2022年高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試題 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試題 文（含解析）新人教A版 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。滿分為150分，考試用時為120分鐘. 第Ⅰ卷（選擇題，共50分） 【試卷綜析】試題比較平穩(wěn)，基本符合高考復(fù)習(xí)的特點，穩(wěn)中有變，變中求新,適當(dāng)調(diào)整了試卷難度，體現(xiàn)了穩(wěn)中求進(jìn)的精神.考查的知識涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等幾章知識，重視學(xué)科基礎(chǔ)知識和基本技能的考察，同時側(cè)重考察了學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和思維能力的考察，這套試題以它的知識性、思辨性、靈活性，基礎(chǔ)性充分體現(xiàn)了考素質(zhì)，考基礎(chǔ)，考方法，考潛能的檢測功能.試題中無偏題，怪題，起到了引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)向全面培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的方向發(fā)展的作

2、用. 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 【題文】1、已知全集，集合，，則等于（　 ） A.　 　B. 　　C. 　　　　D. 【知識點】交集及其運算. A1 【答案解析】A 解析：由A中的不等式變形得：2x＞1=20，解得：x＞0，即A=（0，+∞）， ∵B=（﹣4，1），∴A∩B=（0，1）．故選：A． 【思路點撥】求出A中不等式的解集確定出A，找出A與B的交集即可. 【題文】2、已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的模（　 ） A. 1　　　　　 B. 　　　　　 C．　　　　

3、　　 D.3 【知識點】復(fù)數(shù)求模. L4 【答案解析】C 解析：∵z=i（2﹣i）=2i+1，∴|z|=，故選：C． 【思路點撥】根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念直接進(jìn)行計算即可得到結(jié)論. 【題文】3、在等差數(shù)列中，已知，則（　 ） 　 A. 7　　　　　B. 8　　　　　　C. 9　　　　　　　　D. 10 【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì). D2 【答案解析】D 解析：在等差數(shù)列{an}中，∵a1+a7=10，∴a3+a5=a1+2d+a1+4d=a1+（a1+6d） =a1+a7=10．故選：D． 【思路點撥】在等差數(shù)列{an}中，由a1+a7=10，能求出a3+a5的值. 【

4、題文】4、設(shè)是兩個非零向量，則“”是“夾角為銳角”的（　 ） A.充分不必要條件　　　　　　B.必要不充分條件 C.充分必要條件　　　　　　　D.既不充分也不必要條件 【知識點】數(shù)量積的符號與兩個向量的夾角范圍的關(guān)系.充分條件；必要條件. A2 F3 【答案解析】B 解析：當(dāng) ＞0時，與的夾角＜＞可能為銳角，也可能為零角，故充分性不成立；當(dāng)與的夾角＜＞為銳角時，＞0一定成立，故必要性成立．綜上，＞0是與的夾角＜＞為銳角的必要而不充分條件，故選B． 【思路點撥】先看當(dāng) ＞0時，能否推出與的夾角＜＞是否為銳角，再看當(dāng)與的夾角＜＞為銳角時，＞0是否一定成立，然后根據(jù)充分條件、必要

5、條件的定義進(jìn)行判斷． 【題文】5、在“魅力咸陽中學(xué)生歌手大賽”比賽現(xiàn)場上七位評委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計圖如圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（　 ） A.5和1.6　　　B.85和1.6 C. 85和0.4 　　D. 5和0.4 【知識點】莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù). I2 【答案解析】B 解析：根據(jù)題意可得：評委為某選手打出的分?jǐn)?shù)還剩84，84，84，86，87， 所以所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=85，所剩數(shù)據(jù)的方差為[（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]=1.6．故選B． 【思

