2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第26講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用教案 新人教版
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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第26講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用教案 新人教版 一.課標(biāo)要求: 1.平面向量的數(shù)量積 ①通過(guò)物理中"功"等實(shí)例,理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義; ②體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系; ③掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算; ④能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。 2.向量的應(yīng)用 經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程,體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具,發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 二.命題走向 本講以選擇題、填空題考察本章的
2、基本概念和性質(zhì),重點(diǎn)考察平面向量的數(shù)量積的概念及應(yīng)用。重點(diǎn)體會(huì)向量為代數(shù)幾何的結(jié)合體,此類題難度不大,分值5~9分。 平面向量的綜合問(wèn)題是“新熱點(diǎn)”題型,其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)等聯(lián)系,解決角度、垂直、共線等問(wèn)題,以解答題為主。 預(yù)測(cè)07年高考: (1)一道選擇題和填空題,重點(diǎn)考察平行、垂直關(guān)系的判定或夾角、長(zhǎng)度問(wèn)題;屬于中檔題目。 (2)一道解答題,可能以三角、數(shù)列、解析幾何為載體,考察向量的運(yùn)算和性質(zhì); 三.要點(diǎn)精講 1.向量的數(shù)量積 (1)兩個(gè)非零向量的夾角 已知非零向量a與a,作=,=,則∠AOA=θ(0≤θ≤π)叫與的夾角; 說(shuō)明:(1)當(dāng)θ=0時(shí),與同向
3、; (2)當(dāng)θ=π時(shí),與反向; (3)當(dāng)θ=時(shí),與垂直,記⊥; (4)注意在兩向量的夾角定義,兩向量必須是同起點(diǎn)的,范圍0°≤q≤180°。 C (2)數(shù)量積的概念 已知兩個(gè)非零向量與,它們的夾角為,則·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)。規(guī)定; 向量的投影:︱︱cos=∈R,稱為向量在方向上的投影。投影的絕對(duì)值稱為射影; (3)數(shù)量積的幾何意義: ·等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積。 (4)向量數(shù)量積的性質(zhì) ①向量的模與平方的關(guān)系:。 ②乘法公式成立 ; ; ③平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 交換律成立:; 對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立:; 分配律成立:。 ④向
4、量的夾角:cos==。 當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí),θ=00,當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)θ=1800,同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問(wèn)題。 (5)兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 已知兩個(gè)向量,則·=。 (6)垂直:如果與的夾角為900則稱與垂直,記作⊥。 兩個(gè)非零向量垂直的充要條件:⊥·=O,平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。 (7)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 設(shè),則或。 如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、,那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)。 2.向量的應(yīng)用 (1)向量在幾何中的應(yīng)用; (2)向量在物理中的應(yīng)用。 四.典例解析 題型1:數(shù)量積的概念 例1.判斷下列各命題
5、正確與否: (1); (2); (3)若,則; (4)若,則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立; (5)對(duì)任意向量都成立; (6)對(duì)任意向量,有。 解析:(1)錯(cuò);(2)對(duì);(3)錯(cuò);(4)錯(cuò);(5)錯(cuò);(6)對(duì)。 點(diǎn)評(píng):通過(guò)該題我們清楚了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別于聯(lián)系,重點(diǎn)清楚為零向量,而為零。 例2.(1)(xx上海春,13)若、、為任意向量,m∈R,則下列等式不一定成立的是( ) A. B. C.m()=m+m D. (2)(xx江西、山西、天津理,4)設(shè)、、是任意的非零平面向量,且相互不共線,則 ①(·)-(·)= ②||-||<|-| ③(
