2022年高三數(shù)學(xué) 考點(diǎn)總動(dòng)員05 函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性) 文(含解析)

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2022年高三數(shù)學(xué) 考點(diǎn)總動(dòng)員05 函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性) 文(含解析)_第1頁(yè)
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1、2022年高三數(shù)學(xué) 考點(diǎn)總動(dòng)員05 函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性) 文(含解析) 【考點(diǎn)分類】 熱點(diǎn)一 函數(shù)的單調(diào)性 1.【xx高考安徽卷文第5題】設(shè)則( ) A. B. C. D. 2.【xx高考北京卷文第2題】下列函數(shù)中,定義域是且為增函數(shù)的是( ) A. B. C. D. 3.【xx高考福建卷文第8題】若函數(shù)的圖象如右圖所示,則下列函數(shù)正確的 是( ) 4.【xx高考陜西卷文第7題】下了函數(shù)中,滿足“”的單調(diào)遞增函數(shù)是 (A

2、) (B) (C) (D) 5.【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(北京卷)文】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是( ) (A) (B) (C) (D) 6.【xx高考天津卷卷文第12題】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________. 【方法規(guī)律】 1.對(duì)于給出具體解析式的函數(shù),證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法: (1)可以結(jié)合定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)求解. (2)可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之.但是,對(duì)于抽象函數(shù)單調(diào)性的證明,一般采用定義法進(jìn)行. 2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定單

3、調(diào)性的方法一致. (1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性,即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù),求單調(diào)區(qū)間. (2)定義法:先求定義域,再利用單調(diào)性定義確定單調(diào)區(qū)間. (3)圖象法:如果f(x)是以圖象形式給出的,或者f(x)的圖象易作出,可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間. (4)導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 3.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用:f(x)在定義域上(或某一單調(diào)區(qū)間上)具有單調(diào)性,則f(x1)

4、論如何都必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進(jìn)行. 【易錯(cuò)點(diǎn)睛】 誤區(qū)1. 用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí),錯(cuò)用“自己證明自己”而致錯(cuò)(循環(huán)論證). 【例1】(xx廣州綜合測(cè)試)證明:函數(shù)f(x)=在[0,+∞)上是增函數(shù). 【錯(cuò)證】設(shè)0≤x1<x2,則f(x1)-f(x2)=-,所以<,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù). 【剖析】該證法犯了邏輯上的循環(huán)論證的錯(cuò)誤,本來要證明f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),可在由x1<x2得到<時(shí),就用到了f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù)的結(jié)論,犯下了“自己證明自己”的錯(cuò)誤. 誤區(qū)2.求復(fù)合函數(shù)的

5、單調(diào)區(qū)間時(shí),忽視函數(shù)的定義域而致錯(cuò) 【例2】(xx浙江寧波十校聯(lián)考)求y=的單調(diào)區(qū)間. 【錯(cuò)解】令t=x2-4x-12,則t=x2-4x-12在(-∞,2]上遞減,在[2,+∞)上遞增,又y=是增函數(shù),所以y=的單調(diào)區(qū)間是(-∞,2]與[2,+∞),其中在(-∞,2]上遞減,在[2,+∞)上遞增. 【剖析】上述解答錯(cuò)誤的原因是忽視了函數(shù)的定義域{x|x≤-2或x≥6}. 【正解】由x2-4x-12≥0,得x≤-2或x≥6,令t=x2-4x-12,則t=(x-2)2-16在(-∞,2]上是減函數(shù),在[2,+∞)上是增函數(shù).又y=是增函數(shù),所以y=的單調(diào)區(qū)間是(-∞,-2]與[6,+∞),

6、其中在(-∞,-2]上遞減,在[6,+∞)上遞增. 【點(diǎn)撥】求解復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題,必須考慮函數(shù)的定義域,建立“定義域優(yōu)先”意識(shí). 誤區(qū)3. 忽視隱含條件致誤 【例3】已知f(x)=是(-∞,+∞)上的減函數(shù),那么a的取值范圍是(  ) A.(0,1) B.(0,) C.[,) D.[,1) 【錯(cuò)解】誤選B項(xiàng)的原因只是考慮到了使得各段函數(shù)在相應(yīng)定義域內(nèi)為減函數(shù)的條件,要知道函數(shù)在R上為減函數(shù),還需使得f(x)=(3a-1)x+4a在x<1上的最小值不小于f(x)=logax在x≥1上的最大值,多數(shù)考生易漏掉這一限制條件而造成失誤.

