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1、2022年高考數(shù)學(xué) 常見(jiàn)題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第07講 函數(shù)的奇偶性的判斷和證明
【知識(shí)要點(diǎn)】
一、函數(shù)的奇偶性的定義
對(duì)于函數(shù),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,如果恒有,那么函數(shù)為奇函數(shù);如果恒有,那么函數(shù)為偶函數(shù).
二、奇偶函數(shù)的性質(zhì)
1、奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;2、 偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱,奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;3、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的增減性相同,奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的增減性相反;4、 奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時(shí),必有.
三、判斷函數(shù)的奇偶性的方法
判斷函數(shù)的奇偶性的方法,一般有三種:定義法、和差判別法、作商判別法.
1、定義法
首先必須考慮函數(shù)的定義域,如果函數(shù)的定義域不
2、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù);如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則繼續(xù)求;最后比較和的關(guān)系,如果有=,則函數(shù)是偶函數(shù),如果有=-,則函數(shù)是奇函數(shù),否則是非奇非偶函數(shù).
2、和差判別法
對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè),若,則是奇函數(shù);若,則是偶函數(shù).
3、 作商判別法
對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè),設(shè),若,則是奇函數(shù),,則是偶函數(shù).
【方法講評(píng)】
方法一
定義法
使用情景
具體函數(shù)和抽象函數(shù)都適用.
解題步驟
首先必須考慮函數(shù)的定義域,如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù);如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則繼續(xù)求;最后比較和的關(guān)系,如果有=,則函數(shù)是偶
3、函數(shù),如果有=-,則函數(shù)是奇函數(shù),否則是非奇非偶函數(shù).
【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性.
(1) (2)
【點(diǎn)評(píng)】(1)判斷函數(shù)的奇偶性首先必須考慮函數(shù)的定義域,如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)是非奇非偶函數(shù). (2)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,是函數(shù)為奇偶函數(shù)的必要非充分條件.(3)函數(shù)的定義域求出來(lái)之后,還要注意在解題中應(yīng)用,不是走一個(gè)過(guò)場(chǎng)和形式.第2小題就是利用求出的定義域?qū)瘮?shù)進(jìn)行了化簡(jiǎn).
【例2】 定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù),對(duì)任意,有
且
①求證: ②求證:是偶函數(shù)
【解析】證明:①令,則 ∵ ∴
②令,則 ∴
4、
∴是偶函數(shù)
【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于抽象函數(shù)的奇偶性的判斷,和具體函數(shù)的判斷方法一樣,不同的是,由于它是抽象函數(shù),所以在判斷過(guò)程中,多要利用賦值法,常賦一些特殊值,如等.
【例3】判斷函數(shù)的奇偶性
【點(diǎn)評(píng)】(1)對(duì)于分段函數(shù)奇偶性的判斷,也是要先看函數(shù)的定義域,再考慮定義,由于它是分段函數(shù),所以要分類討論. (2)注意,當(dāng)求要代入下面的解析式,因?yàn)?不是還代入上面一段的解析式.
【反饋檢測(cè)1】已知
(1)判斷的奇偶性; (2)求的值域.
【反饋檢測(cè)2】已知函數(shù)定義域?yàn)?,若?duì)于任意的,都有
,且時(shí),有.
(1)證明函數(shù)是奇函數(shù);(2)討論
5、函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
(3)設(shè),若,對(duì)所有,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
方法二
和差判別法
使用情景
一般與對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)有關(guān).
解答步驟
對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè),若,則是奇函數(shù);若,則是偶函數(shù).
【例4】判斷函數(shù)的奇偶性.
【點(diǎn)評(píng)】和差判別法實(shí)際上是奇偶函數(shù)定義的等價(jià)形式,但是利用定義判斷,計(jì)算較為復(fù)雜,利用和差判別法可以化繁為簡(jiǎn),簡(jiǎn)捷高效.
【反饋檢測(cè)3】已知函數(shù).
(1)求的定義域; (2)判定的奇偶性;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使得的定義域?yàn)闀r(shí),值域?yàn)??若存在,求出?shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【例5】判斷函數(shù)的奇偶性.
6、
【解析】由題得,因?yàn)?
,所以,所以是偶函數(shù).
【點(diǎn)評(píng)】和差判別法實(shí)際上是奇偶函數(shù)定義的等價(jià)形式,但是利用定義判斷,計(jì)算較為復(fù)雜,利用和差判別法可以化繁為簡(jiǎn),簡(jiǎn)潔高效.
方法三
作商判別法
使用情景
一般含有指數(shù)函數(shù)運(yùn)算.
解答步驟
對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè),設(shè),若,則是奇函數(shù),,則是偶函數(shù).
【例6】 證明函數(shù)是奇函數(shù).
【點(diǎn)評(píng)】作商判別法實(shí)際上是奇偶函數(shù)定義的等價(jià)形式,但是利用定義判斷,計(jì)算較為復(fù)雜,利用作商判別法可以化繁為簡(jiǎn),簡(jiǎn)捷高效.
高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型解法歸納及反饋檢測(cè)第07講:
函數(shù)的奇偶性的判斷和證明參考答案
【反饋檢測(cè)1答案
7、】(1)奇函數(shù);(2).
【反饋檢測(cè)2答案】(1)奇函數(shù);(2)單調(diào)遞增函數(shù);(3)或.
【反饋檢測(cè)2詳細(xì)解析】(1)因?yàn)橛校?
令,得,所以,
令可得: 所以,所以為奇函數(shù).
(2)是定義在上的奇函數(shù),由題意設(shè),則
由題意時(shí),有,
是在上為單調(diào)遞增函數(shù);
(3)因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞增函數(shù),所以在上的最大值為,
所以要使<,對(duì)所有恒成立,
只要,即,
令
由 得,或.
【反饋檢測(cè)3答案】(1)定義域?yàn)?;?)在定義域上為奇函數(shù);(3).
即是方程的兩個(gè)實(shí)根,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程
上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.
令 則有:
故存在這樣的實(shí)數(shù)符合題意.