2022年高三數(shù)學(xué)摸底考試試題 文(含解析)新人教A版
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1、2022年高三數(shù)學(xué)摸底考試試題 文(含解析)新人教A版 【試卷綜評】本試卷試題主要注重基本知識(shí)、基本能力、基本方法等當(dāng)面的考察,覆蓋面廣,注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的簡單應(yīng)用,試題有新意,符合課改和教改方向,能有效地測評學(xué)生,有利于學(xué)生自我評價(jià),有利于指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí),既重視雙基能力培養(yǎng),側(cè)重學(xué)生自主探究能力,分析問題和解決問題的能力,突出應(yīng)用,同時(shí)對觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查。 一.選擇題 【題文】1.已知集合,則 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】交集的運(yùn)算.A1 【答案解析】C 解析:因?yàn)?,所以,故選C. 【思路點(diǎn)撥】先化簡集合N,再進(jìn)行判斷即
2、可. 【題文】2.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.L4 【答案解析】D 解析:∵∴復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選:D. 【思路點(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算將原式轉(zhuǎn)化,即可判斷它在復(fù)平面內(nèi)的位置. 【題文】3.某校數(shù)學(xué)教研組為了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況,采用分層抽樣的方法從高一600人、高二780人、高三n人中,抽取35人進(jìn)行問卷調(diào)查,已知高二被抽取的人數(shù)為13人,則n等于 A、660 B、720 C、780 D、800
3、 【知識(shí)點(diǎn)】分層抽樣方法.I1 【答案解析】B 解析::∵高一600人、高二780人、高三n人中,抽取35人進(jìn)行問卷調(diào)查,已知高二被抽取的人數(shù)為13人,∴,解得n=720,故選:B. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)分層抽樣的定義,建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論. 【題文】4.設(shè),,,則下列關(guān)系中正確的是 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)的性質(zhì);比較大小.B7 【答案解析】A 解析:因?yàn)?,同理可得? ,又因?yàn)槭嵌x域內(nèi)的增函數(shù),且,所以 ,故選A。 【思路點(diǎn)撥】先把b,c轉(zhuǎn)化成以2為底的對數(shù),再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷. 【題文】5. 5.設(shè)是公差為正數(shù)
4、的等差數(shù)列,若,,則 A、75 B、90 C、105 D、120 【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的性質(zhì).D2 【答案解析】C 解析:因?yàn)?,可得:,所?解得: 或(舍去,因?yàn)楣顬檎龜?shù)),所以,則 ,故選C. 【思路點(diǎn)撥】結(jié)合已知條件先得到,再聯(lián)立組成方程組解出,進(jìn)而求出公差,最后求出結(jié)果即可. 【題文】6. 4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張,則取出的2張卡片上的數(shù)學(xué)之和為偶數(shù)的概率是 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】古典概型.K2 【答案解析】B 解析:4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取
5、2張,共有12,13,14,23,24,34計(jì)6種情況,而取出的2張卡片上的數(shù)學(xué)之和為偶數(shù)的有13,24計(jì)2種情況,根據(jù)古典概型的計(jì)算公式可得概率為,故選B. 【思路點(diǎn)撥】先列舉4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張的所有情況,再列舉2張卡片上的數(shù)學(xué)之和為偶數(shù)的基本情況的種數(shù),再求概率即可. 【題文】7. 已知實(shí)數(shù)滿足,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為 A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 【知識(shí)點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃.L4 【答案解析】C 解析:由約束條件作出可行域如圖, 化目標(biāo)函數(shù)z=x+y為直線方程的斜截式,得y=-x+z,由圖
6、可知,當(dāng)直線y=-x+z過可行域內(nèi)的點(diǎn)B(-6,3)時(shí),直線在y軸上的截距最小,即z最小.∴目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最小值為-6+3=-3.故選:C. 【思路點(diǎn)撥】由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,由圖得到最優(yōu)解,求出最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)得答案. 【題文】8.閱讀程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)程序,則輸出的值為 A.3 B.4 C.5 D.6 【知識(shí)點(diǎn)】程序框圖. L1 【答案解析】B 解析:該程序框圖是循環(huán)結(jié)構(gòu) 經(jīng)第一次循環(huán)得到i=1,a=2; 經(jīng)第二次循環(huán)得到i=2,a=5; 經(jīng)第三次循環(huán)得到i=3,a=16; 經(jīng)第四次循環(huán)得到i=4,a=65滿足判
7、斷框的條件,執(zhí)行是,輸出4 故選B 【思路點(diǎn)撥】通過程序框圖的要求,寫出前四次循環(huán)的結(jié)果得到輸出的值. 【題文】9.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1 cm,粗實(shí)線為某空間幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為 A. 2 cm3 B. 4cm3 C. 6cm3 D.8cm3 知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.G2 【答案解析】B 解析:由已知中的三視圖可得:該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四棱錐, 其底面面積高h(yuǎn)=2,故體積V= Sh= ×6×2=4cm3,故選:B 【思路點(diǎn)撥】由三視圖可知,兩個(gè)這樣的幾何體以俯視圖為底面的四棱錐,求出底面面積和高,代入棱錐體積公式