7、【正解】據(jù)題意使原函數(shù)在定義域R上為減函數(shù),只需滿足:?≤a<.故選C. 【點(diǎn)評(píng)】一般地,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b)上為增函數(shù),在區(qū)間[b,c]上為增函數(shù),則不一定說明函數(shù)f(x)在[a,c]為增函數(shù),如圖(1),由圖像可知函數(shù)f(x)在[a,c]上整體不呈上升趨勢(shì),故此時(shí)不能說f(x)在[a,c]上為增函數(shù),若圖象滿足如圖(2),即可說明函數(shù)在[a,c]上為增函數(shù),即只需f(x)在[a,b)上的最大值不大于f(x)在[b,c]上的最小值即可,同理減函數(shù)的情況依據(jù)上述思路也可推得相應(yīng)結(jié)論. 需注意以下兩點(diǎn): (1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集,如果一個(gè)函數(shù)在其定義域的幾個(gè)區(qū)間上

8、都是增函數(shù)(或減函數(shù)),不能認(rèn)為這個(gè)函數(shù)在其定義域上就是增函數(shù)(或減函數(shù)),例如函數(shù)f(x)=在(-∞,0)上是減函數(shù),在(0,+∞)上也是減函數(shù),但不能說f(x)=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是減函數(shù),因?yàn)楫?dāng)x1=-1,x2=1時(shí),有f(x1)=-1<f(x2)=1不滿足減函數(shù)的定義. (2)當(dāng)一個(gè)函數(shù)的增區(qū)間(或減區(qū)間)有多個(gè)時(shí),一般不能直接用“∪”將它們連接起來,例如:函數(shù) y=x3-3x的單調(diào)增區(qū)間有兩個(gè):(-∞,-1)和(1,+∞)不能寫成(-∞,-1)∪(1,+∞). 熱點(diǎn)二 函數(shù)的奇偶性 1.【xx高考廣東卷文第5題】下列函數(shù)為奇函數(shù)的是( ) A.

9、 B. C. D. 【答案】A 2.【xx高考全國(guó)1卷文第5題】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù),是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是( ) A.是偶函數(shù) B. 是奇函數(shù) C. 是奇函數(shù) D. 是奇函數(shù) 3.【xx高考重慶卷文第4題】下列函數(shù)為偶函數(shù)的是( ) 4.【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(廣東卷)文科】定義域?yàn)榈乃膫€(gè)函數(shù),,,中,奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是( ) A .

10、 B. C. D. 【答案】C 【解析】奇函數(shù)的為與,和為非奇非偶函數(shù),故選C. 5.【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(湖南卷)文科】已知f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,則g(1)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】因?yàn)?,兩式相加可得? 6.【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(遼寧卷)文科】 已知函數(shù)( ) A. B. C. D. 7.

11、【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(山東卷)】已知函數(shù)為奇函數(shù),且當(dāng)時(shí), ,則 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 8.【xx高考湖南卷文第15題】若是偶函數(shù),則____________. 【答案】 9.【xx年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試江蘇數(shù)學(xué)試題】已知是定義在上的奇函數(shù). 當(dāng)時(shí),,則不等式的解集用區(qū)間表示為 . 10.【xx高考上海文第20題】設(shè)常數(shù),函數(shù). (1) 若=4,求函數(shù)的反函數(shù); (2) 根據(jù)的不同取值,討論函數(shù)的奇偶性,并說明理由. 性的定義可知函數(shù)具有奇偶性,在時(shí),函數(shù)的定義域是,不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因此

