2022年高考數(shù)學專題復習導練測 第九章 解析幾何階段測試(十三)理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學專題復習導練測 第九章 解析幾何階段測試(十三)理 新人教A版 一、選擇題 1.若點O和點F分別為橢圓+=1的中心和左焦點,點P為橢圓上的任意一點,則·的最大值為(  ) A.2 B.3 C.6 D.8 答案 C 解析 設P(x0,y0),則+=1, 即y=3-,又∵F(-1,0). ∴·=x0·(x0+1)+y=x+x0+3 =(x0+2)2+2,又x0∈[-2,2], ∴·∈[2,6],∴(·)max=6. 2.設雙曲線的一個焦點為F,虛軸的一個端點為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為(  ) A. B.

2、C. D. 答案 D 解析 不妨設雙曲線方程為-=1 (a>0,b>0),焦點F(c,0),虛軸端點B(0,b),則漸近線方程為y=±x,直線BF的斜率k==-,∴·(-)=-1,即b2=ac,∴c2-a2=ac, 兩邊同時除以a2,可得e2-e-1=0,解得e=(負值舍去). 3.已知拋物線關于x軸對稱,它的頂點在坐標原點O,并且經(jīng)過點M(2,y0).若點M到該拋物線焦點的距離為3,則|OM|等于(  ) A.2 B.2 C.4 D.2 答案 B 解析 設拋物線方程為y2=2px,則點M(2,±2). ∵焦點,點M到該拋物線焦點的距離為3, ∴2+4p=9,解

3、得p=2(負值舍去), 故M(2,±2). ∴|OM|==2. 4.已知橢圓C:+y2=1的焦點為F1、F2,若點P在橢圓上,且滿足|PO|2=|PF1|·|PF2|(其中O為坐標原點),則稱點P為“★”點.下列結(jié)論正確的是(  ) A.橢圓C上的所有點都是“★”點 B.橢圓C上僅有有限個點是“★”點 C.橢圓C上的所有點都不是“★”點 D.橢圓C上有無窮多個點(但不是所有的點)是“★”點 答案 B 解析 設橢圓C:+y2=1上點P的坐標為(2cos α,sin α),由|PO|2=|PF1|·|PF2|,可得4cos2α+sin2α=·,整理可得cos2α=,即可得cos

4、α=±,sin α=±.由此可得點P的坐標為,即橢圓C上有4個點是“★”點. 5.已知拋物線y2=2px (p>0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點,若線段AB的中點的縱坐標為2,則該拋物線的準線方程為(  ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 答案 B 解析 設A(x1,y1),B(x2,y2),因為A、B兩點在拋物線上,得y=2px1.① y=2px2,② ①-②得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2). 又線段AB的中點的縱坐標為2,即y1+y2=4, 直線AB的斜率為1,故2p=4,p=2, 因此拋物線的準線方程為x

5、=-=-1. 二、填空題 6.已知拋物線y2=2px (p>0)的準線與圓x2+y2-6x-7=0相切,則p的值為________. 答案 2 解析 由y2=2px,得準線方程x=-,圓x2+y2-6x-7=0可化為(x-3)2+y2=16,由圓心到準線的距離等于半徑得:3+=4,∴p=2. 7.已知F1、F2是橢圓C:+=1 (a>b>0)的兩個焦點,P為橢圓C上一點,且⊥.若△PF1F2的面積為9,則b=________. 答案 3 解析 依題意,有 可得4c2+36=4a2, 即a2-c2=9,故有b=3. 8.設雙曲線-=1 (a>0,b>0)的右頂點為A,P為雙曲

6、線上的一個動點(不是頂點),若從點A引雙曲線的兩條漸近線的平行線,與直線OP分別交于Q、R兩點,其中O為坐標原點,則|OP|2與|OQ|·|OR|的大小關系為|OP|2________|OQ|·|OR|.(填“>”,“<”或“=”) 答案?。? 解析 設P(x0,y0),雙曲線的漸近線方程是y=±x,直線AQ的方程是y=(x-a),直線AR的方程是y=-(x-a),直線OP的方程是y=x,可得Q,R. 又-=1,可得|OP|2=|OQ|·|OR|. 三、解答題 9.已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為,且橢圓經(jīng)過圓C:x2+y2-4x+2y=0的圓心. (1)求橢圓的方程;

7、 (2)設直線l過橢圓的焦點且與圓C相切,求直線l的方程. 解 (1)圓C方程化為(x-2)2+(y+)2=6, 圓心C(2,-),半徑r=. 設橢圓的方程為+=1 (a>b>0), 則? 所以所求的橢圓方程是+=1. (2)由(1)得到橢圓的左,右焦點分別是F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),|F2C|==<. ∴F2在C內(nèi),故過F2沒有圓C的切線,設l的方程為y=k(x+2),即kx-y+2k=0. 點C(2,-)到直線l的距離為d=, 由d=得=. 解得:k=或k=-, 故l的方程為x-5y+2=0或x+y+2=0. 10.已知拋物線y2=4x的焦點為F,直線l過點

8、M(4,0). (1)若點F到直線l的距離為,求直線l的斜率; (2)設A,B為拋物線上兩點,且AB不垂直于x軸,若線段AB的垂直平分線恰過點M,求證:線段AB中點的橫坐標為定值. (1)解 由已知,得x=4不合題意, 設直線l的方程為y=k(x-4), 由已知,得拋物線C的焦點坐標為(1,0), 因為點F到直線l的距離為,所以=, 解得k=±,所以直線l的斜率為±. (2)證明 設線段AB中點的坐標為N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2), 因為AB不垂直于x軸,則直線MN的斜率為, 直線AB的斜率為, 直線AB的方程為y-y0=(x-x0), 聯(lián)立方程 消去x得(1-)y2-y0y+y+x0(x0-4)=0, 所以y1+y2=, 因為N為AB中點,所以=y(tǒng)0, 即=y(tǒng)0, 所以x0=2,即線段AB中點的橫坐標為定值2.

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