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1、2022年高中數(shù)學(xué) 柯西不等式學(xué)案 新人教A版選修4
☆學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的證明;
2. 會(huì)應(yīng)用柯西不等式解決函數(shù)最值、方程、不等式，等一些問題
?知識(shí)情景：
1. 柯西主要貢獻(xiàn)簡(jiǎn)介：
柯西（Cauchy），法國人，生于1789年，是十九世紀(jì)前半葉最杰出的分析家. 他奠定
了數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收斂原理、柯西中值
定理、柯西積分不等式、柯西判別法、柯西方程等等.
2.二維形式的柯西不等式： 若，
2、 則 .
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí), 等號(hào)成立.
變式10. 若，則或；
變式20. 若，則 ；
變式30.（三角形不等式）設(shè)為任意實(shí)數(shù)，則：
3. 一般形式的柯西不等式：設(shè)為大于1的自然數(shù)，(1,2,…,)，
則： .
3、 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí), 等號(hào)成立.
(若時(shí)，約定，1,2,…,).
變式10. 設(shè) 則： .
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí), 等號(hào)成立.
變式20. 設(shè) 則：.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.
變式30. (積分形式)設(shè)與都在可積，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.
4、
如果一個(gè)定理與很多學(xué)科或者一個(gè)學(xué)科的很多分支有著密切聯(lián)系，那么這個(gè)定理肯定很重
要. 而柯西不等式與我們中學(xué)數(shù)學(xué)中的代數(shù)恒等式、復(fù)數(shù)、向量、幾何、三角、函數(shù)等各方面
都有聯(lián)系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！
☆ 柯西不等式的應(yīng)用：
例1. 已知實(shí)數(shù)滿足， . 試求的最值
例2 在實(shí)數(shù)集內(nèi) 解方程
例3 設(shè)是三角形內(nèi)的一點(diǎn)，是到三邊的距離，是外接圓
的半徑， 證明
例4 (證明恒等式) 已知 求證：。
例5 (證明不等式)設(shè)
求證:
5、
選修4-5練習(xí) §3.1.2柯西不等式(3) 姓名
1、已知，求證：
2、已知是不全相等的正數(shù)，求證：
3、已知.
4、 設(shè) 求證：
5、已知實(shí)數(shù)滿足, 求的取值范圍.
6、已知 且 求證：
7、已知正數(shù)滿足 證明
8、解
6、方程組
9、若n是不小于2的正整數(shù)，試證：。
參考答案:
一般形式的柯西不等式：
設(shè)為大于1的自然數(shù)，(1,2,…,)，則：，
其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立(當(dāng)時(shí)，約定，1,2,…,).
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) 柯西不等式不僅在高等數(shù)學(xué)中是一個(gè)十分重要的
不等式，而且它對(duì)初等數(shù)學(xué)也有很可的指導(dǎo)作用，利用它能高遠(yuǎn)矚、居高臨下，從而方便
地解決一些中學(xué)數(shù)學(xué)中的有關(guān)問題。
例1 解：由柯西不等式得，有
即
7、由條件可得，
解得，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，
代入時(shí)，
時(shí)
例2解：由柯西不等式，得
①
又.
即不等式①中只有等號(hào)成立.
從而由柯西不等式中等號(hào)成立的條件，得
它與聯(lián)立，可得
例3證明：由柯西不等式得，
記為的面積，則
故不等式成立。
例4 證明：由柯西不等式，得
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，
于是 。
例5 分析：這道題初看似乎無法使用柯西不等式，但改變
8、其結(jié)構(gòu)，我們不妨改為證：
證明：為了運(yùn)用柯西不等式，我們將寫成
于是
即
故
我們進(jìn)一步觀察柯西不等式，可以發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)是：不等式左邊是兩個(gè)因式這和，其中每一個(gè)因式都是項(xiàng)平方和，右邊是左邊中對(duì)立的兩兩乘積之和的平方，證題時(shí)，只要能將原題湊成此種形式，就可以引用柯西不等式來證明。
練習(xí)
1．證：
∴
∴
2、
3．
4、
5．
6．
7．證明：利用柯西不等式
又因?yàn)? 在此不等式兩邊同乘以2，再加上
得：
故
8. 解：原方程組可化為
運(yùn)用柯西不等式得,
兩式相乘，得
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=w=3時(shí)取等號(hào)。
故原方程組的解為x=y=z=w=3.
9、證明：證明：
所以求證式等價(jià)于
由柯西不等式有
于是：
又由柯西不等式有
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