12、函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 【方法規(guī)律】 1.判斷函數(shù)奇偶性的方法 (1)定義法 一般地,對(duì)于較簡(jiǎn)單的函數(shù)解析式,可通過定義直接作出判斷;對(duì)于較復(fù)雜的解析式,可先對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn),再利用定義進(jìn)行判斷.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟: (2)圖象法 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱.因此要證函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,只需證明此函數(shù)是奇函數(shù)即可;要證函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,只需證明此函數(shù)是偶函數(shù)即可.反之,也可利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性去判斷函數(shù)的奇偶性. (3)組合函數(shù)奇偶性的判定方法 ①兩個(gè)奇(偶)函數(shù)的和、差還是奇(偶)函數(shù),一奇一偶之和為非奇非偶函數(shù).

13、 ②奇偶性相同的兩函數(shù)之積(商)為偶函數(shù),奇偶性不同的兩函數(shù)之積(商)(分母不為0)為奇函數(shù). ③復(fù)合函數(shù)的奇偶性可概括為“同奇則奇,一偶則偶”. (4)分段函數(shù)的奇偶性判定 分段函數(shù)應(yīng)分段討論,注意奇偶函數(shù)的整體性質(zhì),要避免分段下結(jié)論,如典例1(3)只有得到當(dāng)x≠0時(shí)都有f(-x)=f(x)才能給出偶函數(shù)的結(jié)論. 2.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用技巧 (1)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式 抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式,或充分利用奇偶性得出關(guān)于f(x)的方程,從而可得f(x)的解析式. (2)已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)表達(dá)式及奇偶性求參數(shù) 常常采用待定系數(shù)法,利用f(x)±f(-

14、x)=0得到關(guān)于x的恒等式,由對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等可得字母的值. (3)奇偶性與單調(diào)性的綜合問題要注意奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反. 【易錯(cuò)點(diǎn)睛】 函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì),其定義中要求f(x)和f(-x)必須同時(shí)存在,所以函數(shù)定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,這是函數(shù)具有奇偶性的前提.如果某一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,它一定是非奇非偶函數(shù). 誤區(qū).不明分段函數(shù)奇偶性概念致錯(cuò) 【例1】(xx北京東城期末)判斷f(x)=的奇偶性. 【錯(cuò)解】當(dāng)x>0時(shí),-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=-(-x2+2x-3)=-f

15、(x). 當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-(x2+2x+3)=-f(x).所以f(x)是奇函數(shù). 【剖析】漏x=0情況. 【正解】盡管對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)不為零的x,都有f(-x)=-f(x)成立,但當(dāng)x=0時(shí),f(0)=3≠-f(0),所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 熱點(diǎn)三 函數(shù)的周期性 1.【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(湖北卷)文科】x為實(shí)數(shù),表示不超過的最大整數(shù),則函數(shù)在上為( ) A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.增函數(shù) D. 周期函數(shù) 2.【xx高考四川卷文第13題】設(shè)是定

16、義在R上的周期為2的函數(shù),當(dāng)時(shí),,則 . 3.【xx年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題大綱全國(guó)文科】設(shè)是以2為周期的函數(shù),且當(dāng)時(shí), . 【方法規(guī)律】 1. (1)對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有,那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫f(x)的周期.如果所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫f(x)的最小正周期. (2)周期函數(shù)不一定有最小正周期,若T≠0是f(x)的周期,則kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期,周期函數(shù)的定義域無上、下界. 2. 函數(shù)周期性的相關(guān)結(jié)論. 設(shè)

17、a是非零常數(shù),若對(duì)f(x)定義域內(nèi)的任意x,恒有下列條件之一成立:①f(x+a)=-f(x);②f(x+a)=;③f(x+a)=-;④f(x+a)=f(x-a),則f(x)是周期函數(shù),2|a|是它的一個(gè)周期.(以上各式中分母均不為零). 【解題技巧】 求函數(shù)周期的方法 求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法,形如y=Asin(ωx+φ),用公式T=計(jì)算.遞推法:若f(x+a)=-f(x),則f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以周期T=2a.換元法:若f(x+a)=f(x-a),令x-a=t,x=t+a,則f(t)=f(t+2a),所以周期T=2a. 熱點(diǎn)四 函

