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1、2022年高考數(shù)學大二輪總復習 增分策略 專題一 集合與常用邏輯用語、不等式 第2講 不等式與線性規(guī)劃試題
1．(xx·大綱全國)不等式組的解集為( )
A．{x|－21}
2．(xx·廣東)若變量x，y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最小值為( )
A．4 B. C．6 D.
3．(xx·浙江)有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同．已知三個房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且x＜y＜z，三種顏色涂料的粉刷費用(單位：元/m2)分別為a
2、，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的總費用(單位：元)是( )
A．a(chǎn)x＋by＋cz B．a(chǎn)z＋by＋cx
C．a(chǎn)y＋bz＋cx D．a(chǎn)y＋bx＋cz
4．(xx·重慶)設a，b＞0，a＋b＝5，則＋的最大值為________．
1.利用不等式性質比較大小，利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題是高考的熱點；
2.一元二次不等式常與函數(shù)、數(shù)列結合考查一元二次不等式的解法和參數(shù)取值范圍；
3.利用不等式解決實際問題.
熱點一 不等式的解法
1．一元二次不等式的解法
先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠
3、0)的根，最后根據(jù)相應二次函數(shù)圖象與x軸的位置關系，確定一元二次不等式的解集．
2．簡單分式不等式的解法
(1)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．指數(shù)不等式、對數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調性求解．
例1 (1)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為，則f(10x)>0的解集為( )
A．{x|x<－1或x>－lg 2}
B．{x|－1－lg 2}
D．{x|x<－lg 2}
(2)已知函數(shù)f(x)＝(x－2)(ax＋b)為偶函數(shù)，且在(0，＋∞
4、)單調遞增，則f(2－x)>0的解集為( )
A．{x|x>2或x<－2} B．{x|－24} D．{x|00)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝________.
(2
5、)已知f(x)是R上的減函數(shù)，A(3，－1)，B(0,1)是其圖象上兩點，則不等式|f(1＋ln x)|<1的解集是________________．
熱點二 基本不等式的應用
利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法則是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2(簡記為：積定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，當x＝y(tǒng)時，xy有最大值s2(簡記為：和定，積有最大值)．
例2 (1)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均為正數(shù)，則＋的最小值是( )
A. B.
C．8 D．24
(2)已
6、知關于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為( )
A．1 B.
C．2 D.
思維升華 在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤．
跟蹤演練2 (1)(xx·天津)已知a＞0，b＞0，ab＝8，則當a的值為________時，log2a·log2(2b)取得最大值．
(2)若直線2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦長為4，則＋的最小值是___
7、_____．
熱點三 簡單的線性規(guī)劃問題
解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結合找到目標函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準確，整點問題要驗證解決．
例3 (1)(xx·北京)若x，y滿足則z＝x＋2y的最大值為( )
A．0 B．1 C. D．2
(2)(xx·安徽)x，y滿足約束條件若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為( )
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
思維升華 (1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標函數(shù)中的字母系數(shù)的取值
8、范圍．(2)一般情況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得．
跟蹤演練3 已知x，y滿足且目標函數(shù)z＝2x＋y的最小值為9，則實數(shù)a的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．7
1．若點A(a，b)在第一象限，且在直線x＋2y＝1上，則ab的最大值為( )
A．1 B. C. D.
2．已知A(1，－1)，B(x，y)，且實數(shù)x，y滿足不等式組則z＝·的最小值為( )
A．2 B．－2 C．－4 D．－6
3．已知函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)≤4的解集為____________．
4．已知不等式≥|a2－a|對于x∈[2,6]恒
9、成立，則a的取值范圍是________．
提醒：完成作業(yè) 專題一 第2講
二輪專題強化練
專題一
第2講 不等式與線性規(guī)劃
A組 專題通關
1．下列選項中正確的是( )
A．若a>b，則ac2>bc2
B．若ab>0，a>b，則<
C．若a>b，cb，c>d，則a－c>b－d
2．不等式x2＋x<＋對任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是( )
A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－2,1) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
3．(xx·山東)已知x，y滿足約束條件若z＝ax
10、＋y的最大值為4，則a等于( )
A．3 B．2 C．－2 D．－3
4．(xx·重慶)若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
5．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導函數(shù)為f′(x)，f′(0)>0，且f(x)的值域為[0，＋∞)，則的最小值為( )
A．3 B. C．2 D.