8、,可得答案. 【題文】10.函數(shù)在上的圖象大致為 A B C D 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖像. B9 【答案解析】D 解析:定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,因?yàn)?,所以函?shù)為定義域內(nèi)的奇函數(shù),故排除B,C, 令,則,排除A,故選C. 【思路點(diǎn)撥】先利用函數(shù)的奇偶性排除B,C,再利用函數(shù)的值排除A即可. 【題文】11.已知點(diǎn)在球O的球面上,,.球心O到平面的距離為1,則球O的表面積為 【知識(shí)點(diǎn)】球的體積和表面積.G8
9、 【答案解析】A 解析:由已知中AB=AC=2,∠BAC=90°,可得BC為平面ABC截球所得截面的直徑,即,∴r=,又∵球心到平面ABC的距離d=1, ∴球的半徑∴球的表面積S=4π?R2=12π,故選B. 【思路點(diǎn)撥】由已知中球面上有A、B、C三點(diǎn),AB=AC=2,∠BAC=90°,我們可以求出平面ABC截球所得截面的直徑BC的長,進(jìn)而求出截面圓的半徑r,根據(jù)已知中球心到平面ABC的距離,根據(jù)球的半徑,求出球的半徑,代入球的表面積公式,即可得到答案. 【題文】12. 拋物線的焦點(diǎn)為,是拋物線上的點(diǎn),若三角形的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,且該圓的面積為36,則的值為 A.2
10、 B.4 C.6 D.8 【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì).H7 【答案解析】D 解析::∵△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切, ∴△OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑∵圓面積為36π,∴圓的半徑為6, 又∵圓心在OF的垂直平分線上,∴p=8,故選:D. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切,可得△OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑,由此可求p的值. 二.填空題 【題文】13. 函數(shù)的最小正周期為 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的周期.L4 【答案解析】 解析:原函數(shù)化簡為,由周期公式,故答案為. 【思路點(diǎn)撥】先化簡,再
11、計(jì)算周期即可. 【題文】14.已知,且,則的最小值 【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式.L4 【答案解析】 解析:由基本不等式可知:,故答案為. 【思路點(diǎn)撥】直接利用基本不等式即可. 【題文】15.在邊長為2的等邊三角形中,是的中點(diǎn),為線段上一動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍為 【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.F3 【答案解析】 解析:由題意可得和的夾角為60°,設(shè)||=x,x∈[0,2], ∵=(-)?(-)=?-?-?+2 =2×1-2xcos60°-xcos60°+x2=x2-x+2=(x?)2+, 故當(dāng)x=時(shí),取得最小值為,當(dāng)x=2時(shí),取得最大值為3, 故答
12、案為 [,3]。 【思路點(diǎn)撥】由題意可得和的夾角為60°,設(shè)||=x,x∈[0,2],根據(jù)的向量的之間的關(guān)系得到的表達(dá)式,借助于二次函數(shù)求出最值,即得它的取值范圍. 【題文】16.如果定義在R上的函數(shù)對任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)都有 ,則稱函數(shù)為“函數(shù)”給出函數(shù):, 。 以上函數(shù)為“函數(shù)”的序號為 【知識(shí)點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用.B9 【答案解析】②解析:∵對于任意給定的不等實(shí)數(shù)x1,x2,不等式恒成立, ∴不等式等價(jià)為(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,即函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù).①函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減.不滿足條件. ②,y′=3-2co
13、sx+2sinx=3+2(sinx-cox)=3-2sin(x-)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,滿足條件. ③f(x)=,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,不滿足條件. ④,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,不滿足條件.故答案為:② 【思路點(diǎn)撥】不等式等價(jià)為(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論. 三.解答題 【題文】17. 已知遞增等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,且. (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)若數(shù)列滿足,求的前項(xiàng)和. 【【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;數(shù)列求和.D3 D4 【答案
14、解析】(1)(2)見解析 解析:(1)設(shè)公比為q,由題意:q>1, ,則,,∵,∴,……………2分 則 解得: 或(舍去),……………4分 ∴……………5分 (2)……………7分 則 ……………10分 【思路點(diǎn)撥】(1)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可;(2)利用分組求和即可. 【題文】18. 在三角形中,角、、的對邊分別為、、,且三角形的面積為. (1)求角的大小 (2)已知,求sinAsinC的值 【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式;正余弦定理.C8 【答案解析】(1)(2) 解析:(1)在三角形ABC中,由已知可得0﹤﹤ -------------6分