18、數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 1.【xx高考湖南卷文第4題】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是( ) 2.【xx高考大綱卷文第12題】奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x+2)為偶函數(shù),則f(1)=1,則f(8)+f(9)= ( ) A. -2 B.-1 C. 0 D. 1 3.【xx年全國(guó)高考統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)(文)卷】已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù), 且在區(qū)間單調(diào)遞增. 若實(shí)數(shù)a滿足, 則a的取值范圍是( ) (A) (B) (C) (D) 4.【xx年普通高等學(xué)校招生全

19、國(guó)統(tǒng)一考試(四川卷)理科】設(shè)函數(shù)(,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若曲線上存在點(diǎn)使,則的取值范圍是( ) (A) (B) (C) (D) 5.【xx高考安徽卷文第14題】若函數(shù)是周期為4的奇函數(shù),且在上的解析式為,則. 6.【xx高考全國(guó)2卷文第15題】偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,,則=________. 【方法規(guī)律】 1.解這類綜合題的一般方法 在解決函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題中,如果結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖,根據(jù)簡(jiǎn)圖進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì),就可以把抽象問題變的直觀形象、復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)單明了,對(duì)問題的解決有很大的幫助. (1)一般的解題

20、步驟:利用函數(shù)的周期性把大數(shù)變小或小數(shù)變大,然后利用函數(shù)的奇偶性調(diào)整正負(fù)號(hào),最后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大??; (2)畫函數(shù)草圖的步驟:由已知條件確定特殊點(diǎn)的位置,然后利用單調(diào)性確定一段區(qū)間的圖象,再利用奇偶性確定對(duì)稱區(qū)間的圖象,最后利用周期性確定整個(gè)定義域內(nèi)的圖象. 2. 函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性之間內(nèi)在聯(lián)系 若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸(或兩個(gè)對(duì)稱中心,或一對(duì)稱軸一對(duì)稱中心),則該函數(shù)必是周期函數(shù).特別地,有以下結(jié)論(其中a≠0): 若f(x)有對(duì)稱軸x=a,且是偶函數(shù),則f(x)的周期為2a; 若f(x)有對(duì)稱軸x=a,且是奇函數(shù),則f(x)的周期為4a; 若f(x)有對(duì)稱中心(a,0

21、),且是偶函數(shù),則f(x)的周期為4a; 若f(x)有對(duì)稱中心(a,0),且是奇函數(shù),則f(x)的周期為2a. 【易錯(cuò)點(diǎn)睛】 誤區(qū)1.函數(shù)的性質(zhì)挖掘不全致誤 【例1】奇函數(shù)f(x)定義在R上,且對(duì)常數(shù)T>0,恒有f(x+T)=f(x),則在區(qū)間[0,2T]上,方程f(x)=0根的個(gè)數(shù)至少有 (  ) A.3個(gè)    B.4個(gè)    C.5個(gè)    D.6個(gè) 【錯(cuò)解】由f(x)是R上的奇函數(shù),得

22、f(0)=0?x1=0.再由f(x+T)=f(x)得f(2T)=f(T)=f(0)=0?x2=T,x3=2T.即在區(qū)間[0,2T]上,方程f(x)=0根的個(gè)數(shù)最小值為3個(gè). 【剖析】本題的抽象函數(shù)是奇函數(shù)與周期函數(shù)的交匯.即解時(shí)要把抽象性質(zhì)用足,不僅要充分利用各個(gè)函數(shù)方程,還要注意方程①和②互動(dòng). 【正解】由方程①得f(0)=0?x1=0.再由方程②得f(2T)=f(T)=f(0)=0?x2=T,x3=2T. 又∵f(x-)=f(x+),令x=0得f(-)=f().又f(-)=-f(),f()=0,x4=.再由②得f(+T)=0?x5=,故方程f(x)=0至少有5個(gè)實(shí)數(shù)根.故選C. 誤