6、·)-(·)不與垂直 ④(3+2)(3-2)=9||2-4||2中,是真命題的有( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析:(1)答案:D;因?yàn)?,而;而方向與方向不一定同向。 (2)答案:D①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律。故①假;②由向量的減法運(yùn)算可知||、||、|-|恰為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng),由“兩邊之差小于第三邊”,故②真;③因?yàn)椋郏āぃāぃ荨?(·)·-(·)·=0,所以垂直.故③假;④(3+2)(3-2)=9··-4·=9||2-4||2成立。故④真。 點(diǎn)評(píng):本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律,向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律。
7、 題型2:向量的夾角 例3.(1)(06全國(guó)1文,1)已知向量、滿足、,且,則與的夾角為( ) A. B. C. D. (2)(06北京文,12)已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且,那么與的夾角的大小是 。 (3)已知兩單位向量與的夾角為,若,試求與的夾角。 (4)(xx北京3)| |=1,| |=2,= + ,且⊥,則向量與的夾角為 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:(1)C;(2); (3)由題意
8、,,且與的夾角為, 所以,, , , 同理可得。 而, 設(shè)為與的夾角, 則。 (4)C;設(shè)所求兩向量的夾角為 即: 所以 點(diǎn)評(píng):解決向量的夾角問(wèn)題時(shí)要借助于公式,要掌握向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算。向量的模的求法和向量間的乘法計(jì)算可見(jiàn)一斑。對(duì)于這個(gè)公式的變形應(yīng)用應(yīng)該做到熟練,另外向量垂直(平行)的充要條件必需掌握。 例4.(1)(06全國(guó)1理,9)設(shè)平面向量、、的和。如果向量、、,滿足,且順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與同向,其中,則( ) A.-++= B.-+= C.+-= D.++=
9、 (2)(06湖南理,5)已知 且關(guān)于的方程有實(shí)根, 則與的夾角的取值范圍是( ) A. B. C. D. 解析:(1)D;(2)B; 點(diǎn)評(píng):對(duì)于平面向量的數(shù)量積要學(xué)會(huì)技巧性應(yīng)用,解決好實(shí)際問(wèn)題。 題型3:向量的模 例5.(1)(06福建文,9)已知向量與的夾角為,則等于( ) A.5 B.4 C.3 D.1 (2)(06浙江文,5)設(shè)向量滿足,,則( ) A.1 B.2 C.4 D.5 解析:(1
10、)B;(2)D; 點(diǎn)評(píng):掌握向量數(shù)量積的逆運(yùn)算,以及。 例6.已知=(3,4),=(4,3),求x,y的值使(x+y)⊥,且|x+y|=1。 解析:由=(3,4),=(4,3),有x+y=(3x+4y,4x+3y); 又(x+y)⊥(x+y)·=03(3x+4y)+4(4x+3y)=0; 即25x+24y=0 ①; 又|x+y|=1|x+y|2=1; (3x+4y)2+(4x+3y)2=1; 整理得25x2+48xy+25y2=1即x(25x+24y)+24xy+25y2=1 ②; 由①②有24xy+25y2=1
11、 ③; 將①變形代入③可得:y=±; 再代回①得:。 點(diǎn)評(píng):這里兩個(gè)條件互相制約,注意體現(xiàn)方程組思想。 題型4:向量垂直、平行的判定 例7.(xx廣東12)已知向量,,且,則 。 解析:∵,∴,∴,∴。 例8.已知,,,按下列條件求實(shí)數(shù)的值。(1);(2);。 解析: (1); (2); 。 點(diǎn)評(píng):此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的平行、垂直、模的基本運(yùn)算。 題型5:平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用 例9.已知。 分析:,可以看作向量的模的平方,而則是、的數(shù)量積,從而運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式。 證明:設(shè) 則。 點(diǎn)
12、評(píng):在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中,我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子,如等。 例10.已知,其中。 (1)求證:與互相垂直; (2)若與()的長(zhǎng)度相等,求。 解析:(1)因?yàn)? 所以與互相垂直。 (2), , 所以, , 因?yàn)椋? 所以, 有, 因?yàn)?,故? 又因?yàn)椋? 所以。 點(diǎn)評(píng):平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系。如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計(jì)考題,其形式多樣,解法靈活,極富思維性和挑戰(zhàn)性。若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進(jìn)
13、行處理??墒菇忸}過(guò)程得到簡(jiǎn)化,從而提高解題的速度。 題型6:平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用 例11.(xx年高考題)已知兩點(diǎn),且點(diǎn)P(x,y)使得,成公差小于零的等差數(shù)列。 (1)求證; (2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為,記與的夾角為,求。 解析:(1)略解:,由直接法得 (2)當(dāng)P不在x軸上時(shí), 而 所以,當(dāng)P在x軸上時(shí),,上式仍成立。 圖1 點(diǎn)評(píng):由正弦面積公式得到了三角形面積與數(shù)量積之間的關(guān)系,由面積相等法建立等量關(guān)系。 例12.用向量法證明:直徑所對(duì)的圓周角是直角。 已知:如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)P是⊙O上任一點(diǎn)(不與A、B重合),求證:∠APB=90°。 證明