15、(2) 由正弦定理可得 --------------12分 【思路點(diǎn)撥】(1)利用三角形的面積公式即可;(2)結(jié)合正余弦定理即可. 【題文】19. 為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān),現(xiàn)對30名六年級學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查得到如下列聯(lián)表:平均每天喝500ml以上為常喝,體重超過50kg為肥胖。 常喝 不常喝 合計(jì) 肥胖 2 不肥胖 18 合計(jì) 30 已知在全部30人中隨機(jī)抽取1人,抽到肥胖的學(xué)生的概率為。 (1)請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整 (2)是否有99.5%的把握認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)?說明你的理由 (3
16、)現(xiàn)從常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生中(2名女生),抽取2人參加電視節(jié)目,則正好抽到一男一女的概率是多少? 參考數(shù)據(jù): 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (參考公式:,其中) 【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用.I4 【答案解析】(1)見解析(2)有99.5%的把握認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)。(3) 解析:(1)設(shè)常喝碳酸飲料肥胖的學(xué)生有x人, 常喝 不常喝 合計(jì) 肥胖 6 2 8 不胖 4 18 22
17、 合計(jì) 10 20 30 ------------- 3分 (2)由已知數(shù)據(jù)可求得: 因此有99.5%的把握認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)。------------- 7分 (3)設(shè)常喝碳酸飲料的肥胖者男生為A、B、C、D,女生為E、F,則任取兩人有 AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15種。其中一男一女有AE,AF,BE,BF,CE,CF, DE,DF。故抽出一男一女的概率是 ----12分 【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)全部50人中隨機(jī)抽取1人看營養(yǎng)說明的學(xué)生的概率為,做出看營養(yǎng)說明的人數(shù),這樣用總?cè)藬?shù)減去看
18、營養(yǎng)說明的人數(shù),剩下的是不看的,根據(jù)所給的另外兩個(gè)數(shù)字,填上所有數(shù)字. (2)根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù),代入求觀測值的公式,把觀測值同臨界值進(jìn)行比較,得到有99.5%的把握說看營養(yǎng)說明與性別有關(guān).(3)利用列舉法,求出基本事件的個(gè)數(shù),即可求出正好抽到一男一女的概率. 【題文】20.如圖,直三棱柱中,平面,其垂足落在直線上.為的中點(diǎn) (1)求證: ∥平面A1PB (2)若,,AC=2 ,求三棱錐的體積. 【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的判定;椎體的體積公式.G4 G7 【答案解析】(1)見解析(2) 解析:(1)證明:三棱柱 為直三棱柱 連接與交于點(diǎn)E, ∴E為中點(diǎn) 連接PE
19、 為的中點(diǎn) ∴PE ∥ ∵PE ∴∥平面A1PB ---------------------4分 (2)在直三棱柱 中,,AC=2 ∴ 為的中點(diǎn), 平面,其垂足落在直線上, . 在中,, ,, 在中, ---------------------12分 【思路點(diǎn)撥】(1)連接AB1與A1B交于點(diǎn)E,則PE∥B1C,由此能證明B1C∥平面A1PB. (2)由已知得AB⊥BC,AD⊥A1B.由VP?A1BC=VA1?BCP利用等體積法計(jì)算出三棱錐的體積. 【題文】21. 已知橢圓C:的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰
20、直角三角形,直線與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓相切。 (1)求橢圓的方程。 (2)若過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn),且求證:為定值 【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題.H8 【答案解析】(1)(2) 解析:(1)由題意:以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓的方程為, ∴圓心到直線的距離…………* ∵橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形, b=c,代入*式得b=1 ∴ 故所求橢圓方程為 ………4分 (2)由題意:直線的斜率存在,所以設(shè)直線方程為,則 將直線方程代入橢圓方程得:…………6分 設(shè), 則…………①…………8分
21、 由∴ 即:, …………10分 ==-4 ∴…………12分 【思路點(diǎn)撥】(1)由題意:以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓的方程為,∴圓心到直線的距離,由此結(jié)合已知條件能求出橢圓方程.(2)設(shè)直線L方程為y=k(x-1),代入橢圓方程得: ,由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能證明λ1+λ2為定值. 【題文】22. 已知函數(shù).函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是y=2x+1, (1)求a,b的值。 (2)問:m在什么范圍取值時(shí),對于任意的,函數(shù)在區(qū)間上總存在極值? 【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.B12 【答案解析】(1)b=-1(2) 解析:(1) 因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為2 所以,所以,則 代入切線可得b=-1 ------------- 6分 (2) , 因?yàn)槿我獾?,函?shù)在區(qū)間上總存在極值, 又, 所以只需------------- 10分 解得. -------------12分 【思路點(diǎn)撥】(1)函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程為y=2x+1可知,f′(1)=2,f(1)=3,可解a、b的值;(2)轉(zhuǎn)化成g′(x)=0在(t,3)上有實(shí)數(shù)根,列出等價(jià)條件,求出m的取值范圍.
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