2022年高考數學二輪專題復習 提能增分篇 突破三 大題沖關-解答題的應對技巧 壓軸題沖關系列3 文

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1、2022年高考數學二輪專題復習 提能增分篇 突破三 大題沖關-解答題的應對技巧 壓軸題沖關系列3 文 1．(xx·貴州七校聯考)已知中心在原點O，左焦點為F1(－1,0)的橢圓C的左頂點為A，上頂點為B，F1到直線AB的距離為|OB|. (1)求橢圓C的方程； (2)若橢圓C1方程為：＋＝1(m＞n＞0)，橢圓C2方程為：＋＝λ(λ＞0，且λ≠1)，則稱橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓．已知C2是橢圓C的3倍相似橢圓，若橢圓C的任意一條切線l交橢圓C2于兩點M，N，試求弦長|MN|的取值范圍． 解：(1)設橢圓C1方程為＋＝1(a＞b＞0)， ∴直線AB方程為＋＝1， ∴F1(－1

2、,0)到直線AB距離為d＝＝b， 化為a2＋b2＝7(a－1)2， 又b2＝a2－1，解得：a＝2，b＝. ∴橢圓C1方程為＋＝1. (2)橢圓C1的3倍相似橢圓C2的方程為＋＝1. ①若切線m垂直于x軸，則其方程為x＝±2，易求得|MN|＝2. ②若切線m不垂直于x軸，可設其方程為y＝kx＋m. 將y＝kx＋m代人橢圓C1方程，得 (3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， ∴Δ＝48(4k2＋3－m2)＝0，即m2＝4k2＋3，(*) 記M，N兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)． 將y＝kx＋m代人橢圓C2方程，得 (3＋4k2)x2＋8kmx＋4

3、m2－36＝0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴|x1－x2|＝ ＝ ＝， ∴|MN|＝|x1－x2|＝ ＝2 ∵3＋4k2≥3， ∴1<1＋≤， 即2<2≤4， 綜合①②，得弦長|MN|的取值范圍為[2，4 ]． 2．(xx·廣西三市模擬)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋＝0相切． (1)求橢圓C的方程； (2)若過點M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點 A，B，設P為橢圓上一點，且滿足＋＝t( O為坐標原點)，當|－|<時，求實數t的取值范圍． 解：(1)由題意知，e＝＝， 所以e2＝＝＝，即

4、a2＝2b2. 又∵以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋＝0相切， ∴b＝＝1，則a2＝2. 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)由題意知直線AB的斜率存在． 設AB的方程為y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)， 由 得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0. Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－2)＞0， 解得k2<， 且x1＋x2＝，x1x2＝. ∵＋＝t， ∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)． 當t＝0時，不滿足|－|<； 當t≠0時，解得x＝＝， y＝＝＝， ∵點P在橢圓＋y2＝1上， ∴＋2×＝2，

5、 化簡，得16k2＝t2(1＋2k2)， ∵|－|<， ∴|x1－x2|<， 化簡，得(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<， ∴(1＋k2)<， ∴(4k2－1)(14k2＋13)＞0， 解得k2>， 即

6、(x)x2，求證：當x＞0時，k(x)＜＋. 解：(1)由題意知，f′(x)＝， 故f(1)＝ln(1＋a)＋b＝0， f′(1)＝－[ln(1＋a)＋b]＝1， 解得a＝b＝0. (2)①g(x)＝f(ex)＝，g′(x)＝， 則當x＞1時，g′(x)＜0， 當x＜1時，g′(x)＞0. 故g(x)的單調增區(qū)間是(－∞，1)， 單調減區(qū)間是(1，＋∞)． ②證明：h(x)＝＝， h′(x)＝， k(x)＝2h′(x)x2＝. 由①知，當x＞0時，∈， 設m(x)＝1－2xln x－2x， m′(x)＝－2ln x－4＝－2(ln x＋2)， 故m(x)在上單調

7、遞增， 在上單調遞減， 故m(x)max＝m＝1＋且g(x)與m(x)不于同一點取等號， 故k(x)＜＝＋. 4．(xx·河北石家莊二模)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)經過點，離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)不垂直于坐標軸的直線l與橢圓C交于A，B兩點，以AB為直徑的圓過坐標原點，且線段AB的垂直平分線交y軸于點P，求直線l的方程． 解：(1)由題意得 解得 所以橢圓C的方程是＋y2＝1. (2)解法一：設直線的方程設為y＝kx＋t，設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯立消去y，得 (1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0， 則有x1＋x2＝，x

8、1x2＝， Δ>0?4k2＋2>t2， y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝， y1y2＝(kx1＋t)(kx2＋t)＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2 ＝k2＋kt＋t2＝. 因為以AB為直徑的圓過坐標原點， 所以·＝0?x1x2＋y1y2＝0. x1x2＋y1y2＝＋＝0?5t2＝4＋4k2， Δ>0?4k2＋1>t2?t<－或t>. 又設A，B的中點為D(m，n)，則 m＝＝， n＝＝. 因為直線PD與直線l垂直， 所以kPD＝－＝得＝， 由 解得 當t＝－時，Δ>0不成立． 當t＝1時，k＝±， 所以直線l的方程為y＝x

9、＋1或y＝－x＋1. 解法二：設直線的l斜率為k，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為D(x0，y0)， 所以k＝，x0＝，y0＝. 由題意 ①－②，得＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0?＋＝0?＋k＝0， 又因為直線PD與直線l垂直， 所以·k＝－1. 由 解得 設直線l的方程設為y－y0＝k(x－x0)， 得y＝kx＋2k2＋， 聯立消去y，得 (1＋4k2)x2＋4k(k2＋1)x＋(4k2＋1)2－4＝0， x1＋x2＝2x0＝－4k， x1x2＝， y1y2＝k2－2k2(4k2＋1)＋2 ＝. 因為以AB為直徑的圓過坐標原點， 所以·＝0?x1x2＋y1y2＝0. x1x2＋y1y2＝＋＝0. ?5(4k2＋1)2＝16(1＋k2)． 解得k＝±， 所以直線l的方程為y＝x＋1或y＝－x＋1.