2022年高三數(shù)學(xué)第一次月考試題 文(含解析)湘教版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一次月考試題 文(含解析)湘教版 【試卷綜評】本試卷試題主要注重基本知識、基本能力、基本方法等當(dāng)面的考察,覆蓋面廣,注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的簡單應(yīng)用,試題有新意,符合課改和教改方向,能有效地測評學(xué)生,有利于學(xué)生自我評價(jià),有利于指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí),既重視雙基能力培養(yǎng),側(cè)重學(xué)生自主探究能力,分析問題和解決問題的能力,突出應(yīng)用,同時(shí)對觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查。 本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分,共6頁。時(shí)量120分鐘。滿分150分。 一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 【題文】1.已知a是實(shí)數(shù),

2、是純虛數(shù),則a=( ) A.1 B.-1 C. D.- 【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算. L4 【答案解析】A 解析:因?yàn)槭羌兲摂?shù),所以,即,故選A. 【思路點(diǎn)撥】先把原復(fù)數(shù)化簡,再令實(shí)部等于0即可解得a的值. 【題文】2.極坐標(biāo)方程所表示的曲線是( ) A.一條直線 B.一個(gè)圓 C.一條拋物線 D.一條雙曲線 【知識點(diǎn)】極坐標(biāo)方程.N3 【答案解析】C 解析:把兩邊同時(shí)乘以可得:,又因?yàn)?,代入可?表示一條拋物線,故選C. 【思路點(diǎn)撥】把原式變形,再把代入即可化簡. 【題文】3.設(shè)集合A={x|x>-1},B={x|x≥1},則“x

3、∈A且x?B”成立的充要條件是( ) A.-1-1 D.-1-1},B={x|x≥1},所以x∈A且x?B可得-1

4、得:,若為偶函數(shù),則必為的奇數(shù)倍,而在中只有滿足題意,所以,故選B. 【思路點(diǎn)撥】先利用公式求出周期,再結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)得到即可. 【題文】5.已知a,b為兩條直線,α,β為兩個(gè)平面,下列命題中正確的是( ) A.若α∥b,β∥b,則α∥β B.若α∥a,α∥b,則a∥b C.若a⊥α,b⊥β,則α∥β D.若a⊥α,a⊥β,則α∥β 【知識點(diǎn)】 空間中線線、線面間的位置關(guān)系. G4 G5 【答案解析】D 解析:對于A:若α∥b,β∥b,則α∥β或相交,故A錯(cuò)誤; 對于B:若α∥a,α∥b,則a與b平行、相交或異面.故B錯(cuò)誤; 對于C:明顯錯(cuò)誤;對

5、于D:若a⊥α,a⊥β,則α∥β,正確. 故選D. 【思路點(diǎn)撥】依據(jù)定理、公理依次排除即可. 【題文】6.若ax2+bx+c<0的解集為{x|x<-2或x>4},則對于函數(shù)f(x)=ax2+bx+c應(yīng)有( ) A.f(5)4},可知:, ,解得:,代入,即, 所以,表示開口方向向下,對稱軸為1的拋物線,

6、則函數(shù)在遞減,所以,而由對稱性可得:,所以,故選B. 【思路點(diǎn)撥】先由不等式的解集判斷出a的符號以及與b,c的關(guān)系,再由單調(diào)性得到的關(guān)系為,而由對稱性可得:即可得解. 【題文】7.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度,則得到的這個(gè)新三角形的形狀為( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.由增加的長度決定 【知識點(diǎn)】余弦定理.C8 【答案解析】A 解析:設(shè)增加同樣的長度為x,原三邊長為a、b、c,且c2=a2+b2,a+b>c.新的三角形的三邊長為a+x、b+x、c+x,知c+x為最大邊,其對應(yīng)角最大.而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+

7、2(a+b-c)x>0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦為正,則為銳角,那么它為銳角三角形.故選A. 【思路點(diǎn)撥】設(shè)增加同樣的長度為x,原三邊長為a、b、c,且c2=a2+b2,a+b>c.新的三角形的三邊長為a+x、b+x、c+x,知c+x為最大邊,其對應(yīng)角最大.而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦為正即可判斷. 【題文】8.若<<0,則下列不等式中不正確的是( ) A.a(chǎn)bb2 D.+>2 【知識點(diǎn)】比較大小.E1 【答案解析】C 解析:令

