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1、2022年高二數(shù)學12月月考試題 文(VIII)
一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)
1.某工廠有A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品,這三種產(chǎn)品數(shù)量之比為2∶3∶5,現(xiàn)用分層抽樣從中抽出一個容量為n的樣本,該樣本中A種型號產(chǎn)品有8件,那么這次樣本的容量n是( )
A.12 B.16 C.20 D.40
2.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8,方差是3.6,若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上60,得到一組新數(shù)據(jù),則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是( )
A.57.2,3.6 B.57.2,56.4
2、 C.62.8,63.6 D.62.8,3.6
3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的S=88,則判斷框內(nèi)應填入的條件是( )
A.k>7? B.k>6? C.k>5? D.k>4?
4.點A為周長等于3的圓周上的一個定點,若在該圓周上隨機取一點B,則劣弧AB的長度小于1的概率為( )
A. B. C. D.
5.中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(4,-2),則它的離心率為( )
A. B. C. D.
6.已知點M(1,0),直線l:x=-1,點B是l上的動點,過點B垂直
3、于y軸的直線與線段BM的垂直平分線交于點P,則點P的軌跡是( )
A.拋物線 B.橢圓 C.雙曲線的一支 D.直線
7.已知x、y的取值如下表所示:
x
2
3
4
y
6
4
5
A. B.- C. D.1
8.下列命題中真命題的個數(shù)是( )
①?x∈R,x4>x2;
②若“p∧q”是假命題,則p,q都是假命題;
③命題“?x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“?x0∈R,x-x+1>0”.
A.0 B.1 C.2 D.3
9.函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(
4、)
A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞)
10.實數(shù)x、y滿足x2+(y+4)2=4,則(x-1)2+(y-1)2的最大值為( )
A.30+2 B.30+4 C.30+2 D.30+4
11.過點P(-1,0)的直線l與拋物線y2=5x相切,則直線l的斜率為( )
A.± B.± C.± D.±
12.曲線y = - 在點M 處的切線的斜率為( )
A.- B. C.- D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空題:(本大題共6小題,每小
5、題5分,共30分,把最簡答案填在答題卡橫線上)
13. 從1,2,3,4,5這五個數(shù)中任取兩個數(shù),這兩個數(shù)的和是奇數(shù)的概率為________.
14.一位同學種了甲、乙兩種樹苗各1株,分別觀察了9次、10次后,得到樹苗高度的數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖 (單位:厘米),則甲、乙兩種樹苗高度的數(shù)據(jù)的中位數(shù)之和是________.
15.在某次法律知識競賽中,將來自不同學校的學生的成績繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知成績在[60,70)的學生有40人,則成績在[70,90)的有________人.
16.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)和橢圓+=1
6、有相同的焦點,且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍,則雙曲線的方程為________________.
17.若命題“對?x∈R,ax2-2ax-3>0不成立”是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是________.
18.設橢圓+=1(a>b>0)上一點A關(guān)于原點的對稱點為B,F(xiàn)為其右焦點,若AF⊥BF,且∠ABF=,則橢圓的離心率為________.
三.解答題(本大題共5小題,60分. 解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟).
19.(本題滿分12分) 某班主任統(tǒng)計本班50名學生放學回家后學習時間的數(shù)據(jù),用條形圖表示(如圖).
(1)求該班學生每天在家學習時間的平均值;
(2)
7、該班主任用分層抽樣方法(按學習時間分五層)選出10個學生談話,求在學習時間為1個小時的學生中選出的人數(shù);
(3)假設學生每天在家學習時間為18時至23時,已知甲每天連續(xù)學習2小時,乙每天連續(xù)學習3小時,求22時甲、乙都在學習的概率.
20.(本題滿分12分)已知c>0,設命題p:函數(shù)y=cx為減函數(shù).命題q:當x∈時,函數(shù)f(x)=x+>恒成立.如果p或q為真命題,p且q為假命題,求c的取值范圍.
21.(本題滿分12分) 已知兩點A(0,1),B(2,m),如果經(jīng)過A與B且與x軸相切的圓有且只有一個,求m的值及圓的方程.
8、
22.(本題滿分12分) 在直角坐標系xOy中,點M到點F1(-,0)、F2(,0)的距離之和是4,點M的軌跡是C,直線l:y=kx+與軌跡C交于不同的兩點P和Q.
(1)求軌跡C的方程;
(2)是否存在常數(shù)k,使以線段PQ為直徑的圓過原點O?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
23.(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=+,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x+2y-3=0.
(1)求a,b的值;
(2)證明:當x>0,x≠1時,f(x)>.
高二12月月考文科數(shù)學答案
1.D
9、[解析] 設三種產(chǎn)品的數(shù)量之和為2k+3k+5k=10k,依題意有=,解得n=40.故選D.
2.D [解析] 平均數(shù)增加60,即62.8.方差=(ai+60)-(+60)]2=(ai-)2=3.6.故選D.
3.C [解析] 第一次循環(huán):k=1+1=2,S=2×0+2=2;
第二次循環(huán):k=2+1=3,S=2×2+3=7;
第三次循環(huán):k=3+1=4,S=2×7+4=18;
第四次循環(huán):k=4+1=5,S=2×18+5=41;
第五次循環(huán):k=5+1=6,S=2×41+6=88,滿足條件則輸出S的值,而此時k=6,故判斷框內(nèi)應填入的條件是k>5,故選C.