6、路點撥】根據(jù)均值與方差的計算公式，分別計算出所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分即可. 【題文】6、如果直線與平面滿足：那么必有（ ） A. B. C. D. 【知識點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系. G3 G4 G5 【答案解析】A 解析：∵m?α和m⊥γ?α⊥γ，∵l=β∩γ，l?γ．∴l(xiāng)⊥m，故選A． 【思路點撥】m?α和m⊥γ?α⊥γ，l=β∩γ，l?γ．然后推出l⊥m，得到結(jié)果. 【題文】2 4 1 正視圖 俯視圖 側(cè)視圖 7、如圖所示，某幾何體的正視圖（主視圖），側(cè)視圖（左視圖） 和俯視圖分別是等腰梯形，等腰直角三角形和長方

7、形，則該 幾何體體積為（　 ） A． B． C． D． 【知識點】由三視圖求面積、體積. G2 【答案解析】A 解析：由三視圖知幾何體是直三棱柱削去兩個相同的三棱錐， 由側(cè)視圖得三棱柱的底面為直角邊長為1的等腰直角三角形，三棱柱側(cè)棱長為4， ∴三棱柱的體積為=2，由正視圖與俯視圖知兩個三棱錐的高為1，∴三棱錐的體積為××1×1×1=，∴幾何體的體積V=2﹣2×=．故選A． 【思路點撥】由三視圖知幾何體是直三棱柱削去兩個相同的三棱錐，根據(jù)側(cè)視圖得三棱柱的底面為直角邊長為1的等腰直角三角形，三棱柱側(cè)棱長為4. 【題文】8、定義運算“”

8、為：兩個實數(shù)的“”運算原理如圖所示，若輸人， 則輸出（　 ） A.－2 B．0 C、2 D.4 【知識點】程序框圖. L1 【答案解析】D 解析：由程序框圖知，算法的功能是求P=的值，∵a=2cos=2cos=1＜b=2，∴P=2×（1+1）=4． 故選：D． 【思路點撥】算法的功能是求P=的值，利用三角誘導(dǎo)公式求得a、b的值，代入計算可得答案． 【題文】9、在長為12 厘米的線段上任取一點，現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等 于線段的長,則該矩形面積大于20平方厘米的概率為（　 ） A. B. C. D. 【知識點

9、】幾何概型. K3 【答案解析】C 解析：設(shè)AC=x，則BC=12﹣x，矩形的面積S=x（12﹣x）＞20 ∴x2﹣12x+20＜0，∴2＜x＜10 由幾何概率的求解公式可得，矩形面積大于20cm2的概率P==，故選C 【思路點撥】設(shè)AC=x，則BC=12﹣x，由矩形的面積S=x（12﹣x）＞20可求x的范圍，利用幾何概率的求解公式可求結(jié)論. 【題文】10、如圖，是函數(shù)圖像上一點，曲線在點處的切線交軸于點，軸，垂足為 若的面積為，則 與滿足關(guān)系式（　 ） A. B. C. D.

10、 【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． B12 【答案解析】B 解析：設(shè)A的坐標(biāo)為（a，0），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得： f'（x0）為曲線y=f（x）在x=x0處切線的斜率， 故P點處的切線方程為y﹣f（x0）=f'（x0）（x﹣x0）， 令y=0，則0﹣f（x0）=f'（x0）（x﹣x0），即x=x0﹣，即a=x0﹣， 又△PAB的面積為，∴AB?PB=，即（x0﹣a）?f（x0）=1， ∴?f（x0）=1即f'（x0）=[f（x0）]2，故選B． 【思路點撥】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：f'（x0）為曲線y=f（x）在x=x0處切線的斜率，寫出切線

11、方程，令y=0，求出A點的坐標(biāo)，分別求出AB，PB長，運用三角形的面積公式，化簡即可. 第II卷（非選擇題，共100分） 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，其中14～15題是選做題，考生只需選做其中一題，兩題全答的，只以第14小題計分． 【題文】11．函數(shù)，則＿＿＿ 【知識點】分段函數(shù)的函數(shù)值. B1 【答案解析】 解析：， 故答案為： 【思路點撥】先求，，故代入x＞0時的解析式；求出=﹣2，，再求值即可. 【題文】12. 若目標(biāo)函數(shù)在約束條件下僅在點處取得最小值，則實數(shù)的取值范圍是 . 【知識點】簡單線性規(guī)劃. E5 【答案解