8、代入檢驗(yàn)可排除A,B,D;故選C. 【思路點(diǎn)撥】利用排除法與賦值法相結(jié)合可得結(jié)果. 【題文】9.已知an=logn+1(n+2)(n∈N*),觀察下列運(yùn)算:( ) a1·a2=log23·log34=·=2; a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·……·log78 =··……·=3;……. 若a1·a2·a3·……·ak(k∈N*)為整數(shù),則稱k為“企盼數(shù)”, 試確定當(dāng)a1·a2·a3·……·ak=2 014時(shí),“企盼數(shù)”k為 A.22 014+2 B.22 014 C.22 014-2 D.22 014-4 【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算

9、.B7 【答案解析】C 解析: a1·a2·a3·……·ak==2 014?lg(k+2)=lg 22 014?k=22 014-2. 【思路點(diǎn)撥】由新定義計(jì)算a1·a2·a3·……·ak后再解方程即可. 【題文】10.過點(diǎn)(-2,0)的直線l與拋物線y=相交于兩點(diǎn),且在這兩個(gè)交點(diǎn)處拋物線的切線互相垂直,則直線l的斜率k等于( ) A.- B.- C. D. 【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義;拋物線的性質(zhì).B11 H7 【答案解析】C 解析:對拋物線y=,y′=x,l的方程是y=k(x+2)代入y=得:x2-2kx-4k=0,設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)是A(x1,y1),B(x2

10、,y2),則,而在這兩個(gè)交點(diǎn)處拋物線的切線互相垂直即x1x2=-1.∴k=且滿足Δ>0. 【思路點(diǎn)撥】設(shè)出直線方程再與拋物線方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系以及判別式求出,然后結(jié)合在這兩個(gè)交點(diǎn)處拋物線的切線互相垂直即可得到結(jié)果. 二、填空題:本大題共5個(gè)小題,每小題5分,共25分.請把答案填在答題卷對應(yīng)題號后的橫線上. 11.在200個(gè)產(chǎn)品中,一等品40個(gè),二等品60個(gè),三等品100個(gè),用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為40的樣本,則從二等品中應(yīng)抽取___個(gè). 【知識點(diǎn)】分層抽樣.I1 【答案解析】12 解析:用分層抽樣的方法抽取的比例為,所以從二等品中應(yīng)抽取

11、,故答案為12. 【思路點(diǎn)撥】分層抽樣的特點(diǎn)是按比例進(jìn)行抽取,先計(jì)算出抽取的比例,在計(jì)算從二等品中應(yīng)抽取的個(gè)數(shù)即可. 【題文】12.閱讀右邊的框圖填空:若a=0.80.3,b=0.90.3,c=log50.9,則輸出的數(shù)是___. 【知識點(diǎn)】程序框圖;指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).B6 B7 L1 【答案解析】b(或0.90.3)解析:因?yàn)橛芍笖?shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知:且,根據(jù)框圖的流程指向可得輸出的結(jié)果為b,故答案為b(或0.90.3). 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出a,b,c的大小關(guān)系,再由框圖的流程指向可得輸出的結(jié)果. 【題文】13.若直線y=kx與

12、圓x2+y2-4x+3=0相切,則k的值是____. 【知識點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.H4 【答案解析】 解析:因?yàn)橹本€y=kx與圓x2+y2-4x+3=0相切,所以圓心到直線的距離,解得,故答案為. 【思路點(diǎn)撥】直線y=kx與圓x2+y2-4x+3=0相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于圓的半徑,列出方程解之即可. 【題文】14.設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+1)+x2,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為____. 【知識點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.B12 【答案解析】解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x(ex+1)+x2,所以其導(dǎo)函數(shù)為:,又因?yàn)榍笃鋯握{(diào)遞增區(qū)間,所以,即,解得:,故答案為.

13、 【思路點(diǎn)撥】先求導(dǎo),再利用解不等式即可. 【題文】15.當(dāng)n為正整數(shù)時(shí),定義函數(shù)N(n)表示n的最大奇因數(shù).如N(3)=3,N(10)=5,….記S(n)=N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2n). 則(1)S(3)=____;(2)S(n)=____. 【知識點(diǎn)】函數(shù)值的求解.B1 【答案解析】22; 解析:由題設(shè)知,N(2n)=N(n),N(2n-1)=2n-1. 又S(0)=N(1)=1. (1)S(3)=[N(1)+N(3)+N(5)+N(7)]+[N(2)+N(4)+N(6)+N(8)] ?。絒1+3+5+7]+[N(1)+N(2)+N(3)+N(4)

