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1、2022年高三數(shù)學(xué) 第62課時(shí) 空間的角教案
教學(xué)目標(biāo)：掌握直線與平面所成角、二面角的計(jì)算方法，掌握三垂線定理及其逆定理，并能熟練解決有關(guān)問(wèn)題,進(jìn)一步掌握異面直線所成角的求解方法，熟練解決有關(guān)問(wèn)題.
教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面所成的角，二面角的求解.
（一） 主要知識(shí)及主要方法：
三垂線定理(課本)：在平面內(nèi)的一條直線，如果和
這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.
三垂線的逆定理(課本)：在平面內(nèi)的一條直線，如果和
這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.
空間角的計(jì)算步驟 一作、二證、三算.
異面直線所成角：范圍：；計(jì)
2、算方法:
①平移法：一般情況下應(yīng)用平行四邊形的對(duì)邊、梯形的平行對(duì)邊、三角形的中位線進(jìn)行平移.②向量法：設(shè)、分別為異面直線、的方向向量,
則兩異面直線所成的角；③補(bǔ)體法；
④證明兩條異面直線垂直,即所成角為.
直線與平面所成的角：①定義：（課本）平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角；一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是直角.②范圍 ；③最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中最小的角.⑤斜線與平面所成角的計(jì)算：直接法：關(guān)鍵是作垂線，找射影 可利用面面垂直的性質(zhì)；
3、 平移法：通過(guò)三角形的中位線或平行四邊形的對(duì)邊平移，計(jì)算其平行線與平面所成的角.也可平移平面通過(guò)等體積法求出斜線任一點(diǎn)到平面的距離，計(jì)算這點(diǎn)與斜足之間的線段長(zhǎng)，則.
應(yīng)用結(jié)論：如右圖所示，，為垂足，為斜足，
，與平面所成的角為，，
，則.
向量法：設(shè)是斜線的方向向量，是平面
的法向量，則斜線與平面所成的角.
二面角：①定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，
其中的每一部分叫做半平面.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面
所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，
每個(gè)半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一
4、點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角，叫做這個(gè)二面角的平面角.規(guī)定：二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，二面角為，當(dāng)兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，二面角為，因此，二面角的大小范圍為.②確定二面角的方法：定義法；三垂線定理及其逆定理法；垂面法；射影面積法：，此方法常用于無(wú)棱二面角大小的計(jì)算；無(wú)棱二面角也可以先根據(jù)線面性質(zhì)恢復(fù)二面角的棱，然后再用方法、計(jì)算大?。幌蛄糠ǎ悍ㄒ?、在內(nèi)，在內(nèi)，其方向如左圖，則二面角 的平面角
；其方向如右圖，
則二面角的平面角
（同等異補(bǔ)）
法二、設(shè),是二面角的兩個(gè)半平面
的法向量，其方向一個(gè)指向內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向
外側(cè)（同等
5、異補(bǔ)），則二面角的平面角
（二）典例分析：
問(wèn)題1．（全國(guó)Ⅰ）四棱錐中，底面為平行四邊形，
側(cè)面底面．已知，
，，．
證明：；
求直線與平面所成角的大?。?
（本小題要求用多種方法解答,包括向量法）.
問(wèn)題2． （屆高三湖北、荊州、宜昌月模擬）
邊長(zhǎng)為的正方體中，是棱
上任一點(diǎn)，（）.
若時(shí)，求證：面面；
試確定值，使
6、直線與平面所成的角
的正切值為.
問(wèn)題3．（四川）如圖，是直角梯形，，∥，
，，又，，
，直線與直線所成的角為.
求證：平面⊥平面；
求二面角的大小;
求三棱錐的體積.
(要求第小題用多種方法解答,包括向量法）.
問(wèn)題4．（陜西）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，
，，平面．，，，
求證：平面（此小題這里略去不做）；求二面角的大小．
(要求第
7、小題用多種方法解答,包括向量法）.
（三）課后作業(yè)：
如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，
是底面的中心，，分別是，的
中點(diǎn).那么異面直線和所成角的余弦值等于
(浙江文)在三棱錐中，，
點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，底面.
求證：平面；
求直線與平面所成角的大小
如圖，的邊長(zhǎng)為，
8、，，
都垂直于平面，且，
，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求直線
與平面所成的角.
（四）走向高考：
（浙江）在如圖所示的幾何體中，平面，平面，，且，是的中點(diǎn)．
求證：；
求與平面所成的角．
(北京)如圖，在中，，斜邊．
可以通過(guò)以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，
且二面角是直二面角．動(dòng)點(diǎn)的斜邊上．
求證：平面平面；
當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的大??；
求與平面所成角的最大值．
v
A
B
C
D
（福建）如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)．
求證：平面（此小題這里略去不做）；
求二面角的大小；
求點(diǎn)到平面的距離．
2022年高三數(shù)學(xué) 第62課時(shí) 空間的角教案
