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1、2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(重點、潛能班)
一、選擇題
1、“”是“”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
2、下列說法中,正確的是( )
A.命題“若,則”的逆命題是真命題
B.命題“存在,”的否定是:“任意,”
C.命題“p或q”為真命題,則命題“p”和命題“q”均為真命題
D.命題“若,則”的否命題是“若,則”
3、在空間直角坐標(biāo)系中,點關(guān)于XOY面對稱的點的坐標(biāo)是( )
A. B.
C. D.
4、下列命
2、題中,正確的是( )
A.若,,則 B.若,則
C.若,則 D.若,,則
5、已知向量,,且與互相垂直,則的值是( )
A.1 B. C. D.
6、拋物線(其中)的頂點的軌跡是( )A.圓 B.橢圓 C. 拋物線 D. 雙曲線
7、已知橢圓的離心率為,則實數(shù)等于( )
A.2 B.2或 C.或6 D.2或8
8
3、、在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,平面OAB的法向量為=(2, –2, 1), 已知P(-1, 3, 2),則P到平面OAB的距離等于 ( ?。?
A.4 B.2 C.3 D.1
9、在極坐標(biāo)系中,點到圓的圓心的距離為( )
A.2 B. C. D.
10、設(shè)雙曲線的一個焦點為,虛軸的一個端點為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
11、
4、函數(shù)的最大值是( )
A.6 B.2 C.5 D.2
12、斜率為2的直線L經(jīng)過拋物線的焦點F,且交拋物線與A、B兩點,若AB的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離1,則P的值為( ).
A.1 B. C. D.
二、填空題
13、不等式的解集為__________________.
14、已知實數(shù)x、y、z滿足x+2y+3z=1,則x2+y2+z2的最小值為 .
15、設(shè)動點P在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1
5、上,以D為原點如圖建立空間直角坐標(biāo)系,記=λ.則P點的坐標(biāo)為 ________.
16、已知,是橢圓和雙曲線的公共焦點,是它們的一個公共點,且,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率,則 .
三、解答題
17、在平面直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線的普通方程;
(2)設(shè)直線與圓相交于,兩點,求的值.
18、給定兩個命題, :對任意實數(shù)都有恒成立;
:關(guān)于的方程有實數(shù)根;如果“”為假,且“”為真,求實數(shù)的取值范圍。
19、設(shè)函數(shù)的最小值為.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)
6、已知兩個正數(shù)m,n滿足,求的最小值.
20、如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為AB與BB1的中點,
(Ⅰ)求證:EF⊥平面A1D1B ;
(Ⅱ)求二面角F-DE-C的平面角的余弦值.
21、如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,,,且.
(Ⅰ)求證:平面ABCD;
(Ⅱ)棱PD上是否存在一點E,使直線EC與平面BCD所成的角是?若存在,求PE的長;若不存在,請說明理由.
18.對任意實數(shù)都有恒成立或;
關(guān)于的方程有實數(shù)根;
由于“”為
7、假,且“”為真,則與一真一假;
(1)如果真,且假,有;
(2)如果真,且假,有。
所以實數(shù)的取值范圍為:。
19.(Ⅰ),
當(dāng)x∈(-∞,0]時,f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈[0,+∞)時,f(x)單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x=0時,f(x)的最小值a=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知m2+n2=1,由m2+n2≥2mn,得,
則,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
所以的最小值為.
20.以D為原點,分別以DA、DC、DD1所在直線為X、Y、Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示),設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2,則E(2,1,0),F(xiàn)(2,2,1),
A1(2,0,
8、2),D1(0,0,2),B(2,2,0);=(0,1,1),
=(-2,0,0),=(0,2,-2).
由?=0,?=0 ,可得 EF⊥A1D1,
EF⊥A1B,∴EF⊥平面A1D1B
(2)平面CDE的法向量為=(0,0,2),設(shè)平面DEF的法向量為 =(x,y,z),由?=0,?=0 ,解得2 x= - y=z,
可取 =(1,-2,2),設(shè)二面角F-DE-C大小為θ,
∴cosθ===,
即二面角F—DE—C的余弦值為
21.(Ⅰ)證明:在正方形中,.
因為,,
所以 平面. 因為 平面,
所以 . 同
9、理,.
因為 , 所以 平面.
(Ⅱ)存在.
分別以,,所在的直線分別為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
由題意可得:,,,.
若棱上存在點滿足條件,設(shè),.
所以.
因為平面的一個法向量為.
所以.
令解得:.
經(jīng)檢驗.
所以棱上存在點,使直線與平面所成的角是,此時的長為.
22.(Ⅰ)由題意知,雙曲線的焦點坐標(biāo)為,離心率為,
設(shè)橢圓方程:,則
,,
,
橢圓方程為:.
(Ⅱ)解法一:設(shè),
為弦的中點,,
由題意:,得
,
,
此時直線方程為:,即,
故所求弦所在的直線方程為. 12分
解法二:由題意可知,直線斜率必存在.設(shè)所求直線方程為:,
由,得,(*)
設(shè), 為弦的中點,,
,,
故所求弦所在的直線方程為:,即.