6．已知函數(shù)f(x)＝那么不等式f(x)≥1的解集為________________．
7．(xx·綿陽市一診)某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該產(chǎn)品生產(chǎn)總成本C與產(chǎn)量q(q∈N*)的函數(shù)關系式為C＝
11、100－4q，銷售單價p與產(chǎn)量q的函數(shù)關系式為p＝25－q.要使每件產(chǎn)品的平均利潤最大，則產(chǎn)量q＝________.
8．(xx·資陽市測試)若兩個正實數(shù)x，y滿足＋＝1，且x＋2y>m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．
9．設00}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B，求集合D.(用區(qū)間表示)
10．運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米(按交通法規(guī)限制50≤x≤100)(單位：千米/小時)．假設汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油(2＋)升，司機的工資是每小時14元．
(1)求這次行車總
12、費用y關于x的表達式；
(2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值．
B組 能力提高
11．(xx·陜西)設f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，則下列關系式中正確的是( )
A．q＝r＜p B．q＝r＞p
C．p＝r＜q D．p＝r＞q
12．(xx·課標全國Ⅰ)若x，y滿足約束條件則的最大值為________．
13．已知x>0，y>0，x＋y＋3＝xy，且不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是____________________________________
13、__．
14．提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．
(1)當0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達式；
(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時)．
14、學生用書答案精析
第2講 不等式與線性規(guī)劃
高考真題體驗
1．C [由得
所以0
15、
解析 ∵a，b＞0，a＋b＝5，∴(＋)2＝a＋b＋4＋2≤a＋b＋4＋()2＋()2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，當且僅當a＝，b＝時，等號成立，則＋≤3，即＋最大值為3.
熱點分類突破
例1 (1)D (2)C
解析 (1)由已知條件0<10x<，
解得x0.
f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>
16、4.
故選C.
跟蹤演練1 (1) (2)(，e2)
解析 (1)由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)·(x－4a)<0，因為a>0，所以不等式的解集為(－2a,4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝.
(2)∵|f(1＋ln x)|<1，
∴－1
17、0，y>0，
∴＋＝(＋)·(2x＋3y)
＝(6＋6＋＋)≥(12＋2×6)＝8.
當且僅當3y＝2x時取等號．
(2)2x＋＝2(x－a)＋＋2a
≥2·＋2a＝4＋2a，
由題意可知4＋2a≥7，得a≥，
即實數(shù)a的最小值為，故選B.
跟蹤演練2 (1)4 (2)4
解析 (1)log2a·log2(2b)＝log2a·(1＋log2b)≤2＝2＝2＝4，當且僅當log2a＝1＋log2b，即a＝2b時，等號成立，此時a＝4，b＝2.
(2)易知圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半徑為2，圓心為(－1,2)，因為直線2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圓x2＋y2
18、＋2x－4y＋1＝0截得的弦長為4，所以直線2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)過圓心，把圓心坐標代入得：a＋b＝1，所以＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥4，當且僅當＝，a＋b＝1，
即a＝b＝時等號成立．
例3 (1)D (2)D
解析 (1)可行域如圖所示．目標函數(shù)化為y＝－x＋z，
當直線y＝－x＋z過點A(0,1)時，z取得最大值2.
(2)如圖，由y＝ax＋z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，
故當a>0時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝2；
當a<0時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝－1.
跟蹤演練3 C [依題意，不等式組
19、所表示的可行域如圖所示(陰影部分)，觀察圖象可知，當目標函數(shù)z＝2x＋y過點B(a，a)時，zmin＝2a＋a＝3a；因為目標函數(shù)z＝2x＋y的最小值為9，所以3a＝9，解得a＝3，故選C.]
高考押題精練
1．D [因為點A(a，b)在第一象限，且在直線x＋2y＝1上，
所以a>0，b>0，且a＋2b＝1，
所以ab＝·a·2b≤·()2＝，
當且僅當a＝2b＝，即a＝，b＝時，“＝”成立．
故選D.]
2．C [畫出不等式組所表示的可行域為如圖所示的△ECD的內部(包括邊界)，其中
E(2,6)，C(2,0)，D(0,2)．目標函數(shù)z＝·＝x－y.
令直線l：y＝
20、x－z，要使直線l過可行域上的點且在y軸上的截距－z取得最大值，只需直線l過點E(2,6)．
此時z取得最小值，且最小值zmin＝2－6＝－4.故選C.]
