2022年高考數學二輪復習 專題2 三角函數、三角變換、解三角形、平面向量 專題綜合檢測二 文

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1、2022年高考數學二輪復習 專題2 三角函數、三角變換、解三角形、平面向量 專題綜合檢測二 文 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1.已知α為第二象限角，sin α＋cos α＝，則cos 2α＝（A）　　　　　　　　　　　　　　　　 A.－ B.－ C. D. 解析：sin α＋cos α＝， 兩邊平方可得1＋sin 2α＝?sin 2α＝－， ∵α是第二象限角，因此sin α＞0，cos α＜0， 所以cos α－sin α＝－＝－＝－. ∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝（co

2、s α＋sin α）（cos α－sin α）＝－. 2.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，則cos C＝（A） A. B.－ C.± D. 解析：∵8b＝5c，由正弦定理得8sin B＝5sin C. 又∵C＝2B，∴8sin B＝5sin 2B. 所以8sin B＝10sin Bcos B.易知sin B≠0， ∴cos B＝，cos C＝cos 2B＝2cos2 B－1＝. 3.函數y＝2cos2－1是（A） A.最小正周期為π的奇函數 B.最小正周期為π的偶函數 C.最小正周期為的奇函數 D.最小正周期

3、為的偶函數 解析：因為y＝2cos2－1＝cos＝sin 2x為奇函數，T＝＝π.故選A. 4.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝ ，b＝ ，B＝45°，則A＝（D） A.30° B.30°或105° C.60° D.60°或120° 5. （xx·安徽卷）若將函數f（x）＝sin 2x＋cos 2x的圖象向右平移φ個單位，所得圖象關于y軸對稱，則φ的最小正值是（C） A. B. C. D. 解析：由題意f（x）＝sin 2x＋cos 2x＝sin，將其圖象向右平移φ個單位，得sin＝sin，要使圖象關于y軸對稱，則－2φ＝＋kπ，解得φ

4、＝－－，當k＝－1時，φ取最小正值.故選C. 6.（xx·新課標Ⅰ卷）已知點A（0，1），B（3，2），向量＝（－4，－3），則向量＝（A） A.（－7，－4） B.（7，4） C.（－1，4） D.（1，4） 解析：解法一　設C（x，y），則＝（x，y－1）＝（－4，－3）， 所以從而＝（－4，－2）－（3，2）＝（－7，－4）.故選A. 解法二?。剑?，2）－（0，1）＝（3，1），＝－＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4）.故選A. 7.在△ABC中，a，b，c分別為三個內角A，B，C所對的邊，設向量m＝（b－c，c－a），n＝（b，c＋a），若向量m⊥n

5、，則角A的大小為（B） A. B. C. D. 解析：∵m＝（b－c，c－a），n＝（b，c＋a）且m⊥n， ∴m·n＝（b－c，c－a）·（b，c＋a）＝b（b－c）＋c2－a2＝0，即b2＋c2－a2＝bc，又∵cos A＝＝＝，0＜A＜π，∴A＝. 8.設0≤x＜2π，且 ＝sin x－cos x，則x的取值范圍是（B） A.0≤x≤π B.≤x≤ C.≤x≤ D.≤x≤ 9.（xx·新課標Ⅰ卷）設D為△ABC所在平面內一點，＝3，則（A） A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 解析：＝＋＝＋＝＋（－）＝－＝－＋.故選A. 10.（xx

6、·新課標Ⅰ卷）已知M（x0，y0）是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點.若·＜0，則y0的取值范圍是（A） A. B. C. D. 解析：由題意知a＝，b＝1，c＝，∴ F1（－，0），F(xiàn)2（，0），∴ ＝（－－x0，－y0），＝（－x0，－y0）.∵ ·＜0， ∴ （－－x0）（－x0）＋y＜0，即x－3＋y＜0. ∵ 點M（x0，y0）在雙曲線上， ∴ －y＝1，即x＝2＋2y， ∴ 2＋2y－3＋y＜0，∴ －＜y0＜.故選A. 11.已知tan α＝－，則cos2＝（A） A. B. C. D. 12.若向量a、b滿足|a|＝|

7、b|＝1，且（a＋b）·b＝，向量a、b的夾角為（B） A. B. C. D. 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把正確答案填在題中橫線上） 13.設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，則角C＝　　　?。? 解析：由（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab?a2＋b2－c2＝－ab，根據余弦定理可得 cos C＝＝－?C＝. 答案： 14.（xx·新課標Ⅱ卷）設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數λ＝　　　?。? 解析：∵ λa＋b與a＋2b平行，∴ λa＋b＝t（a＋2b），即λa＋b

8、＝ta＋2tb，∴ 解得 答案： 15.當函數y＝sin x－cos x（0≤x＜2π）取得最大值時，x＝　　　?。? 解析：y＝sin x－cos x＝2sin， 0≤x＜2π?－≤x－＜， 可知－2≤2sin≤2. 當且僅當x－＝時，即x＝時取得最大值. 答案： 16.（xx·江蘇卷）若△ABC的內角滿足sin A＋sin B＝2sin C，則cos C的最小值是　　　?。? 解析：由已知sin A＋sin B＝2sin C及正弦定理可得a＋b＝2c，cos C＝＝＝≥＝，當且僅當3a2＝2b2即＝時等號成立. 答案： 三、解答題（本大題共6小題，共70分

9、.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟） 17.（10分）（xx·茂名一模）設銳角三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2bsin A. （1）求角B的大小； （2）若a＝3，c＝5，求△ABC的面積及b. 解析：（1）∵a＝2bsin A，由正弦定理得sin A＝2sin Bsin A，由于sin A≠0，故有sin B＝， 又∵B是銳角，∴B＝30°. （2）依題意得： S△ABC＝acsin 30°＝×3×5×＝， ∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B可得 b2＝（3）2＋52－2×3×5×cos 30° ＝27＋25－45＝7