23、區(qū)2.忽視隱含條件的挖掘致誤 【例2】(xx江蘇模擬)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間[-1,1]上, f(x)=其中a,b∈R.若f()=f(),則a+3b的值為________. 【錯(cuò)解】因?yàn)閒(x)的周期為2,所以f()=f(-2)=f(-),即f()=f(-).又因?yàn)閒(-)=-a+1,f()==,所以-a+1=,∴3a+2b=-2. 【剖析】 (1)轉(zhuǎn)化能力差,不能把所給區(qū)間和周期聯(lián)系起來;(2)挖掘不出f(-1)=f(1),從而無法求出a、b的值. 【正解】因?yàn)閒(x)的周期為2,所以f()=f(-2)=f(-),即f()=f(-).又因?yàn)? f(-)=-

24、a+1,f()==,所以-a+1=.整理,得a=-(b+1).① 又因?yàn)閒(-1)=f(1),所以-a+1=,即b=-2a. ② 將②代入①,得a=2,b=-4.所以a+3b=2+3×(-4)=-10. 【考點(diǎn)剖析】 一.最新考試說明: 1.理解函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)討論和證明函數(shù)的單調(diào)性. 2.理解函數(shù)的奇偶性,會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性. 3.利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值. 二.命題方向預(yù)測(cè): 1.利用函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間、比較大小、解不等式、求變量的取值是歷年高考考查的熱點(diǎn). 2.函數(shù)的奇偶性是高考考查的熱點(diǎn). 3.函數(shù)奇偶性的

25、判斷、利用奇偶函數(shù)圖象特點(diǎn)解決相關(guān)問題、利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值等問題是重點(diǎn),也是難點(diǎn). 3.題型以選擇題和填空題為主,函數(shù)性質(zhì)其他知識(shí)點(diǎn)交匯命題. 三.課本結(jié)論總結(jié): 1.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性完全相同;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性恰恰相反. 注意:確定函數(shù)的奇偶性,務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.確定函數(shù)奇偶性的常用方法有:定義法、圖像法、性質(zhì)法等.  2.若奇函數(shù)定義域中有0,則必有.即的定義域時(shí),是為奇函數(shù)的必要非充分條件. 對(duì)于偶函數(shù)而言有:. 3.確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間,在解答題中常用:定義法(取

26、值、作差、鑒定)、導(dǎo)數(shù)法;在選擇、填空題中還有:數(shù)形結(jié)合法(圖像法)、特殊值法等等. 4.若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則可以表示為,該式的特點(diǎn)是:右端為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和. 5.既奇又偶函數(shù)有無窮多個(gè)(,定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集). 6.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)是:“同增異減”;復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是:“內(nèi)偶則偶,內(nèi)奇同外”.復(fù)合函數(shù)要考慮定義域的變化(即復(fù)合有意義). 7.函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線(軸)對(duì)稱. 推廣一:如果函數(shù)對(duì)于一切,都有成立,那么的圖像關(guān)于直線(由“和的一半確定”)對(duì)稱. 推廣二:函數(shù),的圖像關(guān)于直線(由確定)對(duì)稱. 8.函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直

27、線(軸)對(duì)稱. 推廣:函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(由“和的一半確定”). 9.函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱. 推廣:函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱. 10.函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱. 推廣:曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線是;曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線是. 11.曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),所得曲線是(逆時(shí)針橫變?cè)俳粨Q).特別:繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得,若有反函數(shù),則得. 曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),所得曲線是(順時(shí)針縱變?cè)俳粨Q).特別:繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得,若有反函數(shù),則得. 12.類比“三角函數(shù)圖像”得: 若圖像有兩條對(duì)稱軸,則必是周期函數(shù),且一周期為. 若圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心,則是周期

