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1、2022年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)教學(xué)案
考綱指要：
導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，是解決實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、極值和最值是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題。
考點(diǎn)掃描：
導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
① 結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀(guān)探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
② 結(jié)合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值；體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性。
考題先知：
2、
例1．設(shè)函數(shù)，其中實(shí)數(shù)A、B、C滿(mǎn)足：
①； ②。
（1）求證：； （2）設(shè)，求證：。
證明：（1）由得：，
又，所以，
（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，，所以只須證明當(dāng)時(shí)，，由②知：且，所以為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，其對(duì)稱(chēng)軸方程，又由得：
，即，所以，當(dāng)時(shí)，有
=
=，所以為[0，2]上的增函數(shù)。因此，當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，。
評(píng)注：本題以一元三次函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)作為工具，進(jìn)一步研究函數(shù)性質(zhì)、代數(shù)式變形、解析幾何和不等式證明等數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)于這些題目，導(dǎo)數(shù)僅僅是背景，核心還是初等數(shù)學(xué)的變化技巧。
例2 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間
上單調(diào)遞減，且。
3、 (Ⅰ) 求的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)，若對(duì)任意的, 不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值。
解析：(Ⅰ) 因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，所以方程的兩根滿(mǎn)足。由，得，所以，而，故，則，從而。故
（Ⅱ）對(duì)任意的，不等式恒成立，等價(jià)于在區(qū)間上，。當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而在區(qū)間上，，則由，解得或，結(jié)合，可得實(shí)數(shù)的最小值為。
復(fù)習(xí)智略：
例3．(1)已知，試求函數(shù)的最小值；
（2）若，求證：。
分析：求函數(shù)最值的常見(jiàn)方法是通過(guò)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出其最值。
解：（1）對(duì)于函數(shù)，求導(dǎo)得
，由得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是遞增函數(shù)；所以當(dāng)時(shí)
4、，函數(shù)。
（2）由第（1）題得：
從而，，，
三式相加得：
變化：由（1）知：，從而，，
，三式相加，結(jié)合得：
。
聯(lián)想：在三角函數(shù)中，有公式，因此，若，且，則。
類(lèi)比：若，則
檢測(cè)評(píng)估：
1.如果f '(x)是二次函數(shù), 且 f '(x)的圖象開(kāi)口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,－), 那么曲線(xiàn)y=f(x)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)的傾斜角α的取值范圍是( )
A. (0, ) B. [0, ]∪[, π] C. [0, ]∪[, π] D. [,]
2．已知函數(shù)在R上可導(dǎo)，且·，則與的大小關(guān)系是
A．= B．< C．> D
5、．不能確定 （ ）
3．已知函數(shù)在R上可導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)，時(shí)有，若，則不等式解集為 （ ）
A． B． C． D．
4．若函數(shù)是導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 （ ）
A．[－1，0] B． C．[1，] D．
5 設(shè)函數(shù)fn(x)=n2x2(1－x)n(n為正整數(shù))，則fn(x)在［0,1］上的最大值為 ( )
A 0 B 1 C D
6．已知，方程在區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)是 .
7. 已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與軸、直線(xiàn)所圍成的三角形的面積為,則 .
6、
8．已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得極值，
則的單調(diào)區(qū)間是 ；
9．若方程在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。
10．已知函數(shù)在R上為減函數(shù)，則的取值范圍是
11．已知，點(diǎn)A(s,f(s)), B(t,f(t))
(I) 若,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(II)若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足：當(dāng)|x|≤1時(shí)，有||≤恒成立，求函數(shù)的解析表達(dá)式；
(III)若0
7、項(xiàng)公式；
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列，求證：①；②。
點(diǎn)撥與全解：
1．解：因，所以，故選B。
2．解：因，從而，得，所以原函數(shù)為，從而>，故選C。
3．解：因當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；因當(dāng)，時(shí)有，所以為偶函數(shù)，原不等式可化為，即
，得，故選C。
4．解：由得，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，又
是單調(diào)遞減的，所以當(dāng)，即[1，]時(shí)單調(diào)遞減，故選C。
5．解。∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1=n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,
令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=時(shí)取得最大值，
最大值fn()=n2()
8、2(1－)n=4·()n+1故選D。
6．解：記，由得，所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，故原方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一根。
7．解：過(guò)點(diǎn)處的切線(xiàn)是，與軸交點(diǎn)為，與直線(xiàn)的交點(diǎn)為，所以圍成的三角形的面積=，得。
8．解：∵為R上的奇函數(shù)，∴，
即，∴d=0.∴，.
∵當(dāng)x=1時(shí)，取得極值.∴ ∴ 解得：.
∴，，令，則或，令，則.∴的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.
9．解：記，因得，所以在上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，且在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，方程在[1，2]上有一解，當(dāng)，即當(dāng)[0，2]時(shí)，方程在[0，1]上有一解，綜
9、上所述，當(dāng)時(shí)，原方程在上有解。
10。解：由在R上恒成立得，從而。
11.解：(I) f (x)=x3-2x2+x, (x)=3x2-4x+1, 因?yàn)閒(x)單調(diào)遞增，所以(x)≥0，
即 3x2-4x+1≥0,解得，x≥1, 或x≤,故f(x)的增區(qū)間是(-∞，)和[1,+ ∞].
(II) (x)=3x2-2(a+b)x+ab.
當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，恒有|(x)|≤. 故有≤(1)≤， ≤(-1)≤，
≤(0)≤, 即
①+②，得≤ab≤，又由③，得ab=，
將上式代回①和②，得 a+b=0,故f(x)=x3x.
(III) 假設(shè)⊥, 即= = st+f(s)f(t)=0,
(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1, [st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1,
由s，t為(x)=0的兩根可得， s+t=(a+b), st=, (0
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