10、， ∴b＝. 18.（12分）（xx·安徽卷）已知函數f（x）＝（sin x＋cos x）2＋cos 2x. （1）求f（x）最小正周期； （2）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值. 分析：（1）化簡可得f（x）＝sin＋1，即可求出f（x）的最小正周期T＝＝π； （2）∵x∈，所以sin x∈，即可求出最值. 解析：（1）∵f（x）＝（sin x＋cos x）2＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1， ∴f（x）最小正周期T＝＝π. （2）∵x∈，∴2x＋∈， ∴sin x∈， ∴f（x）max＝1＋，f（x）min＝0. 19.（14分）

11、函數f（x）＝6cos2＋cos ωx－3（ω＞0）在一個周期內的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B，C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形. （1）求ω的值及函數f（x）的值域； （2）若f（x0）＝，且x0∈，求f（x0＋1）的值. 解析：（1）由已知可得：f（x）＝6cos2＋cos ωx－3＝3cos ωx＋ sin ωx＝2sin（ω＞0）. 又由于正三角形ABC的高為2，則BC＝4， 所以，函數f（x）的周期T＝4×2＝8， 即＝8，得ω＝. 所以，函數f（x）的值域為[－2，2 ]. （2）因為f（x0）＝，由（1）有 f（x0）＝2sin＝， 即sin＝

12、. 由x0∈，得∈， 所以，即cos＝ ＝. 故f（x0＋1）＝2sin ＝2sin ＝2 ＝2＝. 20.（12分）在△ABC中，已知·＝3·. （1）求證：tan B＝3tan A； （2）若cos C＝，求A的值. 解析：（1）∵·＝3·，∴AB·AC·cos A＝3BA·BC·cos B，即AC·cos A＝3BC·cos B. 由正弦定理，得＝， ∴sin B·cos A＝3sin A·cos B. 又∵0＜A＋B＜π，∴cos A＞0，cos B＞0. ∴＝3·，即tan B＝3tan A. （2）∵cos C＝，0＜C＜π， ∴sin C＝＝

13、. ∴tan C＝2. ∴tan[π－（A＋B）]＝2， 即tan（A＋B）＝－2. ∴＝－2. 由 （1），得＝－2， 解得tan A＝1或tan A＝－. ∵cos A＞0，∴tan A＝1.∴A＝. 21.（12分）（xx·福建卷）已知函數f（x）＝10sin ·cos ＋10cos2. （1）求函數f（x）的最小正周期； （2）將函數f（x）的圖象向右平移個單位長度，再向下平移a（a＞0）個單位長度后得到函數g（x）的圖象，且函數g（x）的最大值為2. ①求函數g（x）的解析式； ②證明：存在無窮多個互不相同的正整數x0，使得g（x0）＞0. 分析：（1）

14、首先利用證明二倍角公式和余弦降冪公式將f（x）化為f（x）＝10sin ＋5，然后利用T＝求周期； （2）由函數f（x）的解析式中給x減，再將所得解析式整體減去a得g（x）的解析式為g（x）＝10sin x＋5－a，當sin x取1時，g（x）取最大值10＋5－a，列方程求得a＝13，從而g（x）的解析式可求；欲證明存在無窮多個互不相同的正整數x0，使得g（x0）＞0，可解不等式g（x0）＞0，只需解集的長度大于1，此時解集中一定含有整數，由周期性可得，必存在無窮多個互不相同的正整數x0. 解析：（1）因為f（x）＝10sin cos ＋10cos2 ＝5sin ＋5cos x＋5

15、 ＝10sin ＋5. 所以f（x）函數的最小正周期T＝2π. （2）①將f（x）的圖象向右平移個單位長度后得到y(tǒng)＝100sin x＋5的圖象，再向下平移a（a＞0）個單位長度后得到g（x）＝10sin x＋5－a的圖象. 又已知函數g（x）的最大值為2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13. 所以g（x）＝10sin x－8. ②要證明存在無窮多個互不相同的正整數x0，使得g（x0）＞0，就是要證明存在無窮多個互不相同的正整數x0，使得10sin x0－8＞0，即sin x0＞. 由＜知，存在0＜α0＜，使得sin α0＝.由正弦函數的性質可知，當x∈（α0，π－α0）時，均

16、有sin x＞. 因為y＝sin x的周期為2π，所以當x∈（2kπ＋α0，2kπ＋π－α0）（k∈Z）時，均有sin x＞. 因為對任意的整數k，（2kπ＋π－α0）－（2kπ＋α0）＝π－2α0＞＞1，所以對任意的正整數k，都存在正整數xk∈（2kπ＋α0，2kπ＋π－α0），使得sin xk＞.亦即存在無窮多個互不相同的正整數x0，使得g（x0）＞0. 22.（12分）已知向量m＝，n＝（x∈R），設函數f（x）＝m·n－1. （1）求函數f（x）的值域； （2）已知銳角三角形ABC的三個內角分別為A，B，C，若f（A）＝，f（B）＝，求f（C）的值. 解析：（1）f（x）＝m·n－1＝·－1＝2cos sin ＋1－1＝sin x. ∵x∈R， ∴函數f（x）的值域為[－1，1]. （2）∵f（A）＝，f（B）＝， ∴sin A＝，sin B＝. ∵A，B都為銳角， ∴cos A＝＝， cos B＝＝. ∴f（C）＝sin C＝sin ＝sin（A＋B） ＝sin Acos B＋cos Asin B ＝×＋× ＝. ∴f（C）的值為.