12、析】（﹣4，2）． 解析：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，由z=kx+2y得y=﹣x+， 要使目標(biāo)函數(shù)z=kx+2y僅在點B（1，1）處取得最小值，則陰影部分區(qū)域在直線z=kx+2y的右上方，∴目標(biāo)函數(shù)的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直線2x﹣y=1的斜率， 即﹣1＜﹣＜2，解得﹣4＜k＜2，即實數(shù)k的取值范圍為（﹣4，2），故答案為：（﹣4，2）． 【思路點撥】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，確定目標(biāo)取最優(yōu)解的條件，即可求出k的取值范圍. 【題文】13. 已知，，且，則 ． 【知識點】兩角和與差的余弦函數(shù)；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．C5 C2 【答案解析

13、】 解析：因為cosα=，cos（α﹣β）=，且0， ∴α﹣β＞0，所以sinα==， α﹣β∈（0，），sin（α﹣β）==， cosβ=cos[（α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）== 故答案為：． 【思路點撥】通過α、β的范圍，求出α﹣β的范圍，然后求出sinα，sin（α﹣β）的值，即可求解cosβ． 【題文】14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系中圓的圓心到直線的距離是 【知識點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程. N3 【答案解析】1 解析：∵圓ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ． 化為普通方程為x2+y2=4x，即（x﹣2

14、）2+y2=4，∴圓心的坐標(biāo)為（2，0）． ∵直線θ=（ρ∈R），∴直線的方程為y=x，即x﹣y=0． ∴圓心（2，0）到直線x﹣y=0的距離=1．故答案為：1． 【思路點撥】先將極坐標(biāo)方程化為普通方程，可求出圓心的坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式即可求出答案 【題文】15．（幾何證明選講）如圖，點B在⊙O上， M為直徑AC上一點， BM的延長線交⊙O于N， ，若⊙O的半徑為，OA=OM ， 則MN的長為 【知識點】與圓有關(guān)的比例線段. N1 【答案解析】2 解析：∵∠BNA=45°，圓心角AOB和圓周角ANB對應(yīng)著相同的一段弧， ∴∠AOB=90°，

15、∵⊙O的半徑為2，OA=OM，∴OM=2， 在直角三角形中BM==4，∴根據(jù)圓內(nèi)兩條相交弦定理有4MN=（2+2）（2﹣2）， ∴MN=2， 故答案為：2 【思路點撥】根據(jù)圓心角AOB和圓周角ANB對應(yīng)著相同的一段弧，得到角AOB是一個直角，根據(jù)所給的半徑的長度和OA，OM之間的關(guān)系，求出OM的長和BM的長，根據(jù)圓的相交弦定理做出結(jié)果． 三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 【題文】16．（本題滿分12分）已知向量，，設(shè)函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)單調(diào)增區(qū)間； （Ⅱ）若，求函數(shù)的最值，并指出取得最值時的取值. 【知識點】平面向量數(shù)量積的運算；三角

16、函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用. F3 C7 【答案解析】（Ⅰ），（k∈Z）；（Ⅱ）f（x）取得最小值0，此時， f（x）取得最大值，此時. 解析：（Ⅰ）∵ = 當(dāng)，k∈Z， 即，k∈Z， 即，k∈Z時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增， ∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是，（k∈Z）； （Ⅱ）∵f（x）=sin（2x+）+， 當(dāng)時，， ∴， ∴當(dāng)時，f（x）取得最小值0，此時2x+=﹣，∴， ∴當(dāng)時，f（x）取得最大值，此時2x+=，∴． 【思路點撥】（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積求出f（x）的解析式，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合區(qū)間x∈[﹣