3．{x|－14≤x<2或x≥}
解析 由題意得或
解得x≥或－14≤x<2，
故不等式f(x)≤4的解集為{x|－14≤x<2或x≥}．
4．[－1,2]
解析 設y＝，y′＝－，
故y＝在x∈[2,6]上單調遞減，
即ymin＝＝，
故不等式≥|a2－a|對于x∈[2,6]恒成立等價于|a2－a|≤恒成立，化簡得
解得－1≤a≤2，
故a的取值范圍是[－1,2]．
二輪專題強化練答案精析
第2講 不等式與線性
21、規(guī)劃
1．B [若a>b，取c＝0，則ac2>bc2不成立，排除A；取a＝2，b＝－1，c＝1，d＝2，則選項C不成立，排除C；取a＝2，b＝1，c＝1，d＝－1，則選項D不成立，排除D.選B.]
2．C [根據(jù)題意，由于不等式x2＋x<＋對任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則x2＋x<(＋)min，
∵＋≥2＝2，
∴x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知其解集為(－2,1)．]
3．B [不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示．
易知A(2,0)，
由
得B(1,1)．
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.
∴當a＝－2或a＝－3時，z＝ax＋y在
O(0,0)處取得最大
22、值，最大值為zmax＝0，不滿足題意，排除C，D選項；當a＝2或3時，z＝ax＋y在A(2,0)處取得最大值，
∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故選B.]
4．D [由題意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，
所以log4(3a＋4b)＝log4ab，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋
≥7＋2＝7＋4，
當且僅當＝時取等號．故選D.]
5．C [f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b>0，函數(shù)f(x)的值域為[0，＋∞)，所以a>0，且b2－4ac＝0，即4ac＝b2，所以c>0.又f(1)＝a＋b＋c，所以＝＝1＋≥1＋＝1＋＝
23、1＋1＝2(當且僅當b＝2a＝2c時取等號)，所以的最小值為2，故選C.]
6．(－∞，0]∪[3，＋∞)
解析 當x>0時，由log3x≥1可得x≥3，
當x≤0時，由()x≥1可得x≤0，
∴不等式f(x)≥1的解集為(－∞，0]∪[3，＋∞)．
7．40
解析 每件產(chǎn)品的利潤y＝25－q－＝29－(＋)≤29－
2＝24，
當且僅當＝且q>0，即q＝40時取等號．
8．(－4,2)
解析 ∵x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋
≥4＋2＝8，∴(x＋2y)min＝8，
令m2＋2m<8，得－4
24、稱軸方程為x＝(1＋a)，
Δ＝9(1＋a)2－48a＝9a2－30a＋9＝3(3a－1)(a－3)．
①當00，g(0)＝6a>0，
方程g(x)＝0的兩個根分別為
00恒成立，
所以D＝A∩B＝(0，＋∞)．
綜上所述，當0
25、y＝＋x≥26，當且僅當＝x，
即x＝18時，上述不等式中等號成立．
故當x＝18時，這次行車的總費用最低，最低費用為26元．
11．C [∵0＜a＜b，∴＞，
又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，
故f＞f()，即q＞p.
又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln a＋ln b＝ln(ab)＝f()＝p.
故p＝r＜q.選C.]
12．3
解析 畫出可行域如圖陰影所示，
∵表示過點(x，y)與原點(0,0)的直線的斜率，
∴點(x，y)在點A處時最大．
由 得
∴A(1,3)．∴的最大值為3.
13．(－∞，]
解析 要使(x＋
26、y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，則有(x＋y)2＋1≥a(x＋y)，
即a≤(x＋y)＋恒成立．
由x＋y＋3＝xy，得x＋y＋3＝xy≤()2，
即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，
解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．
設t＝x＋y，則t≥6，(x＋y)＋＝t＋.
設f(t)＝t＋，則在t≥6時，f(t)單調遞增，所以f(t)＝t＋的最小值為6＋＝，所以a≤，即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，]．
14．解 (1)由題意：當0≤x≤20時，v(x)＝60；當20≤x≤200時，設v(x)＝ax＋b，顯然v(x)＝ax＋b在[20,200]上是減函數(shù)，由已知得解得
故函數(shù)v(x)的表達式為
v(x)＝
(2)依題意并由(1)可得
f(x)＝
當0≤x≤20時，f(x)為增函數(shù)，故當x＝20時，其最大值為60×20＝1 200；當20≤x≤200時，f(x)＝x(200－x)≤[]2＝，當且僅當x＝200－x，即x＝100時，等號成立，所以，當x＝100時，f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值.
綜上，當x＝100時，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333，
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約3 333輛/小時．
2022年高考數(shù)學大二輪總復習 增分策略 專題一 集合與常用邏輯用語、不等式 第2講 不等式與線性規(guī)劃試題
