8、∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，
則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直線DA.∴CE、D1F、DA三線共點．
題型二 異面直線的判定
例2 如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1
的中點．問：
(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；
(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由．
思維啟迪：第(1)問，連接MN，AC，證MN∥AC，即AM與CN共面；第(2)問可采用反證法．
解 (1)不是異面直線．理由如下：
連接MN、A1C1、
9、AC.
∵M、N分別是A1B1、B1C1的中點，
∴MN∥A1C1.
又∵A1A綊C1C，
∴A1ACC1為平行四邊形，
∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，
∴A、M、N、C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線．
(2)是異面直線．證明如下：
∵ABCD—A1B1C1D1是正方體，
∴B、C、C1、D1不共面．
假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，
則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，
∴D1、B、C、C1∈α，與ABCD—A1B1C1D1是正方體矛盾．
∴假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線．
探究提高 (1)證明直線異面通常用反證法；(2)證明直線相交
10、，通常用平面的基本性質(zhì)，平面圖形的性質(zhì)等．
已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD的中點．求證：
(1)BC與AD是異面直線；
(2)EG與FH相交．
證明 (1)假設(shè)BC與AD共面，不妨設(shè)它們所共平面為α，則B、C、A、D∈α.
∴四邊形ABCD為平面圖形，這與四邊形ABCD為空間四邊形相矛盾．
∴BC與AD是異面直線．
(2)如圖，連接AC，BD，
則EF∥AC，HG∥AC，
因此EF∥HG；同理EH∥FG，
則EFGH為平行四邊形．
又EG、FH是?EFGH的對角線，
∴EG與FH相交．
題型三 異面直線所成的角
11、
例3 正方體ABCD—A1B1C1D1中，
(1)求AC與A1D所成角的大?。?
(2)若E、F分別為AB、AD的中點，求A1C1與EF所成角的大小．
思維啟迪：(1)平移A1D到B1C，找出AC與A1D所成的角，再計算．(2)可證A1C1與EF垂直．
解 (1)如圖所示，連接B1C，由ABCD—A1B1C1D1是正方體，
易知A1D∥B1C，從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成
的角．
∵AB1＝AC＝B1C，
∴∠B1CA＝60°.
即A1D與AC所成的角為60°.
(2)如圖所示，連接AC、BD，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，
AC⊥BD，AC∥A
12、1C1，
∵E、F分別為AB、AD的中點，
∴EF∥BD，
∴EF⊥AC.
∴EF⊥A1C1.
即A1C1與EF所成的角為90°.
探究提高 求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行.
直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于 ( )
A．30° B．45°
C．60°
13、 D．90°
答案 C
解析 如圖，可補成一個正方體，
∴AC1∥BD1.
∴BA1與AC1所成角的大小為∠A1BD1.
又易知△A1BD1為正三角形，
∴∠A1BD1＝60°.
即BA1與AC1成60°的角．
點、直線、平面位置關(guān)系考慮不全面致誤
典例：(5分)l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是 ( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面
易錯分析 由于空間點、直線、平面的位置關(guān)系是在
14、空間考慮，這與在平面上考慮點、線的位置關(guān)系相比復(fù)雜了很多，特別是當直線和平面的個數(shù)較多時，各種位置關(guān)系錯綜復(fù)雜、相互交織，如果考慮不全面就會導(dǎo)致一些錯誤的判斷．
解析 當l1⊥l2，l2⊥l3時，l1與l3也可能相交或異面，故A不正確；當l1∥l2∥l3時，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C不正確；l1，l2，l3共點時，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點出發(fā)的三條棱，故D不正確．
答案 B
溫馨提醒 (1)平面幾何中的一些定理和結(jié)論在空間中不一定成立，如“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”在空間中不成立，所以在用一些平面幾何中的定理和結(jié)論時，必須說明涉及的
15、元素都在某個平面內(nèi)．
(2)解決點、線、面位置關(guān)系問題的基本思路：一是逐個判斷，利用空間線面關(guān)系證明正確的結(jié)論，尋找反例否定錯誤的結(jié)論；二是結(jié)合長方體模型或?qū)嶋H空間位置(如課桌、教室)作出判斷，但要注意定理應(yīng)用要準確、考慮問題要全面細致．
構(gòu)造襯托平面研究直線相交問題
典例：(4分)在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有________條．
審題視角 找三條異面直線都相交的直線，可以轉(zhuǎn)化成在一個平面內(nèi)，作與三條直線都相交的直線．因而可考慮過一條直線及另外一條直線上的一點作平面．進而研究公共
16、交線問題．
解析 方法一 在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N，當M取不同的位置時就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，而直線MN與這3條異面直線都有交點．如圖所示．
方法二 在A1D1上任取一點P，過點P與直線EF作一個平面α，因CD與平面α不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線．由點P的任意性，知有無數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交．
答案 無數(shù)
溫馨提醒 (1)本題難度不大，但比較靈活．對平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系的考查，難度一般都不會太大．
(2)誤區(qū)
17、警示：本題解法較多，但關(guān)鍵在于構(gòu)造平面，但不少學(xué)生不會構(gòu)造平面，因此失分較多．這說明學(xué)生還是缺少空間想象能力，缺少對空間直線位置關(guān)系的理解.