17、，]，求函數(shù)f（x）的最值以及對應(yīng)x的值． 【題文】17、（本題滿分12分）某小區(qū)在一次對20歲以上居民節(jié)能意識的問卷調(diào)查中，隨機(jī)抽取了100份問卷進(jìn)行統(tǒng)計，得到相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表： 節(jié)能意識弱 節(jié)能意識強(qiáng) 總計 20至50歲 45 9 54 大于50歲 10 36 46 總計 55 45 100 （1）由表中數(shù)據(jù)直觀分析，節(jié)能意識強(qiáng)弱是否與人的年齡有關(guān)？ （2）若全小區(qū)節(jié)能意識強(qiáng)的人共有350人，則估計這350人中，年齡大于50歲的有多少人？ （3）按年齡分層抽樣，從節(jié)能意識強(qiáng)的居民中抽5人，再是這5人中任取2人，求恰有1人年齡在20至50歲的概率。

18、 【知識點】用樣本的頻率分布估計總體分布；抽樣方法；等可能事件的概率．I2 I1 K1 【答案解析】(1) 節(jié)能意識強(qiáng)弱與年齡有關(guān)；（2）280人；（3） 解析：（1）因為20至50歲的54人有9人節(jié)能意識強(qiáng)，大于50歲的46人有36人節(jié)能意識強(qiáng)，與相差較大，所以節(jié)能意識強(qiáng)弱與年齡有關(guān) （2）由數(shù)據(jù)可估計在節(jié)能意識強(qiáng)的人中，年齡大于50歲的概率約為 ∴年齡大于50歲的約有（人） （3）抽取節(jié)能意識強(qiáng)的5人中，年齡在20至50歲的（人）， 年齡大于50歲的5﹣1=4人，記這5人分別為a，B1，B2，B3，B4． 從這5人中任取2人，共有10種不同取法：（a，B1），（a，B

19、2），（a，B3），（a，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）， 設(shè)A表示隨機(jī)事件“這5人中任取2人，恰有1人年齡在20至50歲”， 則A中的基本事件有4種：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4） 故所求概率為 . 【思路點撥】（1）利用獨立性檢驗的基本思想，只要在每個年齡段計算它們節(jié)能意識強(qiáng)的概率，若差距較大說明與年齡有關(guān)，也可利用|ad﹣bc|的值的大小來直觀判斷； （2）先利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算在節(jié)能意識強(qiáng)的人中，年齡大于50歲的概率，再由總體乘以概率即可得總體中年齡大于50歲的有多少人； （3）先確

20、定抽樣比，即每層中應(yīng)抽取，故再抽到的5人中，一人年齡小于50，4人年齡大于50，從中取兩個，求恰有1人年齡在20至50歲的概率為古典概型，利用古典概型的概率計算公式，分別利用列舉法計數(shù)即可得所求概率. 【題文】18、（本題滿分14分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，點O是對角線與的交點,是的中點,. （1）求證：平面; （2）平面平面 （3）當(dāng)四棱錐的體積等于時,求的長. 【知識點】平面與平面垂直的判定； 棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定． G1 G4 G5 【答案解析】（1）證明：略；（2）證明：略；（3）.解析：（1）證

21、明：∵在△PBD中，O、M分別是BD、PD的中點，∴OM是△PBD的中位線，∴OM∥PB，…（1分） ∵OM?平面PBD，PB?平面PBD，…（3分） ∴OM∥平面PAB．…（4分） （2）證明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分） ∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分） ∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分） ∵BD?平面PBD， ∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分） （3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°， ∴，…（11分） ∵四棱錐P﹣ABCD的高為PA，∴，得…

22、（12分） ∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分） 在Rt△PAB中，．…（14分） 【思路點撥】（1）利用三角形中位線的性質(zhì)，證明線線平行，從而可得線面平行； （2）先證明BD⊥平面PAC，即可證明平面PBD⊥平面PAC； （3）利用四棱錐P﹣ABCD的體積等于時，求出四棱錐P﹣ABCD的高為PA，利用PA⊥AB，即可求PB的長． 【題文】19、（本題滿分14分）已知等差數(shù)列的公差為, 且, （1）求數(shù)列的通項公式與前項和； （2）將數(shù)列的前項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列的前3項,記的前項和為, 若存在, 使對任意總有恒成立

