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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第四章 三角函數(shù)、解三角形階段測試（六）理 新人教A版
一、選擇題
1．設(shè)α，β為鈍角，且sin α＝，cos β＝，則α＋β的值為( )
A.π B.π
C.π D.π或π
答案 C
解析 ∵α，β為鈍角，sin α＝，cos β＝，
∴cos α＝－，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0，
又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β＝.
2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，則A等于( )
A．30° B．60° C．
2、120° D．150°
答案 A
解析 ∵sin C＝2sin B，由正弦定理得c＝2b，
∴cos A＝＝
＝＝，
又A為三角形的內(nèi)角，∴A＝30°.
3．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若三邊的長為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A>B>C,3b＝20acos A，則sin A∶sin B∶sin C為( )
A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
答案 D
解析 由題得a>b>c，且為連續(xù)正整數(shù)，
設(shè)c＝n，b＝n＋1，a＝n＋2(n>1且n∈N*)，
則由余弦定理得3(n＋1)＝20(n＋2)·，
化簡得7n2－13n－
3、60＝0，n∈N＋，解得n＝4，
由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝6∶5∶4.
4．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且2S＝(a＋b)2－c2，則tan C等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 C
解析 由2S＝(a＋b)2－c2得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，
即2×absin C＝a2＋b2＋2ab－c2，
所以absin C－2ab＝a2＋b2－c2，
又cos C＝＝＝－1，
所以cos C＋1＝，即2cos2＝sin cos ，
因?yàn)镃∈(0，π)，所以∈(0，)，所以c
4、os ≠0，
所以tan＝2，即tan C＝＝＝－.
5．一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時(shí)( )
A．5海里 B．5海里
C．10海里 D．10海里
答案 C
解析 如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，
所以∠CAD＝∠CDA＝15°，
從而CD＝CA＝10.
在Rt△ABC中，得AB＝5，
于是這艘船的速度是＝10(海里/小時(shí))．
二、填空題
6．設(shè)α為銳角，若cos(α＋)＝，則sin(2α＋)的值為__
5、______．
答案
解析 ∵α為銳角，cos(α＋)＝，∴sin(α＋)＝，
sin(2α＋)＝2sin(α＋)·cos(α＋)＝，
cos(2α＋)＝2cos2(α＋)－1＝，
∴sin(2α＋)＝sin(2α＋－)
＝[sin(2α＋)－cos(2α＋)]＝.
7．設(shè)f(x)＝＋sin x＋a2sin(x＋)的最大值為＋3，則常數(shù)a＝________.
答案 ±
解析 f(x)＝＋sin x＋a2sin(x＋)
＝cos x＋sin x＋a2sin(x＋)
＝sin(x＋)＋a2sin(x＋)
＝(＋a2)sin(x＋)．依題意有＋a2＝＋3，
∴a＝±.
6、8．在△ABC中，已知a，b，c分別為A，B，C所對的邊，S為△ABC的面積．若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(，S)滿足p∥q，則C＝________.
答案
解析 由題意得p∥q?4S＝(a2＋b2－c2)，
又S＝absin C，所以2absin C＝(a2＋b2－c2)?sin C＝()?sin C＝cos C?tan C＝，解得C＝.
三、解答題
9．已知函數(shù)f(x)＝2sin x·cos2＋cos xsin φ－sin x(0<φ<π)在x＝π處取最小值．
(1)求φ的值；
(2)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知a＝1，b＝，f(A)＝
7、，求角C.
解 (1)f(x)＝2sin x·＋cos xsin φ－sin x
＝sin x＋sin xcos φ＋cos xsin φ－sin x
＝sin xcos φ＋cos xsin φ＝sin(x＋φ)．
因?yàn)閒(x)在x＝π處取最小值，
所以sin(π＋φ)＝－1，所以sin φ＝1.
因?yàn)?<φ<π，所以φ＝.
(2)由(1)，知f(x)＝sin(x＋)＝cos x.
由f(A)＝，得cos A＝.
因?yàn)榻茿是△ABC的內(nèi)角，所以角A＝.
由正弦定理＝，
得＝，所以sin B＝.
因?yàn)閎>a，所以B＝或B＝.
當(dāng)B＝時(shí)，C＝π－A－B＝π－－＝；
當(dāng)
8、B＝時(shí)，C＝π－A－B＝π－－＝.
故C＝或C＝.
10．設(shè)函數(shù)f(x)＝2sin2(ωx＋)＋2cos2ωx(ω>0)的圖象上兩個(gè)相鄰的最低點(diǎn)之間的距離為.
(1)求函數(shù)f(x)的最大值，并求出此時(shí)的x值；
(2)若函數(shù)y＝g(x)的圖象是由y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再沿y軸翻折后得到，求y＝g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．
解 (1)f(x)＝2sin2(ωx＋)＋2cos2ωx
＝1－cos(2ωx＋)＋1＋cos 2ωx
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋2＝sin(2ωx＋)＋2.
由題意知，函數(shù)f(x)的最小正周期為，則＝，
故ω的值為，所以函數(shù)f(x)＝sin(3x＋)＋2，
所以函數(shù)f(x)的最大值為＋2，
此時(shí)3x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝＋(k∈Z)．
(2)將y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度得h(x)＝sin[3(x－)＋]＋2＝sin(3x－)＋2的圖象，再沿y軸翻折后得到g(x)＝sin(－3x－)＋2＝－sin(3x＋)＋2的圖象，易知函數(shù)y＝g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，即為y＝sin(3x＋)的單調(diào)遞增區(qū)間，
由2kπ－≤3x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得－≤x≤＋(k∈Z)．
故y＝g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[－，＋](k∈Z)．
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