2022年高三數(shù)學聯(lián)考試題 文（含解析）湘教版

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1、2022年高三數(shù)學聯(lián)考試題 文（含解析）湘教版 【試卷綜述】全卷重點考查中學數(shù)學主干知識和方法；側(cè)重于中學數(shù)學學科的基礎知識和基本技能的考查；側(cè)重于知識交匯點的考查.全面考查了考試說明中要求的內(nèi)容，如復數(shù)、旋轉(zhuǎn)體、簡易邏輯試卷都有所考查.在全面考查的前提下，高中數(shù)學的主干知識如函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、導數(shù)、圓錐曲線、概率統(tǒng)計等仍然是支撐整份試卷的主體內(nèi)容，尤其是解答題，涉及內(nèi)容均是高中數(shù)學的重點知識.明確了中學數(shù)學的教學方向和考生的學習方向. 本卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試用時120分鐘 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在

2、每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 【題文】1、設全集， 則圖中陰影部分表示的集合為 A． B． C． D． 【知識點】集合 A1 【答案】【解析】D 解析：因為圖中陰影部分表示的集合為，由題意可知 ，所以 ，故選 【思路點撥】根據(jù)題意可以先確定集合A與B中的元素，再由韋恩圖求出結果. 【題文】2、已知，命題，則 A．是真命題， B．是真命題，： C．是假命題， D．是假命題，： 【知識點】命題 A2 【答案】【解析】B 解析：依題意得，當時，，函數(shù)是減函數(shù)，此時，即有恒成立，因此命題是真命題，應是“”.綜上所述，應選

3、 【思路點撥】根據(jù)函數(shù)的導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，再找出正確的結論. 【題文】3、定義在R上的函數(shù)滿足，且時， ，則 A．1 B． C． D． 【知識點】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性 B3,B4 【答案】【解析】C 解析：由，因為，所以，，所以 .故選 【思路點撥】把所求的值利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性導入已知的區(qū)間，再求出結果. 【題文】4、某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價x（單位：元）與每天的 銷售量y（單位：個）的統(tǒng)計資料如下表所示：由上表可得 回歸直線方程中的，據(jù)此模型預測零售價 為15元時，每天的銷售量為 A．51個 B．50個

4、 C．49個 D．48個 【知識點】變量的相關性與統(tǒng)計案例 I4 【答案】【解析】C 解析：由題意知，代入回歸直線方程得，故選 【思路點撥】由題意求出x的平均值再根據(jù)公式求出y的平均值，代入回歸方程可直接求出結果. 【題文】5、設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝(　　) A．31 B．32 C．63 D．64 【知識點】等比數(shù)列 D3 【答案】【解析】C 解析：設等比數(shù)列{an}的首項為a，公比為q，易知q≠1，根據(jù)題意可得解得q2＝4，＝－1，所以S6＝＝(－1)(1－43)＝63. 【思路點撥】由已知條件可求出公比

5、，再利用求和公式直接求出數(shù)值. 【題文】6、已知函數(shù)，則它們的圖象可能是 【知識點】導數(shù) B11 【答案】【解析】B 解析：因為，則函數(shù)即圖象的對稱軸為，故可排除；由選項的圖象可知，當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，但圖象中函數(shù)在上不具有單調(diào)性，故排除本題應選 【思路點撥】根據(jù)函數(shù)的導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)圖像找出正確結果. 【題文】7、已知函數(shù)的最小正周期為，則該函數(shù)的圖象是 A．關于直線對稱 B．關于點對稱 C．關于直線對稱 D．關于點對稱 【知識點】三角函數(shù)的圖像 C3 【答案】【解析】A 解析：依題意得，故，所以 ， ，因此該函數(shù)的圖象關

6、于直線對稱，不關于點和點對稱，也不關于直線對稱.故選 【思路點撥】根據(jù)題意可求出再根據(jù)解析式判定函數(shù)的對稱關系. 【題文】8、一只受傷的丹頂鶴在如圖所示（直角梯形）的草原上飛過， 其中，它可能隨機在草原上任何一 處（點），若落在扇形沼澤區(qū)域ADE以外丹頂鶴能生還， 則該丹頂鶴生還的概率是（ ） A． B． C． D． 【知識點】概率 K3 【答案】【解析】B 解析：過點作于點，在中，易知， 梯形的面積,扇形的面積，則丹頂鶴生還的概率，故選 【思路點撥】幾何概型，可分別求出各部分的面積再求出概率. 【題文】9、已知函數(shù)對于任意的滿足（其中是函數(shù)