28、函數(shù),且一周期為. 如果函數(shù)的圖像有下一個(gè)對(duì)稱中心和一條對(duì)稱軸,則函數(shù)必是周期函數(shù),且一周期為. 如果是R上的周期函數(shù),且一個(gè)周期為,那么. 特別:若恒成立,則. 若恒成立,則.若恒成立,則. 如果是周期函數(shù),那么的定義域“無界”. 四、名師二級(jí)結(jié)論: 一個(gè)防范 函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的,所以要受到區(qū)間的限制.例如函數(shù)y=分別在(-∞,0),(0,+∞)內(nèi)都是單調(diào)遞減的,但不能說它在整個(gè)定義域即(-∞,0)∪(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,只能分開寫,即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪”連接. 一條規(guī)律 函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條

29、件. 注意:分段函數(shù)判斷奇偶性應(yīng)分段分別證明f(-x)與f(x)的關(guān)系,只有當(dāng)對(duì)稱的兩段上都滿足相同的關(guān)系時(shí),才能判斷其奇偶性. 兩個(gè)應(yīng)用 1.已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式. 抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式,或充分利用奇偶性產(chǎn)生關(guān)于f(x)的方程,從而可得f(x)的解析式. 2.已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式及奇偶性求參數(shù). 常常采用待定系數(shù)法:利用f(x)±f(-x)=0產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式,由系數(shù)的對(duì)等性可得知字母的值. 三種方法 判斷函數(shù)單調(diào)性的三種方法方法:(1)定義法;(2)圖象法;(3)導(dǎo)數(shù)法. 判斷函數(shù)的奇偶性的三種方法:(1)定義法;(2)圖象法;

30、(3)性質(zhì)法. 在判斷函數(shù)是否具有奇偶性時(shí),為了便于判斷,有時(shí)需要將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),或應(yīng)用定義的變通形式: f(-x)=±f(x)?f(-x)±f(x)=0?=±1,f(x)≠0. 四條性質(zhì) 1.若奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義,則f(0)=0. 2.設(shè)f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,那么在它們的公共定義域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 3.奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性. 4.若f(x)是偶函數(shù),則有f(-x)=f(x)=f(|x|). 五、課本經(jīng)典習(xí)題: (1)新課標(biāo)人教A版必修一

31、第36頁(yè)練習(xí)第1(3)題 判斷下列函數(shù)的奇偶性:. 【經(jīng)典理由】典型的鞏固定義題,可以進(jìn)行多角度變式. 變式題:關(guān)于函數(shù),有下列命題:①其圖象關(guān)于軸對(duì)稱;②當(dāng)時(shí),是增函數(shù);當(dāng)時(shí),是減函數(shù);③的最小值是;④在區(qū)間上是增函數(shù);⑤無最大值,也無最小值.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 . 解: 為偶函數(shù),故①正確;令,則當(dāng)時(shí),在上遞減,在上遞增,∴②⑤錯(cuò)誤,③④正確,故選①③④. (2)新課標(biāo)人教A版必修一第44頁(yè)復(fù)習(xí)參考題A組第八題 設(shè),求證:(1);(2). 【經(jīng)典理由】典型的鞏固定義題,可以進(jìn)行改編、變式或拓展. 改編:設(shè)定在R上的函數(shù)滿足:,則 . 解:由.得 .

32、由所求式子特征考查:.. (3)新課標(biāo)人教A版必修一第83頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第3題 對(duì)于函數(shù). (1)探索函數(shù)的單調(diào)性;(2)是否存在實(shí)數(shù)a使為奇函數(shù)? 【經(jīng)典理由】典型的函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用題,可以進(jìn)行改編、變式或拓展. 改編 對(duì)于函數(shù).(1)用定義證明:在R上是單調(diào)減函數(shù);(2)若是奇函數(shù),求a值;(3)在(2)的條件下,解不等式f(2t+1)+f(t-5)≤0. 證明:(1)設(shè)<,則f()-f()=-=. ∵->0,>0,>0.即f()-f()>0.∴f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù) (2)∵是奇函數(shù),∴f(0)=0?a=-1. (3)由(1)(2)可得在R上是單調(diào)減函數(shù)且是奇函數(shù),