23、, 求實數(shù)的取值范圍. 【知識點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列與不等式的綜合．D2 D3 E8 【答案解析】（1）；（2）λ＞2 . 解析：（1）由a2+a7+a12=﹣6得a7=﹣2，所以a1=4（4分） ∴an=5﹣n，從而（6分） （2）由題意知b1=4，b2=2，b3=1（18分） 設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則， ∴ ∵ 隨m遞減，∴Tm為遞增數(shù)列，得4≤Tm＜8（10分） 又， 故（Sn）max=S4=S5=10，（11分） 若存在m∈N*，使對任意n∈N*總有Sn＜Tm+λ 則10＜8+λ，得λ＞2（14分） 【思路點撥】（1）先利用a2+a7

24、+a12=﹣6以及等差數(shù)列的性質(zhì)，求出a7=﹣2，再把公差代入即可求出首項，以及通項公式和前n項和Sn； （2）先由已知求出等比數(shù)列的首項和公比，代入求和公式得Tm，并利用函數(shù)的單調(diào)性求出其范圍；再利用（1）的結(jié)論以及Sn＜Tm+λ恒成立，即可求實數(shù)λ的取值范圍． 【題文】20、（本題滿分14分）已知拋物線，過點的直線與拋物線交于兩點，且直線與軸交于點 (1)求證：成等比數(shù)列； (2)設(shè)，，試問是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請說明理由． 【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題；等比關(guān)系的確定. H8 D3 【答案解析】（1）證明：略；（2）為定值且定值為－1. 解析：

25、(1)證明：設(shè)直線的方程為：， 聯(lián)立方程可得得① 設(shè)，，，則，② ， 而，∴， 即成等比數(shù)列．--------7分 (2)由，得 ，， 即得：，則 由(1)中②代入得，故為定值且定值為－1.-----14分 【思路點撥】（1）設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得|MA|，|MC|、|MB|成等比數(shù)列，從而解決問題． （2）由，得，，，從而利用x1，x2，及k來表示α，β，最后結(jié)合（1）中根系數(shù)的關(guān)系即得故α+β為定值． 【題文】21、（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)（），． (1

26、) 若函數(shù)圖象上的點到直線距離的最小值為，求的值； (2) 關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)的取值范圍； (3) 對于函數(shù)與定義域上的任意實數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”．設(shè)，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由． 【知識點】兩點間距離公式的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；不等式. B12 E8 【答案解析】（1）；（2）；（3）與存在“分界線， 且“分界線”方程為：． 解析：（1）因為，所以，令 得：，此時，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………2分 則點到直線的距離為， 即，解

27、之得．　　　　　　　　　　　…………4分 （2）解法一：不等式的解集中的整數(shù)恰有3個， 等價于恰有三個整數(shù)解，故，　　　　　　…………6分 令，由且， 所以函數(shù)的一個零點在區(qū)間， 則另一個零點一定在區(qū)間，　　　　　　　　　　　　　　　　　…………8分 故解之得．　　　　　　　　　　　　　　　　　…………10分 解法二：恰有三個整數(shù)解，故，即，…………6分 ， 所以，又因為，　　　　　　　　　　　…………8分 所以，解之得．　　　　　　　　　　　…………10分 （3）設(shè)，則． 所以當(dāng)時，；當(dāng)時，． 因此時，取得最小值， 則與的圖象在處有公共點．　　　　　　　…………12分 設(shè)與存在 “分界線”，方程為， 即， 由在恒成立，則在恒成立 ． 所以成立， 因此．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 下面證明恒成立． 設(shè)，則． 所以當(dāng)時，；當(dāng)時，． 因此時取得最大值，則成立． 故所求“分界線”方程為：．　　　　　　　　　　　…………14分 【思路點撥】（1）直接運用點到直線的距離公式，然后求解即可得到答案．（2）關(guān)于由不等式解集整數(shù)的個數(shù)，然后求未知量取值范圍的題目，可利用恒等變換，把它轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點的問題，即可求解．（3）屬于新定義的題目，可以用函數(shù)求導(dǎo)數(shù)求最值的方法解答．