7、的導函數(shù)），則下列不等式不成立的是（ ） A． B． C． D． 【知識點】導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 B11,B12 【答案】【解析】A 解析：構造函數(shù)g（x）=， 則g′（x）==（f′（x）cosx+f（x）sinx）， ∵對任意的x∈（﹣，）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0， ∴g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在x∈（﹣，）單調(diào)遞增， 則g（﹣）＜g（﹣），即， ∴，即f（﹣）＜f（﹣），故A正確． g（0）＜g（），即， ∴f（0）＜2f（）， 故選：A． 【思路點撥】根據(jù)條件構造函數(shù)g（x）=，求函數(shù)

8、的導數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關系即可得到結論 【題文】10、已知函數(shù)均為常數(shù)，當時取極大值，當時取極小值，則的取值范圍是 A． B． C． D． 【知識點】線性規(guī)劃 E5 【答案】【解析】D 解析：因為，依題意，得 則點所滿足的可行域如圖所示（陰影部分，且不包括 邊界），其中，，. 表示點到點的距離的平方，因為點到直線的距離，觀察圖形可知，，又，所以，故選 【思路點撥】根據(jù)題意求出可行域，再由所求值的幾何意義求出取值范圍. 【題文】二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中的橫線上 【題文】11、

9、若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 【知識點】絕對值不等式 E2 【答案】【解析】 解析：由于，則有，即 ，解得，故實數(shù)的取值范圍是 【思路點撥】由絕對值不等式的意義可求出最小值，再求出m的取值. 【題文】12、定義行列式的運算:，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為 【知識點】新定義題型；函數(shù)性質(zhì). C4 【答案】【解析】 解析：，平移后得到函數(shù) ，則由題意得，因為，所以的最小值為. 【思路點撥】根據(jù)定義求出解析式，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求出t的最小值. 【題文】13、設曲線在點處切線與直線垂直，

10、則 【知識點】導數(shù)的幾何意義 B12 【答案】【解析】1 解析：由題意，在點處的切線的斜率 又該切線與直線垂直，直線的斜率， 由，解得 【思路點撥】利用導數(shù)求出切線方程，再由位置關系求出結果. 【題文】14、已知命題函數(shù)的定義域為R；命題，不等式恒成立，如果命題““為真命題，且“”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是 【知識點】命題及其關系 A2 【答案】【解析】 解析：若命題為真，則或.若命題為真，因為，所以.因為對于，不等式恒成立，只需滿足，解得或.命題“”為真命題，且“”為假命題，則一真一假. ①當真假時，可得；

11、 ②當時，可得. 綜合①②可得的取值范圍是. 【思路點撥】根據(jù)題意對命題進行討論，再求出a的取值范圍. 【題文】15、已知函數(shù)有零點，則的取值范圍是 【知識點】函數(shù)與方程 B9 【答案】【解析】 解析：由，解得 當時，，函數(shù)單調(diào)遞減； 當時，，函數(shù)單調(diào)遞增. 故該函數(shù)的最小值為 因為該函數(shù)有零點，所以，即，解得 故的取值范圍是. 【思路點撥】根據(jù)函數(shù)的導數(shù)找出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)最小值求出a的取值范圍. 【題文】三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫成文字說明、證明過程或演算步驟 【題文】16、（本小題滿分12分）已知冪函數(shù)為

12、偶函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù) （1）求函數(shù)的解析式； （2）設函數(shù)，其中.若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍. 【知識點】函數(shù)的概念與導數(shù) B1,B11 【答案】【解析】（1） （2） 解析：（1）在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)， 即又…………………4分 而時，不是偶函數(shù)，時，是偶函數(shù)， . …………………………………………6分 （2）顯然不是方程的根. 為使僅在處有極值，必須恒成立，…………………8分 即有，解不等式，得.…………………11分 這時，是唯一極值. . ……………12分 【思路點撥】由冪函數(shù)的概念可求出函數(shù)，再利用導數(shù)求出a的取值范圍