33、∴f(2t+1)+f(t-5)≤0.轉(zhuǎn)化為f(2t+1)≤-f(t-5)=f(-t+5),?2t+1≥-t+5?t≥,故所求不等式f(2t+1)+f(t-5)≤0的解集為:{t|t≥}. (4)新課標(biāo)人教A版必修一第83頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第4題 設(shè),求證: (1);(2);(3). 【經(jīng)典理由】典型的證明函數(shù)性質(zhì)題,可以進(jìn)行改編、變式或拓展. 改編1:設(shè),給出如下結(jié)論:①對(duì)任意,有;②存在實(shí)數(shù),使得;③不存在實(shí)數(shù),使得;④對(duì)任意,有; 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 解:對(duì)于①: 對(duì)于②:,即恒有; 對(duì)于③:,故不存在,使 對(duì)于④: ,故正確的有①③④ 改編2:已知函數(shù)滿

34、足,且,分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù),若使得不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 解:,得, 即,解得,,即得,參數(shù)分離得,因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),的解滿足),所以. 六.考點(diǎn)交匯展示: (1)函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的零點(diǎn)交匯 例1.【xx高考湖北卷文第9題】已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則函數(shù)的零點(diǎn)的集合為( ) A. B. C. D. (2) 函數(shù)的周期性與函數(shù)的零點(diǎn)交匯 例2.【xx高考江蘇卷第13題】已知是定義在上且周期為3的函數(shù),當(dāng)時(shí),,若函數(shù)在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)(互不相同),則實(shí)數(shù)的取值范

35、圍是 . (3) 函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性的交點(diǎn)問題 例3.【穩(wěn)派xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬信息卷(五)】已知函數(shù)和都是定義在R上的偶函數(shù),若時(shí),,則為( ) A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.零 D.不能確定 【答案】A 【解析】 試題分析:∵函數(shù)是偶函數(shù),∴.又函數(shù)也是偶函數(shù),∴函數(shù)既關(guān)于直線對(duì)稱,又關(guān)于y軸對(duì)稱,所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù),故有,.又當(dāng)時(shí),恒成立,故函數(shù)為增函數(shù).又,則,故選A. 考點(diǎn):函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性. 【考點(diǎn)特訓(xùn)】 1.【山東省濟(jì)南市xx屆高三高考第一次模擬考試】“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的(

36、 ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件   D.既不充分也不必要條件 2. 【山東省棗莊市xx屆高三第一次模擬考試】若既是周期函數(shù),又是奇函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)( ) A.既是周期函數(shù),又是奇函數(shù) B.既是周期函數(shù),又是偶函數(shù) C.不是周期函數(shù),但是奇函數(shù) D.不是周期函數(shù),但是偶函數(shù) 3. 【山東省威海市xx屆高三上學(xué)期期末考試】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覟榕己瘮?shù),則實(shí)數(shù)的值可以是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),所以,即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,

37、所以區(qū)間關(guān)于對(duì)稱,所以,即,所以選B. 4. 【安徽省皖南八校xx屆高三第二次聯(lián)考】已知函數(shù)是上的奇函數(shù)且滿足,則 的值為( ) A.0 B 1 C. 2 D.4 5. 【湖北省黃岡市黃岡中學(xué)xx屆高三五月第二次模擬考試】已知函數(shù)是偶函數(shù),且,當(dāng)時(shí),,則方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)是( ) A.8 B.9 C.10 D.11 6.【xx合肥二模數(shù)學(xué)文】已知函數(shù),則( ) A

38、.xx B. C.xx D. 【答案】D 【解析】由題意, ,故選D. 【考點(diǎn)】分段函數(shù)的求值. 7.【xx年皖北協(xié)作區(qū)高三年級(jí)聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)文】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),對(duì)任意,都有,若,則 8.【xx安徽江南十校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)文)】已知函數(shù),若有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 9.【xx安徽宿州高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)文】已知為R上的可導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí), ,則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 (

39、 ) A.1 B.2 C.0 D.0或2 10. 【北京市順義區(qū)xx屆高三第一次統(tǒng)考(文)】下列函數(shù),在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是 ( ) A. B. C. D. 11.【浙江省“六市六?!甭?lián)盟xx屆高考模擬考試】已知,定義,其中,則等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 12.【xx年浙江省嘉興市xx屆高三3月教學(xué)測(cè)試(一)】若的圖像是中心對(duì)

