2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測(cè) 第八章 立體幾何階段測(cè)試(十一)理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測(cè) 第八章 立體幾何階段測(cè)試(十一)理 新人教A版 一、選擇題 1.已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成的二面角的大小為(  ) A. B.π C.或π D.不能確定 答案 C 解析 cos〈m,n〉==,∴〈m,n〉=. ∴兩平面所成二面角的大小為或. 2.(xx·廣東)已知向量a=(1,0,-1),則下列向量中與a成60°夾角的是(  ) A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1) 答案 B 解析 各選項(xiàng)給出的向量的模都是,|a|=.

2、對(duì)于選項(xiàng)A,設(shè)b=(-1,1,0),則cos〈a,b〉===-.因?yàn)?°≤〈a,b〉≤180°,所以〈a,b〉=120°. 對(duì)于選項(xiàng)B,設(shè)b=(1,-1,0),則cos〈a,b〉===.因?yàn)?°≤〈a,b〉≤180°,所以〈a,b〉=60°,正確. 對(duì)于選項(xiàng)C,設(shè)b=(0,-1,1),則cos〈a,b〉===-.因?yàn)?°≤〈a,b〉≤180°,所以〈a,b〉=120°. 對(duì)于選項(xiàng)D,設(shè)b=(-1,0,1),則cos〈a,b〉===-1.因?yàn)?°≤〈a,b〉≤180°,所以〈a,b〉=180°.故選B. 3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC1的中點(diǎn),則DE與平面BCC

3、1B1所成角的正切值為(  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,以D為原點(diǎn),以DA為x軸,以DC為y軸,以DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系, ∵E為BC1的中點(diǎn), ∴D(0,0,0),E(1,2,1), ∴=(1,2,1), 設(shè)DE與平面BCC1B1所成角的平面角為θ, ∵平面BCC1B1的法向量n=(0,1,0), ∴sin θ=|cos〈,n〉|=||=, ∴cos θ= =,∴tan θ==. 4.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=AA1=4,點(diǎn)D是AA1的中點(diǎn),則點(diǎn)A1到平面DBC1的距離是(

4、  ) A. B. C. D. 答案 A 解析 過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線為x軸,以AC為y軸,以AA1為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, ∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=AA1=4,點(diǎn)D是AA1的中點(diǎn), ∴B(2,2,0),C1(0,4,4),D(0,0,2),A1(0,0,4), ∴=(2,2,-2),=(0,4,2),=(0,0,2), 設(shè)平面BDC1的法向量為n=(x,y,z), ∵n·=0,n·=0, ∴∴n=(,-1,2), ∴點(diǎn)A1到平面DBC1的距離d===.故選A. 5.如圖,正方體AC1的棱長(zhǎng)為1,過(guò)點(diǎn)A作平面A1BD的垂線,垂足為H,

5、則以下命題中,錯(cuò)誤的命題是(  ) A.點(diǎn)H是△A1BD的垂心 B.AH垂直于平面CB1D1 C.AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C1 D.直線AH和BB1所成角為45° 答案 D 解析 △A1BD為正三角形,其重心、外心、中心合一. ∵AB=AA1=AD,∴H到△A1BD各頂點(diǎn)的距離相等,∴A正確;∵CD1∥BA1,CB1∥DA1,CD1∩CB1=C,BA1∩DA1=A1,∴平面CB1D1∥平面A1BD,∴AH⊥平面CB1D1,∴B正確;連接AC1,則AC1⊥B1D1,∵B1D1∥BD,∴AC1⊥BD,同理AC1⊥BA1,∴AC1⊥平面A1BD,∴A、H、C1三點(diǎn)共線,∴C正確,故選D.

