2022年高三數學總復習 直線方程的概念與直線的斜率教案 理

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1、2022年高三數學總復習 直線方程的概念與直線的斜率教案 理 教材分析 這節(jié)內容從一個具體的一次函數及其圖像入手，引入直線方程和方程的直線的概念．從研究直線方程的需要出發(fā)，引入直線在平面直角坐標系中的傾斜角和斜率的概念．然后建立了過兩點的直線的斜率公式．直線方程的概念是通過初中學過的一次函數的圖像引入的，是將一次函數與其圖像的關系轉換成直線方程與直線的對應關系．對這種關系的學習，要通過觀察圖像，研究圖像，利用數形結合的思想，歸納和概括出什么是直線的方程和方程的直線，使學生對直線和直線方程的關系有一個初步了解．傾斜角和斜率公式都是反映直線相對于ｘ軸正方向的傾斜程度的，確切地說，傾斜角是直接反

2、映這種傾斜程度的，斜率公式是利用直線上點的坐標來研究直線的傾斜程度的．解析幾何是用數來研究形的，在研究直線時，使用斜率公式比使用傾斜角更方便，因此正確理解斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，是學習這節(jié)內容的重點，也是學好平面解析幾何的關鍵． 教學目標 1. 通過對本節(jié)的學習，了解直線的方程和方程的直線的概念，理解直線的傾斜角和斜率的概念，會準確地表述直線的傾斜角和斜率的意義． 2. 理解并掌握過兩點的直線的斜率公式，并能用其解決有關的數學問題． 3. 初步培養(yǎng)學生數形結合的思想，提高學生聯(lián)系、轉化、歸納、概括的思維能力，進一步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和分析問題、解決問題的能力． 任務分

3、析 這節(jié)內容是在一次函數的基礎上，通過研究一次函數和它的圖像的關系，而引入的直線和方程的關系．對于直線和方程的關系，學生接受起來可能比較困難，因此在學習時要始終結合具體的直線方程和它的圖像來研究，以增強直觀性，便于被學生理解．直線的傾斜角和斜率是描述直線傾斜程度的，在學習過程中，一方面要注意有關概念之間的區(qū)別，另一方面要突出它們之間的聯(lián)系，要充分利用圖像進行具體分析，讓學生注意斜率的變化和傾斜角的關系，特別是當直線的傾斜角為直角時，直線的斜率不存在的情況，進一步強調：有斜率必有傾斜角與之對應；反之，有傾斜角必有斜率與之對應是不夠確切的．在這節(jié)的學習中，要讓學生體會“形”與“數”相互轉化的思想

4、，培養(yǎng)學生分析、聯(lián)想、抽象、概括的能力． 教學設計 一、問題情境 1. 在初中，我們學習過一次函數y＝kx＋b，（k≠0），知道它的圖像是一條直線l，那么滿足y＝kx＋b的有序實數對（x，y）與直線l上的點的坐標有什么關系？能否把它推廣到一般的二元一次方程和直線？ 2. 作出函數y＝2x＋1的圖像，研究滿足y＝2x＋1的有序實數對與y＝2x＋1的圖像上點的坐標的關系． 二、建立模型 1. 學生分析討論，師生共同總結 （1）有序實數對（0，1）滿足函數y＝2x＋1，在直線l上就有一點A，它的坐標是（0，1）；又如有序實數對（2，5）滿足函數y＝2x＋1，在直線l上就有一點B，它的坐

5、標是（2，5）． （2）在直線l上取一點P（1，3），則有序實數對（1，3）就滿足函數y＝2x＋1；又如在直線l上取一點Q（－1，－1），則有序實數（－1，－1）就滿足函數y＝2x＋1． 結論：一般地，滿足函數式y(tǒng)＝kx＋b的每一對x，y的值，都是直線l上的點的坐標；反之，直線l上每一點的坐標（x，y）都滿足函數式y(tǒng)＝kx＋b，因此，一次函數y＝kx＋b的圖像是一條直線，它是以滿足y＝kx＋b的每一對x，y的值為坐標的點構成的． 2. 教師明晰 從方程的角度看，函數y＝kx＋b可以看作二元一次方程y－kx－b＝0，這樣“滿足一次函數y＝kx＋b的每一對（x，y）的值”，就是“二元一

6、次方程y－kx－b＝0的解x，y”；以方程y－kx－b＝0的解為坐標的點就在函數y＝kx＋b的圖像上；反過來，函數y＝kx＋b的圖像上的任一點的坐標滿足方程y－kx－b＝0，這樣直線和方程就建立了聯(lián)系． 一般地，如果以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點；反之，這條直線上點的坐標都是這個方程的解，那么這個方程叫作這條直線的方程；這條直線叫這個方程的直線．由于方程y＝kx＋b的圖像是一條直線，因而我們今后就常說直線y＝kx＋b． 練習：已知方程2x＋3y＋6＝0． （1）把這個方程改寫成一次函數． （2）畫出這個方程對應的直線l． （3）判定點（，1），（－3，0）是否在直線ｌ上．

7、 進一步思考如下問題： 哪些條件可以確定一條直線？在平面直角坐標系中，過點Ｐ的任何一條直線l，對x軸的相應位置有哪些情形？如何刻畫它們的相對位置？ 3. 通過學生討論，師生共同總結 直線相對x軸的情形有四種，如圖所示： 通過分析四種情形，師生共同得出：直線相對ｘ軸的位置情形，可用直線l和x軸所成的角來描述．我們規(guī)定：x軸正向與直線向上的方向所成的角叫作這條直線的傾斜角，與x軸平行或重合的直線的傾斜角為零度角． 問題：（1）在直角坐標系中，畫出過點P（－1，2），傾斜角分別為45°，150°，0°，90°的四條直線． （2）直線的傾斜角的取值范圍是怎樣的？ 通過討論師生共同明