40、稱圖形,則( ) A.4 B. C.2 D. 13. 【上海市六校xx屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)(文)試題】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)的為 ( ) (A) (B) (C) (D) 考點(diǎn):函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性. 14. 【河南省安陽(yáng)一中xx屆高三第一次月考4】如果在區(qū)間上為減函數(shù),則的取值范圍( ) A. B. C. D (0,) 15. 【浙江省溫州市

41、十校聯(lián)合體xx屆高三上學(xué)期期初聯(lián)考2】已知函數(shù)為奇函數(shù),且當(dāng)時(shí), 則 ( ) A. B. C. D. 16. 【廣州市海珠區(qū)xx屆高三綜合測(cè)試(一)試題7】下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是( ). A. B. C. D. 選項(xiàng)C:在單調(diào)遞減,且為奇函數(shù); 選項(xiàng)D:在定義域R上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù);故選D. 考點(diǎn):函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性 17. 【廣東省惠州一中等六校xx屆高三8月聯(lián)考10】定義在R上的奇函數(shù)和定義在上的偶函數(shù)分別滿足,,若存在實(shí)數(shù),使得成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A.

42、 B. C. D. 18. 【四川省成都市xx屆高中畢業(yè)班摸底測(cè)試10】已知定義在R上的函數(shù)f(x)的周期為4,且當(dāng)x∈(-1,3]時(shí),f(x)=,則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 A、4 B、5 C、6 D、7 19.【四川省廣安市xx屆高三診斷考試15】已知函數(shù),下列關(guān)于函數(shù)(其中a為常數(shù))的敘述中: ①a>0,函數(shù)g(x)至少有4個(gè)零點(diǎn); ②當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)g(x)有5個(gè)不同零點(diǎn); ③a∈R,使得函數(shù)g(x)有6個(gè)不同零點(diǎn); ④函數(shù)g(x)有8個(gè)不同零點(diǎn)的充要條件是0

43、②③④ 【解析】 試題分析:畫出f(x)的圖象如圖. 令g(x)=0,即 [f(x)]2-f(x)+a=0, 20. 【江蘇省蘇州市xx屆高三9月調(diào)研測(cè)試4】已知函數(shù)為奇函數(shù)則實(shí)數(shù)的值為 ▲ 【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】 1.【熱點(diǎn)1預(yù)測(cè)】若f(x)是R上的奇函數(shù),且f(x)在[0,+¥)上單調(diào)遞增,則下列結(jié)論:①y=|f(x)|是偶函數(shù);②對(duì)任意的x?R都有f(-x)+|f(x)|=0;③y=f(-x)在(-¥,0]上單調(diào)遞增;④y=f(x)f(-x)在(-¥,0]上單調(diào)遞增.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( ) A.1 B 2 C.3 D.4 2.【

44、熱點(diǎn)2預(yù)測(cè)】下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是 ( ) A. B. C. D. 3.【熱點(diǎn)3預(yù)測(cè)】已知,方程在[0,1]內(nèi)有且只有一個(gè)根,則在區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)為( ) A.2011 B.1006 C.xx D.1007 【答案】C 【解析】由,可知,所以函數(shù)的周期是2,由可知函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱,因?yàn)楹瘮?shù)在[0,1]內(nèi)有且只有一個(gè)根,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)為xx個(gè),選C. 4.【熱點(diǎn)4預(yù)測(cè)】函數(shù)的定義域?yàn)?,若且時(shí)總有,則稱為單函數(shù).例如,函數(shù)是單函數(shù).下列命題: ①函數(shù)是單函數(shù); ②函數(shù)是單函數(shù); ③若為單函數(shù),且,則; ④函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上具有單調(diào)性,則一定是單函數(shù). 其中的真命題是 (寫出所有真命題的編號(hào)). 5.設(shè)為R上的奇函數(shù),為R上的偶函數(shù),且,.則 .(只需寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)解析式即可)

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