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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題12 選修系列 第82練 矩陣與變換練習(xí) 理
訓(xùn)練目標(biāo)
了解簡單矩陣與變換的思想與應(yīng)用．
訓(xùn)練題型
(1)矩陣運(yùn)算及逆矩陣的應(yīng)用；(2)變換的應(yīng)用；(3)特征值與特征向量的應(yīng)用．
解題策略
根據(jù)教材上相關(guān)內(nèi)容，理解記憶，無需追求難度，掌握基本概念即可.
3．(xx·南通二模)已知二階矩陣M有特征值λ＝1及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1＝，且M＝.求矩陣M.
4．(xx·南京三模)已知矩陣A＝(k≠0)的一個(gè)特征向量α＝，A的逆矩陣A－1對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(3,1)變?yōu)辄c(diǎn)(1,1)．求實(shí)數(shù)a，k的值．
5．(xx·宿遷三校調(diào)研)已知矩陣A＝屬于特
2、征值λ的一個(gè)特征向量為a＝.
(1)求實(shí)數(shù)b的值；
(2)若曲線C在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下，得到的曲線為C′：x2＋2y2＝2，求曲線C的方程．
6．(xx·南京、鹽城一模)設(shè)矩陣M＝的一個(gè)特征值為2，若曲線C在矩陣M變換下的方程為x2＋y2＝1，求曲線C的方程．
答案精析
1．解 矩陣A的特征多項(xiàng)式
f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，
由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.
當(dāng)λ＝2時(shí)，特征方程組為
故屬于特征值2的一個(gè)特征向量
α1＝；
當(dāng)λ＝3時(shí)，特征方程組為
故屬于特征值3的一個(gè)特征向量
α2＝.
2．解 設(shè)是矩陣M屬于特征值λ的一個(gè)特征
3、向量，
則＝λ，
故解得
3．解 設(shè)M＝，
則由＝，
得
再由＝，得
聯(lián)立以上方程解得
a＝2，b＝1，c＝0，d＝1，
故M＝.
4．解 設(shè)特征向量α＝對(duì)應(yīng)的特征值為λ，
則＝λ，
即
因?yàn)閗≠0，所以a＝2.
因?yàn)锳－1＝，
所以A＝，
即＝，
所以2＋k＝3，解得k＝1.
綜上，a＝2，k＝1.
5．解 (1)因?yàn)榫仃嘇＝屬于特征值λ的一個(gè)特征向量為a＝，
所以＝λ，
即＝.
從而解得b＝0，λ＝2.
(2)由(1)知，A＝.
設(shè)曲線C上任一點(diǎn)M(x，y)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用后變?yōu)榍€C′上一點(diǎn)P(x0，y0)，
則＝＝，
從而
因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C′上，所以x＋2y＝2，
即(2x)2＋2(x＋3y)2＝2，
從而3x2＋6xy＋9y2＝1.
所以曲線C的方程為3x2＋6xy＋9y2＝1.
6．解 由題意，知矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝(λ－a)(λ－1)，因?yàn)榫仃嘙有一個(gè)特征值為2，所以f(2)＝0，所以a＝2.設(shè)曲線C上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，其在矩陣M的變換下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為
(x′，y′)．
所以M＝＝，
即
因?yàn)榍€C在矩陣M變換下的方程為
x2＋y2＝1，
所以(2x)2＋(2x＋y)2＝1，
即曲線C的方程為8x2＋4xy＋y2＝1.
2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題12 選修系列 第82練 矩陣與變換練習(xí) 理