方法與技巧
1． 主要題型的解題方法
(1)要證明“線共面”或“點共面”可先由部分直線或點確定一個平面，再證其余直線或點也在這個平面內(nèi)(即“納入法”)．
(2)要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3可知這些點在交線上，因此共線．
2． 判定空間兩條直線是異面直線的方法
(1)判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點B的直線是異面直線．
(2)反證法：證明兩線不可能平
18、行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面．
3． 求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決．根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點位置無關(guān)，往往可以選在其中一條直線上(線面的端點或中點)利用三角形求解．
失誤與防范
1．全面考慮點、線、面位置關(guān)系的情形，可以借助常見幾何模型．
2．異面直線所成的角范圍是(0°，90°]．
A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時間：35分鐘，滿分：57分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1． 若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的
( )
A
19、．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件
答案 A
解析 若兩條直線無公共點，則兩條直線可能異面，也可能平行．若兩條直線是異面直線，則兩條直線必?zé)o公共點．
2． 下列命題正確的個數(shù)為 ( )
①經(jīng)過三點確定一個平面
②梯形可以確定一個平面
③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面
④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 經(jīng)過不共線的三點可以確定一個平面，∴①不正確；
兩條平行線可以確定一個平面，∴②正確；
兩
20、兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面，∴③正確；
命題④中沒有說清三個點是否共線，∴④不正確．
3． 設(shè)P表示一個點，a、b表示兩條直線，α、β表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確的命題是 ( )
①P∈a，P∈α?a?α
②a∩b＝P，b?β?a?β
③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α
④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
答案 D
解析 當a∩α＝P時，P∈a，P∈α，但a?α，∴①錯；a∩β＝P時，
②錯；
如圖，∵a∥b，P∈b，∴P?a，
∴由直線a與點
21、P確定唯一平面α，
又a∥b，由a與b確定唯一平面β，但β經(jīng)過直線a與點P，
∴β與α重合，∴b?α，故③正確；
兩個平面的公共點必在其交線上，故④正確．
4. 在正方體ABCD—A1B1C1D1中，過頂點A1與正方體其他頂點的連線與
直線BC1成60°角的條數(shù)為 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 有2條：A1B和A1C1.
二、填空題(每小題5分，共15分)
5． 平面α、β相交，在α、β內(nèi)各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能確定________個平面．
答案 1或4
解析 若過四點中任意兩點的連線與
22、另外兩點的連線相交或平行，則確定一個平面；否則確定四個平面．
6． 下列命題中不正確的是________．(填序號)
①沒有公共點的兩條直線是異面直線；
②分別和兩條異面直線都相交的兩直線異面；
③一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線不可能平行；
④一條直線和兩條異面直線都相交，則它們可以確定兩個平面．
答案 ①②
解析 沒有公共點的兩直線平行或異面，故①錯；命題②錯，此時兩直線有可能相交；命題③正確，因為若直線a和b異面，c∥a，則c與b不可能平行，用反證法證明如下：若c∥b，又c∥a，則a∥b，這與a，b異面矛盾，故cD∥\b；命題④也正確，若c與兩異面直線a
23、，b都相交，由公理2可知，a，c可確定一個平面，b，c也可確定一個平面，這樣，a，b，c共確定兩個平面．
7． (xx·大綱全國)已知正方體ABCD－A1 B1 C1 D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為______．
答案
解析 取A1B1的中點F，連接EF，AF.
∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，
EF∥B1C1，B1C1∥BC，
∴EF∥BC，∴∠AEF即為異面直線
AE與BC所成的角．
設(shè)正方體的棱長為a，
則AF＝＝a，EF＝a.
∵EF⊥平面ABB1A1，∴EF⊥AF，
∴AE＝＝a.
∴cos ∠AEF＝＝＝.
三、
24、解答題(共22分)
8． (10分) 如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD
＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分別為FA、FD的
中點．
(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；
(2)C、D、F、E四點是否共面？為什么？
(1)證明 由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，
可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC，
∴四邊形BCHG為平行四邊形．
(2)解 方法一 由BE綊AF，G為FA的中點知，
BE綊FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．
又D∈FH，∴C、D、F、E
25、四點共面．
方法二 如圖所示，延長FE，DC分別與AB交于點M，M′，
∵BE綊AF，∴B為MA的中點．
∵BC綊AD，∴B為M′A的中點，
∴M與M′重合，即FE與DC交于點M(M′)，∴C、D、F、E四點共面．
9． (12分)如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延長
線交于M，RQ、DB的延長線交于N，RP、DC的延長線交于K，
求證：M、N、K三點共線．
證明 ∵M∈PQ，直線PQ面PQR，M∈BC，直線BC面BCD，
∴M是平面PQR與平面BCD的一個公共點，
即M在面PQR與面BCD的交線l上．
同理可證N、K也在l上．∴M、N、K三點共線
26、．
B組 專項能力提升
(時間：25分鐘，滿分：43分)
一、選擇題(每小題5分，共15分)
1. 如圖，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，
C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過 ( )
A．點A
B．點B
C．點C但不過點M
D．點C和點M
答案 D
解析 ∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
根據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上．
同理可知，點C也在γ與β的交線上．
2． 已知空間中有三條線段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是
27、 ( )
A．AB∥CD
B．AB與CD異面
C．AB與CD相交
D．AB∥CD或AB與CD異面或AB與CD相交
答案 D
解析 若三條線段共面，如果AB、BC、CD構(gòu)成等腰三角形，則直線AB與CD相交，否則直線AB與CD平行；若不共面，則直線AB與CD是異面直線，故選D.
3． 以下四個命題中
①不共面的四點中，其中任意三點不共線；
②若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則點A、B、C、D、E共面；
③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；
④依次首尾相接的四條線段必共面．
正確命題的個數(shù)是 ( )
A
28、．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析?、偌僭O(shè)其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面．這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以①正確．②從條件看出兩平面有三個公共點A、B、C，但是若A、B、C共線，則結(jié)論不正確；③不正確；④不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形．
二、填空題(每小題5分，共15分)
4． 在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號)
答案?、冖?
解析 圖①中，直線GH∥MN；
圖②中，
29、G、H、N三點共面，但M?面GHN，
因此直線GH與MN異面；
圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；
圖④中，G、M、N共面，但H?面GMN，
因此GH與MN異面．
所以圖②、④中GH與MN異面．
5. 如圖是正四面體的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、
EC的中點，在這個正四面體中，
①GH與EF平行；
②BD與MN為異面直線；
③GH與MN成60°角；
④DE與MN垂直．
以上四個命題中，正確命題的序號是________．
答案?、冖邰?
解析 還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥
30、MN.
6． (xx·四川)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是棱CD、
CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是________．
答案 90°
解析 如圖，取CN的中點K，連接MK，則MK為△CDN的中位線，
所以MK∥DN.
所以∠A1MK為異面直線A1M與DN所成的角．
連接A1C1，AM.設(shè)正方體棱長為4，
則A1K＝＝，
MK＝DN＝＝，
A1M＝＝6，
∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90°.
三、解答題
7． (13分)如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中
心，H為直線B1D與平面ACD1的交點．求證：D1、H、O三點共線．
證明 連接BD，B1D1，
則BD∩AC＝O，
∵BB1綊DD1，∴四邊形BB1D1D為平行四邊形，又H∈B1D，
B1D平面BB1D1D，
則H∈平面BB1D1D，
∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.
即D1、H、O三點共線．
2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.3空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系教案 理 新人教A版