8、確：直線的傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°．在此范圍的直角坐標平面上的任何一條直線都有唯一的傾斜角，而每一個傾斜角確定一條直線的方向．傾斜角直觀地表示了直線相對x軸正方向的傾斜程度． 從上面的討論可以看出，直線在坐標系中的傾斜程度可以用傾斜角直觀地來表示．我們知道，當一條直線上的兩個點確定時，這條直線也就隨之確定了，那么現在的問題是：如果已知直線上兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），那么如何用x1，y1，x2，y來量化直線P1P2的傾斜程度呢？ 在教師的啟發(fā)下，引導學生作如下探索： 直線y＝kx＋b被其上的任意兩個不同的點唯一確定（如圖22-3）．因此，由該直線上任意兩點A（

9、x1，y1），B（x2，y2）的坐標可以計算出k的值． 由于x1，y1和x2，y2是直線方程的兩組解，所以 y1＝kx1＋b， y2＝kx2＋b． 兩式相減，得y2－y1＝kx2－kx2＝k（x2－x1）． 所以 由直線上兩點的坐標求該直線的斜率ｋ與這兩點在直線上的順序無關，可知 如果令Δx＝x2－x1，Δy＝y(tǒng)2－y1，則Δx表示變量x的改變量，Δy表示相應的y的改變量．于是 因此，我們把直線y＝kx＋b中的系數k叫作該直線的斜率．垂直于x軸的直線不存在斜率． 想想看：（1）在函數方程y＝kx中，如果ｘ表示某物體運動的時間（t），y表示在時刻x時運動過的距離（m

10、），那么k表示的意義是什么？k＝60，120，…的具體意義是什么？ （2）如果在函數方程y＝120x中，x表示某商店銷售某個商品的數量，y表示銷售所得的總收入（元），那么斜率k＝120表示的意義是什么？ 進一步引導學生明確下列事實： 除去垂直于x軸的直線外，只要知道直線上兩個不同點的坐標，由（*）式就可以算出這條直線的斜率． 方程y＝kx＋b的圖像是通過點（0，b）且斜率為k的直線． 對一次函數確定的直線，它的斜率等于相應函數值的改變量與自變量改變量的比值．直觀上可使我們感知到斜率k的值決定了這條直線相對于x軸的傾斜程度． 當k＝0時，直線平行于x軸或與x軸重合，直線的傾斜角等于0

11、°． 當k＞0時，直線的傾斜角為銳角；k值增大，直線的傾斜角也隨著增大．當k＜0時，直線的傾斜角為鈍角；k值增大，直線的傾斜角也隨著增大． 垂直于ｘ軸的直線的傾斜角等于90°． 三、解釋應用 ［例　題］ 1. 求經過A（－2，0），B（－5，3）兩點的直線的斜率k． 解：x1＝－2，x2＝－5，y1＝0，y2＝3； Δx＝－2－（－5）＝3，Δy＝0－3＝－3． 故k＝＝－1，即k＝－1． 2. 畫出方程3x＋6y－8＝0的圖像． 解：由已知方程解出y，得y＝ 這是一次函數的表達式，它的圖像是一條直線．當x＝0時，y＝；當x＝2時y＝． 在坐標平面內描出點A（0，）

12、，B（2，），則經過A，B兩點的直線即為所求一次方程的圖像（如圖22-4）． 3. 若三點A（－2，3），B（3，－2），C（，m）共線，求m的值．解：因為A，B，C三點共線，所以kAC＝kAB， 即，解得m＝. 思考總結：研究三點共線的常用方法． ［練　習］ 1. 經過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． （1）（1，－1），（－3，2）．　?。?）（1，－2），（5，－2）． （3）（3，4），（－2，5）．　　　（4）（3，0），（0，）． 2. 已知過點P（－2，m）和Q（m，4）的直線的斜率等于1，求m的值． 3. 過點P（－1，2）的直線l與x軸和y

13、軸分別交于A，B兩點．若點P恰為線段AB的中點，求直線l的斜率． 四、拓展延伸 1. 直線的斜率k與直線的傾斜角α之間的關系怎樣？ 2. 已知點P1（x1，y1），P2（x2，y2），P1P2的斜率為k，求證：｜P1P2｜＝｜x1－x2｜＝｜y1－y2｜． 3. 某城市出租汽車所收租車費y（元）與行駛路程x（km）之間的關系可用下列關系式表示 你能用斜率來解釋這一實際問題嗎？ 點　評 這篇案例首先通過實例一次函數的圖像和一次函數的解析式的關系，引入了直線的方程和方程的直線的概念，在概念的建立上充分利用了圖像的直觀性，注重了數形結合的思想，注意了概念的嚴謹性．接著由直線相對x軸的位置關系引入了直線的傾斜角和斜率的概念，為了用數研究形，又引入了過兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直線的斜率公式k＝，通過師生共同探索明確了傾斜角和斜率是表現直線在坐標系中傾斜程度的．例題與練習的設計由淺入深，有利于鞏固所學內容．拓展延伸的設計注意了前瞻性和創(chuàng)新，有利于加深理解所學內容和培養(yǎng)學生探究問題的能力．總之，這篇案例的設計比較好地體現了新課程的理念．