6、 二、填空題 6.若a、b是直線,α、β是平面,a⊥α,b⊥β,向量m在a上,向量n在b上,m=(0,3,4),n=(3,4,0),則α、β所成二面角中較小的一個(gè)余弦值為________. 答案  解析 由題意,∵m=(0,3,4),n=(3,4,0), ∴cos〈m,n〉===, ∵a⊥α,b⊥β,向量m在a上,向量n在b上, ∴α、β所成二面角中較小的一個(gè)余弦值為. 7.(xx·北京)如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段D1E上,點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為________. 答案  解析 取B1C1中點(diǎn)E1,連接E1E,

7、D1E1,過(guò)P作PH⊥D1E1,連接C1H.∴EE1⊥平面A1B1C1D1,PH∥EE1, ∴PH⊥底面A1B1C1D1, ∴P到C1C的距離為C1H. 當(dāng)點(diǎn)P在線段D1E上運(yùn)動(dòng)時(shí),最小值為C1到線段D1E1的距離.在Rt△D1C1E1中,邊D1E1上的高h(yuǎn)==. 8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為________. 答案  解析 如圖所示,以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)棱長(zhǎng)為1,則A1(0,0,1),E(1,0,),D(0,1,0), ∴=(0,1,-1), =(1,0,-). 設(shè)平面A1ED

8、的法向量為n1=(1,y,z), 則∴∴n1=(1,2,2). ∵平面ABCD的一個(gè)法向量為n2=(0,0,1), ∴cos〈n1,n2〉==, 即所求的銳二面角的余弦值為. 三、解答題 9.在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,F(xiàn)C⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF. (1)求證:BD⊥平面AED; (2)求二面角F-BD-C的余弦值. (1)證明 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°, 所以∠ADC=∠BCD=120°. 又CB=CD,所以∠CDB=30°, 因此∠ADB=90°,即AD⊥BD.

9、 又AE⊥BD,且AE∩AD=A,AE?平面AED,AD?平面AED, 所以BD⊥平面AED. (2)解 由(1)知AD⊥BD,所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD,因此CA,CB,CF兩兩垂直. 以C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以CA,CB,CF所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)CB=1, 則C(0,0,0),B(0,1,0),D,F(xiàn)(0,0,1). 因此=,=(0,-1,1). 設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為m=(x,y,z), 則m·=0,m·=0,所以x=y(tǒng)=z, 取z=1,則m=(,1,1). 由于=(0,0,1)是平面BDC的一個(gè)法向量, 則c

10、os〈m,〉===, 所以二面角F-BD-C的余弦值為. 10.如圖所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,D為AB邊的中點(diǎn),且CC1=2AB. (1)求證:AC1∥平面CDB1; (2)求點(diǎn)B到平面B1CD的距離; (3)求二面角A-CD-B1的正切值. (1)證明 連接BC1交B1C于點(diǎn)O,連接DO. 則O是BC1的中點(diǎn),DO是△BAC1的中位線, 所以DO∥AC1. 因?yàn)镈O?平面CDB1,AC1?平面CDB1, 所以AC1∥平面CDB1. (2)解 因?yàn)镃C1⊥平面ABC,所以BB1⊥平面ABC, 所以BB1為

11、三棱錐B1-CBD的高, 所以=S△BCD·BB1=××4=. 又可求CD=,B1D=,且易知CD⊥平面ABB1A1,所以CD⊥DB1. 故=·h=, 即×××h=,解得h=. 即點(diǎn)B到平面B1CD的距離為. (3)解 以,,過(guò)點(diǎn)D且垂直于平面ABC向上的向量分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 則點(diǎn)D(0,0,0),C(,0,0),B1(0,-1,4), 所以=(,0,0),=(0,-1,4). 設(shè)平面CDB1的一個(gè)法向量為n1=(x,y,z), 由得 令z=1,得n1=(0,4,1). 又易知平面ACD的一個(gè)法向量為n2=(0,0,1). 設(shè)二面角A-CD-B1的平面角為θ,觀察圖形,可得 cos θ=-=-=-. 所以sin θ==. 故tan θ==-4. 即二面角A-CD-B1的正切值為-4.

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