13、. 【題文】17. （本小題滿分12分） 已知函數(shù),的最大值為2． （Ⅰ）求函數(shù)在上的值域； (Ⅱ)已知外接圓半徑，，角所對的邊分別是，求的值． 【知識點】三角函數(shù)；不等式；正弦定理.C4,C8,E1 【答案】【解析】(1) (2) 解析：（1）由題意，的最大值為，所以．………………………2分 而，于是，．…………………………………4分 在上遞增．在 遞減， 所以函數(shù)在上的值域為；…………………………………5分 （2）化簡得 ．……7分 由正弦定理，得，……………………………………………9分 因為△ABC的外接圓半徑為．．…………………………11分

14、 所以 …………………………………………………………………12分 【思路點撥】根據(jù)題意求出解析式，再求出定義域下的值域，化簡已知條件求出邊的關系，再求出 【題文】18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和， (Ⅰ)求的通項公式； (Ⅱ) 令，求數(shù)列的前項和． 【知識點】數(shù)列及數(shù)列求和 D1,D4 【答案】【解析】(I)(II) 解析：(Ⅰ) 由???????????① 可得：． 同時???????????② ②-①可得： ．——4分 從而為等比數(shù)列，首項，公比為． ． ————————6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知， ————8分 故 ．— 【思路點撥】由數(shù)列的前

15、n項和公式與通項公式的關系可求出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)數(shù)列的特點求出前n項和 【題文】19. （本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，,, 平面,為的中點，. (I ) 求證：∥平面; ( II ) 求四面體的體積. 【知識點】直線與平面平行；幾何體的體積. G4,G8 【答案】【解析】(I)略(II) 解析：1)法一： 取AD得中點M，連接EM,CM.則EM//PA 因為 所以， （2分） 在中， 所以， 而,所以,MC//AB. （3分） 因為 所以， （4分） 又因為 所以， 因為 （6

16、分） 法二： 延長DC,AB,交于N點，連接PN. 因為 所以，C為ND的中點. （3分） 因為E為PD的中點，所以，EC//PN 因為 （6分） 2)法一：由已知條件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= （7分） 因為，，所以， （8分） 又因為，所以， （10分） 因為E是PD的中點，所以點E平面PAC的距離， 所以，四面體PACE的體積 （12分） 【思路點撥】由題意可直接證明直線與平面平行，再根據(jù)幾何體的體積公式求出四面體的體積. 【題文

17、】20. （本小題滿分13分） 已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，左右焦點分別為和，且||=2， 點（1，）在該橢圓上． （1）求橢圓C的方程； （2）過的直線與橢圓C相交于A，B兩點，若AB的面積為，求以 為圓心且與直線相切圓的方程． 【知識點】橢圓的概念；直線與橢圓 H5,H8 【答案】【解析】(1) (2) 解析：（1）橢圓C的方程為 ……………．．（4分） （2）①當直線⊥x軸時，可得A（-1，-），B（-1，），AB的面積為3，不符合題意．

18、 …………（6分） ②當直線與x軸不垂直時，設直線的方程為y=k（x+1）．代入橢圓方程得： ，顯然＞0成立，設A，B，則 ，，可得|AB|= ……………．．（9分） 又圓的半徑r=，∴AB的面積=|AB| r==，化簡得：17+-18=0，得k=±1，∴r =，圓的方程為……………．．（13分） 【思路點撥】由題中所給的條件可直接列出橢圓方程，再由直線與橢圓的位置關系可求出k與r的值，最后列出所求圓的方程即可. 【題文】21.（本小題滿分14分）.已知函數(shù)，（a為實數(shù)）． (Ⅰ) 當a=5時，求函數(shù)在處的切線方程； (Ⅱ) 求在區(qū)間[t，t+2

19、]（t >0）上的最小值； (Ⅲ) 若存在兩不等實根，使方程成立，求實數(shù)a的取值范圍． 【知識點】導數(shù)；導數(shù)與函數(shù)的最值；導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性.B3,B11 【答案】【解析】(I) (II) 當時 (III) 解析：(Ⅰ)當時,. ………1分 ，故切線的斜率為. ………2分 所以切線方程為:,即. ………4分 (Ⅱ),

20、 ………6分 ①當時,在區(qū)間上為增函數(shù), 所以 ………7分 ②當時,在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù), 所以 ………8分 (Ⅲ) 由，可得：， ………9分 , 令, . ………10分 ,, . . 實數(shù)的取值范圍為 . ………14分 【思路點撥】根據(jù)導數(shù)求出切線斜率，再列出切線方程，再根據(jù)函數(shù)的導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，討論t的取值范圍求出函數(shù)的最小值，第三問利用導數(shù)與已知條件可解出a的取值范圍.