14、:聯(lián)結(jié)OP,設(shè)向量,則且, ,即∠APB=90°。 點(diǎn)評(píng):平面向量是一個(gè)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的很好工具,它具有良好的運(yùn)算和清晰的幾何意義。在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。 題型7:平面向量在物理中的應(yīng)用 例13.如圖所示,正六邊形PABCDE的邊長(zhǎng)為b,有五個(gè)力、作用于同一點(diǎn)P,求五個(gè)力的合力。 解析:所求五個(gè)力的合力為,如圖3所示,以PA、PE為邊作平行四邊形PAOE,則,由正六邊形的性質(zhì)可知,且O點(diǎn)在PC上,以PB、PD為邊作平行四邊形PBFD,則,由正六邊形的性質(zhì)可知,且F點(diǎn)在PC的延長(zhǎng)線上。 由正六邊形的性質(zhì)還可求得 故由向量的加法可知所求五個(gè)力的合力的大小為
15、,方向與的方向相同。 五.思維總結(jié) 1.兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別 (1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),不是向量,符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定; (2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積,寫(xiě)成·;今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積×,而×是兩個(gè)向量的數(shù)量的積,書(shū)寫(xiě)時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào),既不能省略,也不能用“×”代替; (3)在實(shí)數(shù)中,若a10,且a×b=0,則b=0;但是在數(shù)量積中,若10,且×=0,不能推出=。因?yàn)槠渲衏osq有可能為0; (4)已知實(shí)數(shù)a、b、c(b10),則ab=bc T a=c。但是×= ×; 如右圖:×= |||cosb = |||OA|
16、,×c = ||c|cosa = |||OA|T× =×,但 1; (5)在實(shí)數(shù)中,有(×) = (×),但是(×)1 (×),顯然,這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量,而右端是與共線的向量,而一般與c不共線。 2.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 特別注意: (1)結(jié)合律不成立:; (2)消去律不成立不能得到; (3)=0不能得到=或=。 3.向量知識(shí),向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用,而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體,能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合,形成知識(shí)交匯點(diǎn),所以高考中應(yīng)引起足夠的重視. 數(shù)量積的主要應(yīng)用:①求模長(zhǎng);②求夾角;③判垂
17、直; 4.注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué) ①.?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法。 由于向量本身具有代數(shù)形式和幾何形式雙重身份,所以在向量知識(shí)的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中,都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法,在解決問(wèn)題過(guò)程中要形成見(jiàn)數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習(xí)慣,以加深理解知識(shí)要點(diǎn),增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。 ②.化歸轉(zhuǎn)化的思想方法。 向量的夾角、平行、垂直等關(guān)系的研究均可化歸為對(duì)應(yīng)向量或向量坐標(biāo)的運(yùn)算問(wèn)題;三角形形狀的判定可化歸為相應(yīng)向量的數(shù)量積問(wèn)題;向量的數(shù)量積公式,溝通了向量與實(shí)數(shù)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系;一些實(shí)際問(wèn)題也可以運(yùn)用向量知識(shí)去解決。 ③.分類討論的思想方法。 如向量可分為共線向量與不共線向量;平行向量(共線向量)可分為同向向量和反向
18、向量;向量在方向上的投影隨著它們之間的夾角的不同,有正數(shù)、負(fù)數(shù)和零三種情形;定比分點(diǎn)公式中的隨分點(diǎn)P的位置不同,可以大于零,也可以小于零。 5.突出向量與其它數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯 “新課程增加了新的現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容,其意義不僅在于數(shù)學(xué)內(nèi)容的更新,更重要的是引入新的思維方法,可以更有效地處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題”。因此,新課程卷中有些問(wèn)題屬于新教材與舊教材的結(jié)合部,凡涉及此類問(wèn)題,高考命題都采用了新舊結(jié)合,以新帶舊或以新方法解決的方法進(jìn)行處理,從中啟示我們?cè)诟呖紝W(xué)習(xí)中,應(yīng)突出向量的工具性,注重向量與其它知識(shí)的交匯與融合,但不宜“深挖洞”。我們可以預(yù)測(cè)近兩年向量高考題的難度不會(huì)也不應(yīng)該上升到壓軸題的水平。
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