14、] ?。?2+S(2)=42+41+S(1)=42+41+40+S(0)=22. (2)S(n)=[1+3+5+…+(2n-1)]+[N(2)+N(4)+N(6)+…+N(2n)] =[1+3+5+…+(2n-1)]+[N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2n-1)], ∴S(n)=4n-1+S(n-1)(n≥1), ∴S(n)=4n-1+4n-2+…+41+40+1=. 【思路點(diǎn)撥】(1)由題意可得,S(3)=N(1)+N(2)+N(3)+…+N(8),分別尋求每一項(xiàng)的值,然后可求; (2)先根據(jù)題意求出當(dāng)n=1時(shí),S(1)=N(1)+N(2),S(2)=N(1)+N(2)+

15、N(3)+N(4),S(3)=N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+…+N(8),S(4)=N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+…+N(16),根據(jù)值出現(xiàn)的規(guī)律總結(jié)一般規(guī)律,然后可求. 三、解答題:本大題共6小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 16.(本題滿分12分) 已知函數(shù)f(x)=sin ωx·cos ωx+cos2ωx+1(ω>0)的最小正周期為π. (1)求ω的值; (2)求當(dāng)x∈(0,]時(shí)f(x)的值域. 【知識點(diǎn)】二倍角公式;三角函數(shù)的最值.C4 C6 【答案解析】(1) ω=2. (2) 解析:(1)f(x)=sin ωxcos

16、ωx++1=sin 2ωx+cos 2ωx+ =sin+. ∵ω>0,∴T==π,∴ω=2. (6分) (2)由(1)得:f(x)=sin+., ∵0

17、) 5 0.1 第二組 [210,240) 10 0.2 第三組 [240,270) 12 0.24 第四組 [270,300) a b 第五組 [300,330) 6 c (1)求表中a、b、c的值; (2)某課題小組為了研究自主學(xué)習(xí)時(shí)間與成績的相關(guān)性,需用分層抽樣的方法從這50名學(xué)生中隨機(jī)抽取20名作統(tǒng)計(jì)分析,則在第二組學(xué)生中應(yīng)抽取多少人? (3)已知第一組學(xué)生中有3名男生和2名女生,從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求恰好抽到1名男生和1名女生的概率. 【知識點(diǎn)】頻率分布表;分層抽樣;古典概型.I1 I2 K2 【答案解析】 (1) a=17

18、,b=0.34,c=0.12. (2)4 (3) P=. 解析: (1)由表知5+10+12+a+6=50, 則a=17,b==0.34,c==0.12. (4分) (2)因?yàn)?0×=4,所以在第二組學(xué)生中應(yīng)抽取4人. (7分) (3)從5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人有10種取法(可列舉出來),其中恰好抽到1名男生和1名女生的情況有6種(也列舉出來),則所求概率P==. (12分) 【思路點(diǎn)撥】(1) 根據(jù)總數(shù)為50 先求a的值,再計(jì)算b,c即可(2) 按比例抽取即可,(3)列舉出從5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人的所有情況,再找出滿足題意的情況,代入公式即可. 【題文】18.(本題滿分12分)

19、如圖,已知三棱錐P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB⊥BC, PC=BC=4,AB=2,E、F分別是PB、PA的中點(diǎn). (1)求證:側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC; (2)求三棱錐P-CEF的外接球的表面積. 【知識點(diǎn)】面面垂直的判定;組合體.G5 G8 【答案解析】(1)見解析 (2) 17π. 解析:(1)∵PC⊥平面ABC,∴AB⊥PC, 又AB⊥BC,則AB⊥側(cè)面PBC,AB?側(cè)面PAB, 故側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC. (6分) (2)∵PC=BC=4,E為PB的中點(diǎn),∴CE⊥PB, 而側(cè)面PAB垂直側(cè)面PBC于PB,∴CE⊥EF. 由E、F分別是PB、PA的中點(diǎn)有E

20、F∥AB, 則EF⊥側(cè)面PBC. 故EC、EF、EP兩兩垂直, (9分) 三棱錐P-CEF的外接球就是以EC、EF、EP為長、寬、高的長方體的外接球,易求得EC=EP=2,EF=1, 其外接球的直徑是=, 故所求三棱錐P—CEF的外接球的表面積是4π=17π. (12分) 【思路點(diǎn)撥】(1) PC⊥平面ABC,∴AB⊥PC,又AB⊥BC,則AB⊥側(cè)面PBC,AB?側(cè)面PAB, 故側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC. (2)由已知得到三棱錐P-CEF的外接球就是以EC、EF、EP為長、寬、高的長方體的外接球即可求出結(jié)果. 【題文】19.(本題滿分13分) 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-(

