2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第五章 第3講 平面向量的數(shù)量積 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第五章 第3講 平面向量的數(shù)量積 理 新人教A版 一、選擇題 1.若向量a,b,c滿足a∥b且a⊥c,則c·(a+2b)=(  ) A.4            B.3 C.2 D.0 解析 由a∥b及a⊥c,得b⊥c, 則c·(a+2b)=c·a+2c·b=0. 答案 D 2.若向量a與b不共線,a·b≠0,且c=a-b,則向量a與c的夾角為(  ) A.0 B. C. D. 解析 ∵a·c=

2、a· =a·a-a·b=a2-a2=0, 又a≠0,c≠0,∴a⊥c,∴〈a,c〉=,故選D. 答案 D 3.若向量a,b,c滿足a∥b,且a⊥c,則c·(a+2b)= (  ). A.4 B.3 C.2 D.0 解析 由a∥b及a⊥c,得b⊥c,則c·(a+2b)=c·a+2c·b=0. 答案 D 4.已知△ABC為等邊三角形,AB=2.設(shè)點P,Q滿足=λ,=(1-λ),λ∈R.若·=-,則λ等于 (  ). A. B. C. D. 解析 以點A為坐標原點,AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系,則B(2,0),C(1

3、,),由=λ,得P(2λ,0),由=(1-λ),得Q(1-λ,(1-λ)),所以·=(-λ-1,(1-λ))·(2λ-1,-)=-(λ+1)(2λ-1)-×(1-λ)=-,解得λ=.] 答案 A 5.若a,b,c均為單位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,則|a+b-c|的最大值為(  ). A.-1 B.1 C. D.2 解析 由已知條件,向量a,b,c都是單位向量可以求出,a2=1,b2=1,c2=1,由a·b=0,及(a-c)(b-c)≤0,可以知道,(a+b)·c≥c2=1,因為|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c

4、-2b·c,所以有|a+b-c|2=3-2(a·c+b·c)≤1, 故|a+b-c|≤1. 答案 B 6.對任意兩個非零的平面向量α和β,定義αβ=.若平面向量a,b滿足|a|≥|b|>0,a與b的夾角θ∈,且ab和ba都在集合中,則ab= (  ). A. B.1 C. D. 解析 由定義αβ=可得ba===,由|a|≥|b|>0,及θ∈得0<<1,從而=,即|a|=2|b|cos θ.ab====2cos2θ,因為θ∈,所以

5、填空題 7. 已知向量a,b均為單位向量,若它們的夾角是60°,則|a-3b|等于________. 解析 ∵|a-3b|2=a2-6a·b+9b2=10-6×cos60°=7,∴|a-3b|=. 答案 8. 已知向量, ,若,則的值為 . 解析 答案 9. 如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,點E為BC的中點,點F在邊CD上,若·=,則·的值是________. 解析 以A點為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立直角坐標系xOy,則=(,0),=(,1), 設(shè)F(t,2),則=(t,2). ∵·=t=,∴t=1, 所以·=(,1)·(1

6、-,2)=. 答案  10.已知向量a,b,c滿足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,則|a|2+|b|2+|c|2的值是________. 解析 由已知a·c-b·c=0,a·b=0,|a|=1, 又a+b+c=0,∴a·(a+b+c)=0,即a2+a·c=0, 則a·c=b·c=-1, 由a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0, 即a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=0, ∴a2+b2+c2=-4c·a=4, 即|a|2+|b|2+|c|2=4. 答案 4 三、解答題 11.已知向量a=(1,2),b=(2,-2). (1)設(shè)c=4a

7、+b,求(b·c)a; (2)若a+λb與a垂直,求λ的值; (3)求向量a在b方向上的投影. 解 (1)∵a=(1,2),b=(2,-2), ∴c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6). ∴b·c=2×6-2×6=0,∴(b·c) a=0a=0. (2) a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(2λ+1,2-2λ), 由于a+λb與a垂直, ∴2λ+1+2(2-2λ)=0,∴λ=. (3)設(shè)向量a與b的夾角為θ, 向量a在b方向上的投影為|a|cos θ. ∴|a|cos θ===-=-. 12.在平面直角坐標系xOy中,已知點A(-1,-2),B(2,3

8、),C(-2,-1). (1)求以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長; (2)設(shè)實數(shù)t滿足(-t)·=0,求t的值. 解 (1)由題設(shè)知=(3,5),=(-1,1),則 +=(2,6),-=(4,4). 所以|+|=2,|-|=4. 故所求的兩條對角線長分別為4,2. (2)由題設(shè)知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t). 由(-t)·=0, 得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0, 從而5t=-11,所以t=-. 13.設(shè)兩向量e1,e2滿足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夾角為60°,若向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角

9、,求實數(shù)t的取值范圍. 解 由已知得e=4,e=1,e1·e2=2×1×cos 60°=1. ∴(2te1+7e2)·(e1+te2)=2te+(2t2+7)e1·e2+7te=2t2+15t+7. 欲使夾角為鈍角,需2t2+15t+7<0,得-7<t<-. 設(shè)2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0), ∴∴2t2=7.∴t=-,此時λ=-. 即t=-時,向量2te1+7e2與e1+te2的夾角為π. ∴當兩向量夾角為鈍角時,t的取值范圍是 ∪. 14. 在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知m=,n=,且滿足|m+n|=. (1)求角A的大小; (2)若||+||=||,試判斷△ABC的形狀. 解 (1)由|m+n|=,得m2+n2+2m·n=3, 即1+1+2=3, ∴cos A=.∵0

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