4.C [解析] 點B
10、可以在點A的兩側(cè)來取,距離點A的最遠處時,AB的弧長為1,根據(jù)幾何概率可知其整體事件是其周長3,則其概率是.故選C
5.D [解析] 設雙曲線的標準方程為-=1(a>0,b>0),所以其漸近線方程為y=±x,因為點(4,-2)在漸近線上,所以=.根據(jù)c2=a2+b2,可得=,解得e2=,所以e=,故選D
6.A [解析] 由點P在BM的垂直平分線上,故|PB|=|PM|.又PB⊥l,因而點P到直線l的距離等于點P到點M的距離,所以點P的軌跡是拋物線.故選A.
7.B [解析] 因為=3,=5,又回歸直線過點(,),所以5=3b+,所以b=-.
8.B [解析] 易知①當x=0時不等式不
11、成立,對于全稱命題只要有一個情況不滿足,命題即假,①錯;②錯,只需兩個命題中至少有一個為假即可;③正確,全稱命題的否定是特稱命題.即只有一個命題是正確的,故選B.
9.D [解析] f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令f′(x)>0,解得x>2,故選D.
10.B [解析] (x-1)2+(y-1)2表示圓x2+(y+4)2=4上動點(x,y)到點(1,1)距離d的平方,因為-2≤d≤+2,所以最大值為(+2)2=30+4,故選B.
11.C [解析] 顯然斜率存在不為0,設直線l的方程為y=k(x+1),代入拋物線方程消去x得ky2-5y+5k=0
12、,由Δ=(-5)2-4×5k2=0,得k=±.故選C.
12.B [解析] 對y=-求導得到
y′==,
當x=時y′==.
13. [解析] 從1,2,3,4,5這五個數(shù)中任取兩個數(shù),共有10種結(jié)果:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),其中兩數(shù)之和為奇數(shù)的有6種,所以概率為P==.
14.52 [解析] 根據(jù)莖葉圖可得,觀察甲樹苗9次得到的樹苗高度分別為:19,20,21,23,24,31,32,33,37;觀察乙樹苗10次得到的樹苗高度分別為:10,10,14,24,26,30,44,46,46,
13、47,則甲樹苗高度的中位數(shù)為24,乙樹苗高度的中位數(shù)為=28,因此兩數(shù)之和為24+28=52.
15.25 [解析] [60,70)的樣本頻率為0.04×10=0.4,設樣本容量為x,則=0.4,所以x=100,所以[70,90)之間的人數(shù)為100×(0.015+0.01)×10=25.
16.-=1 [解析] 橢圓方程為+=1,則c2=a2-b2=7,即c=,又雙曲線離心率為橢圓離心率的2倍,所以雙曲線的離心率為e=,又c=,所以a=2,所以b2=c2-a2=7-4=3,所以雙曲線方程為-=1.
17.[-3,0] [解析] 原命題是真命題,則ax2-2ax-3≤0恒成立,當a=0時,
14、-3≤0成立;
當a≠0時,得解得-3≤a<0,
故-3≤a≤0.
18. [解析] 設A(x0,y0),則B(-x0,-y0),而F(c,0),依題意有|AF|=|BF|,且AF⊥BF,所以解得所以由題意知A、B分別是橢圓的上下頂點,所以c=b,所以c2=b2=a2-c2,解得e=.
19.[解答] (1)平均學習時間為=1.8(小時).……4分
(2)20×=4. …………7分
(3)設甲開始學習的時刻為x,乙開始學習的時刻為y,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為Ω={(x,y)|18≤x≤21,18≤y≤20},面積SΩ=2×3=6.事件A表示“22時甲、乙正在學習”,所構(gòu)成的區(qū)域
15、為A={(x,y)|20≤x≤21,19≤y≤20},面積為SA=1×1=1,這是一個幾何概型,所以P(A)==.………12分
20.[解答] 若命題p為真,則0.……………6分
若p或q為真命題,p且q為假命題,則p、q中必有一真一假,…………7分
當p真q假時,c的取值范圍是0
16、4a+4+m2-m=0. …………4分
當m=1時,a=1,所以b=1,
圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=1;……………8分
當m≠1時,由Δ=0得m(m2-2m+5)=0,所以m=0,從而a=2,b=,
圓的方程為(x-2)2+2=.……………12分
綜上知,m=1時,圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=1;
m=0時,圓的方程為(x-2)2+2=.……………12分
22.[解答] (1)∵點M到(-,0),(,0)的距離之和是4,
∴M的軌跡C是長軸長為4,焦點在x軸上,焦距為2的橢圓,
其方程為+y2=1. ……………4分
(2)將y=kx+代入曲線C的方程,
17、
消去y,整理得(1+4k2)x2+8kx+4=0.①……………6分
設P(x1,y1),Q(x2,y2),由方程①,
得x1+x2=-,x1x2=.②……………7分
又y1·y2=(kx1+)(kx2+)=k2x1x2+k(x1+x2)+2.③
若以PQ為直徑的圓過原點,則·=0,
所以x1x2+y1y2=0,………………………………………8分
將②、③代入上式,解得k=±.…………11分
又因k的取值應滿足Δ>0,即4k2-1>0(*),將k=±代入(*)式知符合題意.∴k=±.……12分
23.[解答] (1)∵f′(x)=-,………………2分
由題意知:即………………4分
∴a=b=1. ……………………………………6分
(2)證明:由(1)知f(x)=+,
所以f(x)-=,…………………8分
設h(x)=2lnx-(x>0),
則…………………9分
當x≠1時,h′(x)<0,而h(1)=0,
故當x∈(0,1)時,h(x)>0,當x∈(1,+∞)時,h(x)<0.得h(x)>0.
從而,當x>0,x≠1時,f(x)->0,即f(x)>. …………………12分