江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第3講 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題學(xué)案
《江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第3講 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題學(xué)案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第3講 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題學(xué)案(18頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第3講 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題 [考情考向分析] 函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題,主要是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等,一般需要研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問(wèn)題,注重?cái)?shù)學(xué)思想的考查.B級(jí)要求,題目難度較大. 熱點(diǎn)一 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問(wèn)題 例1 已知函數(shù)f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3. (1)對(duì)一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)求證:對(duì)一切x∈(0,+∞),ln x>-恒成立. (1)解 由題意知2xln x≥-x2+ax-3對(duì)一切x∈(0,+∞)恒成立,則a≤2ln x+x+. 設(shè)h(x)=2ln
2、x+x+(x>0), 則h′(x)=, 當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增, 所以h(x)min=h(1)=4. 因?yàn)閷?duì)一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立, 所以a≤h(x)min=4, 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,4]. (2)證明 問(wèn)題等價(jià)于證明xln x>-(x∈(0,+∞))恒成立. 又f(x)=xln x,f′(x)=ln x+1, 當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增, 所以f(x)min=f?=-. 設(shè)m(x)=-
3、(x∈(0,+∞)),則m′(x)=, 易知m(x)max=m(1)=-, 從而對(duì)一切x∈(0,+∞),ln x>-恒成立. 思維升華 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題,首先要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可以分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題. 跟蹤演練1 已知函數(shù)f(x)=ln x-ax2+x,a∈R. (1)若f(1)=0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間; (2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整數(shù)a的最小值. 解 (1)因?yàn)閒(1)=1-=0,所以a=2, 此時(shí)f(x)=ln x-x
4、2+x(x>0), f′(x)=-2x+1=(x>0). 由f′(x)<0,得2x2-x-1>0, 解得x<-或x>1. 又因?yàn)閤>0,所以x>1. 所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞). (2)方法一 由f(x)≤ax-1恒成立,得ln x-ax2+x≤ax-1在(0,+∞)上恒成立, 問(wèn)題等價(jià)于a≥在(0,+∞)上恒成立. 令g(x)=(x>0),只需a≥g(x)max即可. 又g′(x)=, 令g′(x)=0,得-x-ln x=0. 設(shè)h(x)=-x-ln x(x>0), 因?yàn)閔′(x)=--<0, 所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減, 不妨設(shè)-x-ln
5、x=0的根為x0.
當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g′(x)>0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),g′(x)<0,
所以g(x)在(0,x0)上是增函數(shù),在(x0,+∞)上是減函數(shù),
所以g(x)max=g(x0)===.
因?yàn)閔=ln 2->0,h(1)=-<0,
所以
6、 1-a+(1-a)+1=-a+2>0, 所以關(guān)于x的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立. 當(dāng)a>0時(shí),g′(x)==-. 令g′(x)=0,得x=. 所以當(dāng)x∈時(shí),g′(x)>0; 當(dāng)x∈時(shí),g′(x)<0, 因此函數(shù)g(x)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù). 故函數(shù)g(x)的最大值為g=ln -a×2+(1-a)×+1=-ln a. 令h(a)=-ln a, 因?yàn)閔(1)=>0,h(2)=-ln 2<0, 又h(a)在(0,+∞)上是減函數(shù), 所以當(dāng)a≥2時(shí),h(a)<0, 所以整數(shù)a的最小值為2. 熱點(diǎn)二 利用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 例2 (2015·江蘇)某山區(qū)外圍
7、有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路.記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計(jì)劃修建的公路為l.如圖所示,M,N為C的兩個(gè)端點(diǎn),測(cè)得點(diǎn)M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=(其中a,b為常數(shù))模型. (1)求a,b的值; (2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為t. ①請(qǐng)寫(xiě)出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t),并寫(xiě)出其定義域; ②當(dāng)t為何值時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短?
8、求出最短長(zhǎng)度. 解 (1)由題意知,點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(5,40),(20,2.5). 將其分別代入y=, 得 解得 (2)①由(1)知,y=(5≤x≤20), 則點(diǎn)P的坐標(biāo)為, 設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x,y軸分別于A,B點(diǎn), 又y′=-, 則l的方程為y-=-(x-t), 由此得A,B. 故f(t)==, t∈[5,20]. ②設(shè)g(t)=t2+,則g′(t)=2t-. 令g′(t)=0,解得t=10. 當(dāng)t∈(5,10)時(shí),g′(t)<0,g(t)是減函數(shù); 當(dāng)t∈(10,20)時(shí),g′(t)>0,g(t)是增函數(shù). 所以當(dāng)t=10時(shí),函數(shù)g(t)有極小值
9、,也是最小值, 所以g(t)min=300,此時(shí)f(t)min=15. 答 當(dāng)t=10時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短,最短長(zhǎng)度為15千米. 思維升華 利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟 (1)建模:分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系,列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x). (2)求導(dǎo):求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x),解方程f′(x)=0. (3)求最值:比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f′(x)=0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小,最大(小)者為最大(小)值. (4)結(jié)論:回歸實(shí)際問(wèn)題作答. 跟蹤演練2 如圖所示,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長(zhǎng)度為1 km
10、,某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲線上,其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo). (1)求炮的最大射程; (2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行高度為3.2 km,試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí),炮彈可以擊中它?請(qǐng)說(shuō)明理由. 解 (1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0. 由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0,k>0, 故x==≤=10, 當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào). 所以炮的最大射程為10 km. 答 炮的最大射程為10 km. (2)因?yàn)閍>0,所以炮彈可擊中目標(biāo)?存在k>0,使3.2=ka-(
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