案解析】(Ⅰ)(Ⅱ) 2 解析:(Ⅰ)圓C的普通方程為,化為極坐標(biāo)方程為 (Ⅱ)法一:由;由 從而 法二:直線,射線 由;:由 從而由兩點(diǎn)間距離公式得
14、 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)由圓C的參數(shù)方程消去參數(shù)可得:.代入化簡即可得到此圓的極坐標(biāo)方程.(Ⅱ)由直線l的極坐標(biāo)方程是,射線OM:.分別與圓的方程聯(lián)立解得交點(diǎn),再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出. 【題文】18、(本小題滿分12分) 年齡在60歲(含60歲)以上的人稱為老齡人,某小區(qū)的老齡人有350人, 他們的健康狀況如下表: 健康指數(shù) 2 1 0 -1 60歲至79歲的人數(shù) 120 133 34 13 80歲及以上的人數(shù) 9 18 14 9 其中健康指數(shù)的含義是:2代表“健康”,1代表“基本健康”,0代表“不健康,但生活能夠自理”,-1代表“生活不能自理”。
15、 (Ⅰ)隨機(jī)訪問該小區(qū)一位80歲以下的老齡人,該老人生活能夠自理的概率是多少? (Ⅱ)按健康指數(shù)大于0和不大于0進(jìn)行分層抽樣,從該小區(qū)的老齡人中抽取5位,并隨機(jī)地訪問其中的3位.求被訪問的3位老齡人中恰有1位老齡人的健康指數(shù)不大于0的概率.。 【知識點(diǎn)】古典概型及其概率計算公式.K2 【答案解析】(Ⅰ)(Ⅱ) 解析:(Ⅰ)該小區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的頻率為, 所以該小區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的概率約為. (Ⅱ)該小區(qū)健康指數(shù)大于0的老齡人共有280人, 健康指數(shù)不大于0的老齡人共有70人, 由分層抽樣可知, 被抽取的5位老齡人中有4位健康指數(shù)大于0,有1位健
16、康指數(shù)不大于0. 設(shè)被抽取的4位健康指數(shù)大于0的老齡人為1,2,3,4, 健康指數(shù)不大于0的老齡人為B. 從這五人中抽取3人,結(jié)果有10種: (1,2,3),(1,2,4),(1,2,B),(1,3,4),(1,3,B),(1,4,B),(2,3,4),(2,3,B),(2,4,B),(3,4,B,), 其中恰有一位老齡人健康指數(shù)不大于0的有6種: (1,2,B),(1,3,B),(1,4,B),(2,3,B),(2,4,B),(3,4,B,), ∴被訪問的3位老齡人中恰有1位老齡人的健康指數(shù)不大于0的概率為. 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)根據(jù)80歲以下老齡人的人數(shù),即可估計該地區(qū)80歲
17、以下老齡人生活能夠自理的概率.(Ⅱ)由分層抽樣方法可得被抽取的5位老齡人中有4位健康指數(shù)大于0,有1位健康指數(shù)不大于0,設(shè)被抽取的4位健康指數(shù)大于0的老齡人為1,2,3,4,健康指數(shù)不大于0的老齡人為B;列舉從這五人中抽取3人的結(jié)果,由古典概型公式計算可得答案. 【題文】19、(本小題滿分12分) 已知數(shù)列與,若且對任意正整數(shù)滿足 數(shù)列的前項(xiàng)和。 (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)求數(shù)列的前項(xiàng)和 【知識點(diǎn)】數(shù)列的求和.D4 【答案解析】(Ⅰ)(Ⅱ) 解析:(Ⅰ)由題意知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列 又因?yàn)?所以 當(dāng)時,; 當(dāng)時, 對不成立。 所以,數(shù)列的通項(xiàng)
18、公式: (Ⅱ)時, 時, 所以 仍然適合上式 綜上, 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)依題意知,是以3為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列,從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;當(dāng)時,,對不成立,于是可求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)由(Ⅰ)知當(dāng)時,,當(dāng)時,利用裂項(xiàng)法可求得從而可求 【題文】20、(本小題滿分12分) 如圖,正三棱柱(底面為正三角形,側(cè)棱垂直于底面)中,是的中點(diǎn), 。 (Ⅰ) 求證:∥平面; (Ⅱ)求點(diǎn)到平面的距離。 【知識點(diǎn)】平面與平面垂直的判定;直線與平面平行的判定.G4 G5 【答案解析】(Ⅰ)見解析(Ⅱ) 解析:證明:連接A1B,設(shè)A1B∩AB1 = E,連接DE.
19、 ∵AA1=AB ∴四邊形A1ABB1是正方形, ∴E是A1B的中點(diǎn), 又D是BC的中點(diǎn), ∴DE∥A1C. ∵DE平面AB1D,A1C平面AB1D, ∴A1C∥平面AB1D. (Ⅱ)由體積法 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)取C1B1的中點(diǎn)E,連接A1E,ED,易證平面A1EC∥平面AB1D,利用面面平行的性質(zhì)即可證得A1C∥平面AB1D.(Ⅱ)由體積轉(zhuǎn)化可得結(jié)果. 【題文】21、(本小題滿分12分) 已知橢圓的方程為,雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是的左、右頂點(diǎn),而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)。 (Ⅰ)求雙曲線的方程; (Ⅱ)若直線與雙曲線恒有兩個不同的交
20、點(diǎn)A和B,且(其中O為原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)的范圍。 【知識點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題;雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.H6 H8 【答案解析】(Ⅰ)(Ⅱ) 解析:(1)設(shè)雙曲線的方程為 則,再由得 故的方程為 (2)將代入,得 由直線與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn)得: 且① 設(shè),則 又,得 即,解得:② 由①、②得:,故的取值范圍為 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)根據(jù)橢圓方程求得雙曲線的左右頂點(diǎn)和焦點(diǎn),進(jìn)而求得雙曲線方程中的a和b,則雙曲線方程可得.(Ⅱ)將直線代入雙曲線方程消去
21、y,進(jìn)而根據(jù)判別式求得k的范圍,設(shè)出A,B的坐標(biāo),根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2和x1x2的表達(dá)式,進(jìn)而根據(jù)求得關(guān)于k的不等式,求得k的范圍,最后綜合求得答案. 【題文】22、 (本小題滿分12分) 已知函數(shù)。 (Ⅰ)求函數(shù)的極值; (Ⅱ)當(dāng)時,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。 【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.B12 【答案解析】(Ⅰ)和; (Ⅱ) 解析:(Ⅰ) 的定義域?yàn)椋? 列表可求得 和; (Ⅱ)當(dāng)時,由化簡得 令,則化為 ①當(dāng),即時,等價于, , 當(dāng)且僅當(dāng),即,亦即取等號, 此時; ②當(dāng),即時,不等式恒成立,此時; ③當(dāng),即時,等價于, 當(dāng)且僅當(dāng),即,亦即取等號, 此時; 綜上所述 (其他方法也可以,比如轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值) 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)求導(dǎo)后再列表即可;(Ⅱ)當(dāng)時,由化簡得,然后利用分類討論的思想方法結(jié)合基本不等式即可.
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