2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第十二章 第3講 數(shù)學(xué)歸納法 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第十二章 第3講 數(shù)學(xué)歸納法 理 新人教A版 一、選擇題 1. 利用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*)”時,在驗(yàn)證n=1成立時,左邊應(yīng)該是(  ) A 1        B 1+a C 1+a+a2 D 1+a+a2+a3 解析 當(dāng)n=1時,左邊=1+a+a2,故選C. 答案 C 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”,在第二步時,正確的證法是 (  

2、). A.假設(shè)n=k(k∈N+),證明n=k+1命題成立 B.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù)),證明n=k+1命題成立 C.假設(shè)n=2k+1(k∈N+),證明n=k+1命題成立 D.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù)),證明n=k+2命題成立 解析 A、B、C中,k+1不一定表示奇數(shù),只有D中k為奇數(shù),k+2為奇數(shù). 答案 D 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+-+…+-=++…+,則當(dāng)n=k+1時,左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上 (  ). A. B.- C.- D.+ 解析 ∵當(dāng)n=k時,左側(cè)=1-+-+…+-,當(dāng)n=k+1時, 左側(cè)=1-+-+…+-+-. 答案 C

3、 4.對于不等式

4、-1 C.2(2+7k+1) D.3(2+7k) 解析 (1)當(dāng)k=1時,顯然只有3(2+7k)能被9整除. (2)假設(shè)當(dāng)k=n(n∈N*)時,命題成立,即3(2+7n)能被9整除, 那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36. 這就是說,k=n+1時命題也成立. 由(1)(2)可知,命題對任何k∈N*都成立. 答案 D 6.已知1+2×3+3×32+4+33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c對一切n∈N*都成立,則a、b、c的值為 (  ). A.a(chǎn)=,b=c= B.a(chǎn)=b=c= C.a(chǎn)=0,b=c=

5、 D.不存在這樣的a、b、c 解析 ∵等式對一切n∈N*均成立,∴n=1,2,3時等式成立,即 整理得 解得a=,b=c=. 答案 A 二、填空題 7.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式++…+>的過程中,由n=k推導(dǎo)n=k+1時,不等式的左邊增加的式子是________. 解析 不等式的左邊增加的式子是+-=,故填. 答案  8. 用數(shù)學(xué)歸納法證明: ++…+=;當(dāng)推證當(dāng)n=k+1等式也成立時,用上歸納假設(shè)后需要證明的等式是     . 解析 當(dāng)n=k+1時, ++…++ =+ 故只需證明+ =即可. 答案 += 9.已知整數(shù)對的序列如下:(1,1),(1,

6、2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,則第60個數(shù)對是________. 解析 本題規(guī)律:2=1+1;3=1+2=2+1; 4=1+3=2+2=3+1; 5=1+4=2+3=3+2=4+1; …; 一個整數(shù)n所擁有數(shù)對為(n-1)對. 設(shè)1+2+3+…+(n-1)=60,∴=60, ∴n=11時還多5對數(shù),且這5對數(shù)和都為12, 12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7, ∴第60個數(shù)對為(5,7). 答案 (5,7) 10.在數(shù)列{an}中,a1=且Sn=n(2n-1)a

7、n,通過計算a2,a3,a4,猜想an的表達(dá)式是________. 解析 當(dāng)n=2時,a1+a2=6a2,即a2=a1=; 當(dāng)n=3時,a1+a2+a3=15a3, 即a3=(a1+a2)=; 當(dāng)n=4時,a1+a2+a3+a4=28a4, 即a4=(a1+a2+a3)=. ∴a1==,a2==,a3==,a4=, 故猜想an=. 答案 an= 三、解答題 11.已知Sn=1+++…+(n>1,n∈N*),求證:S2n>1+(n≥2,n∈N*). 證明 (1)當(dāng)n=2時,S2n=S4=1+++=>1+,即n=2時命題成立; (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時命題成

8、立,即S2k=1+++…+>1+, 則當(dāng)n=k+1時,S2k+1=1+++…+++…+>1++++…+>1++=1++=1+, 故當(dāng)n=k+1時,命題成立. 由(1)和(2)可知,對n≥2,n∈N*.不等式S2n>1+都成立. 12.已知數(shù)列{an}:a1=1,a2=2,a3=r,an+3=an+2(n∈N*),與數(shù)列{bn}:b1=1,b2=0,b3=-1,b4=0,bn+4=bn(n∈N*).記Tn=b1a1+b2a2+b3a3+…+bnan. (1)若a1+a2+a3+…+a12=64,求r的值; (2)求證:T12n=-4n(n∈N*). (1)解 a1+a2+a3+…+

9、a12=1+2+r+3+4+(r+2)+5+6+(r+4)+7+8+(r+6)=48+4r. ∵48+4r=64,∴r=4. (2)證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n∈N*時,T12n=-4n. ①當(dāng)n=1時,T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4,故等式成立. ②假設(shè)n=k時等式成立,即T12k=-4k,那么當(dāng)n=k+1時, T12(k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11=-4k+(8k+1)-(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8)=-4k-4=-4(k+1),等式也成立.

10、根據(jù)①和②可以斷定:當(dāng)n∈N*時,T12n=-4n. 13.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=a-2nan+2,n=1,2,3,… (1)求a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(不需證明); (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,試求使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n,并給出證明. 解 (1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想an=2n+1. (2)Sn==n2+2n,使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n=6. 下證:n≥6(n∈N*)時都有2n>n2+2n. ①n=6時,26>62+2×6,即64>48成立; ②假設(shè)n=k(k≥6,k∈N*)時,2k>k2+2k成

11、立,那么2k+1=2·2k>2(k2+2k)=k2+2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1),即n=k+1時,不等式成立; 由①、②可得,對于所有的n≥6(n∈N*) 都有2n>n2+2n成立. 14.?dāng)?shù)列{xn}滿足x1=0,xn+1=-x+xn+c(n∈N*). (1)證明:{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0; (2)求c的取值范圍,使{xn}是遞增數(shù)列. (1)證明 先證充分性,若c<0,由于xn+1=-x+xn+c≤xn+c

12、}是遞增數(shù)列. 由x1=0,得x2=c,x3=-c2+2c. 由x10,即xn<1-. 由②式和xn≥0還可得,對任意n≥1都有-xn+1≤(1-)(-xn).③ 反復(fù)運(yùn)用③式,得 -xn≤(1-)n-1(-x1)<(1-)n-1, xn<1-和 -xn<(1-)n-1兩式相加,知 2-1<(1-)n-1對任意n≥1成立. 根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=(1-)n的性質(zhì),得 2-1≤0,c≤,故00,即證xn<對任意n≥1成立. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)0xn,即{xn}是遞增數(shù)列. 由①②知,使得數(shù)列{xn}單調(diào)遞增的c的范圍是.

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