21、a+2)x+b(a,b∈R)在[-1,1]上是減函數(shù). (1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)設(shè)

22、)在[a-1,a]上是減函數(shù), (7分) ∴fmax=f(a-1)=(a-1)3+a(a-1)2-(a+2)(a-1)+b, fmin=f(a)=a3+a3-a(a+2)+b. 依條件有fmax-fmin≤, ∴fmax-fmin=-2a2+a+≤, (11分) 即8a2-10a+3≥0, a≥或a≤, ∵

23、圖,已知雙曲線-=1(a>0,b>0),定點(diǎn)A(c是雙曲線的半焦距),雙曲線虛軸的下端點(diǎn)為B.過雙曲線的右焦點(diǎn)F(c,0)作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P,若點(diǎn)D滿足2=+(O為原點(diǎn)),且A、B、D三點(diǎn)共線. (1)求雙曲線的離心率; (2)若a=2,過點(diǎn)B的直線l交雙曲線的左、右支于M、N兩點(diǎn), 且△OMN的面積S△OMN=2,求l的方程. 【知識點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系;雙曲線的簡單性質(zhì).H6 H8 【答案解析】(1) (2) y=±x-1. 解析:(1)∵B(0,-b),A,易求得P. ∵2=+,即D為線段FP的中點(diǎn),∴D. (3分) 又A、B、D共線.而=,=,

24、 ∴·(-b)=,得a=2b, (5分) ∴e====. (6分) (2)∵a=2,而e=,∴b2=1, 故雙曲線的方程為-y2=1.① (7分) ∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-1),設(shè)l的方程為y=kx-1,② ②代入①得(1-4k2)x2+8kx-8=0, 由題意得:,得:k2<. (9分) 設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2), 則x1+x2=. 而S△OMN=|OB|(|x1|+|x2|)=|x1-x2|= ===2, (11分) 整理得24k4-11k2+1=0,解得:k2=或k2=(舍去). ∴所求l的方程為y=±x-1. (13分) 【思路點(diǎn)撥】

25、(1) 欲求雙曲線的離心率,只需找到含a,c的齊次式,由已知,易求P點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)2=+ (O為原點(diǎn)),可判斷D點(diǎn)為FP的中點(diǎn),再根據(jù) 已知可找到a,b的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為含a,c的等式,即可求出離心率e的值. (2)當(dāng)a=2時(shí),根據(jù)(1)中所求離心率,可求出b的值,進(jìn)而求出雙曲線方程,根據(jù)直線MN過B點(diǎn),設(shè)出直線MN的方程,與雙曲線方程聯(lián)立,解出x1+x2,x1x2,△OMN被y軸分成兩個(gè)三角形,分別求出面積,再相加,即為△OMN的面積,讓其等于題目中所給的值,可得到關(guān)于直線l的斜率k的方程,解出k即可. 【題文】21.(本題滿分13分) 設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,記Dn內(nèi)整

26、點(diǎn)的個(gè)數(shù)為an(橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)). (1)n=2時(shí),先在平面直角坐標(biāo)系中作出區(qū)域D2,再求a2的值; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (3)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,試證明:對任意n∈N* 恒有++…+<成立. 【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和;不等式的證明.D2 E7 【答案解析】(1)25 (2) 10n+5. (3)見解析 解析: (1)D2如圖中陰影部分所示, ∵在4×8的矩形區(qū)域內(nèi)有5×9個(gè)整點(diǎn),對角線上有5個(gè)整點(diǎn), ∴a2==25. (3分) (另解:a2=1+3+5+7+9=25) (2)直線y=nx與x=4交于點(diǎn)P(4,4n), 據(jù)題意有an==10n+5. (6分) (另解:an=1+(n+1)+(2n+1)+(3n+1)+(4n+1)=10n+5) (3)Sn=5n(n+2). (8分) ∵==·<, ∴++…+<++…+ (11分) = =<. (13分) 【思路點(diǎn)撥】(1) 根據(jù)已知條件畫出圖形即可;(2) 借助于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可;(3)先利用裂項(xiàng)相消法,再結(jié)合放縮法即可.

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